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广西钦州市浦北中学2026年春季学期第一次阶段性检测八年级数学试卷
1．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；二次根式的乘法
【解析】【解答】解：∵，∴A选项错误．
∵，∴B选项错误．
∵与是不同的最简二次根式，不能合并为，∴C选项错误．
∵，∴D选项正确．
故答案为：D．
【分析】本题考查二次根式的性质、二次根式的加法和乘法运算，分别根据二次根式的性质、乘方、加减、乘法法则逐一判断选项．
2．若，，是一组勾股数，则的数为（　　）
A．2 B．3 C．6 D．7
【答案】B
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：当为直角边时，，是正整数，符合题意，
当为斜边时，，不是正整数，不符合题意，
故答案为：B．
【分析】 本题考查了勾股数的定义， 满足的三个正整数，称为勾股数，同时 一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．分“”为直角边和斜边两种情况分类讨论，再由勾股数的定义得出答案即可．
3．下列式子中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，被开方数4含有能开得尽方的因数，不属于最简二次根式，故选项A错误；
B、的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的两个条件，故选项B正确；
C、，被开方数含分母，不属于最简二次根式，故选项C错误；
D/的被开方数含分母，不属于最简二次根式，故选项D错误．
故答案为：B．
【分析】 本题考查了最简二次根式， 根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数是整数，因式是整式，进行逐一判断即可．
4．我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题，一根竹子高10尺，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，根据题意，可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】风吹树折模型；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】设折断处离地面的高度为 x 尺，则折断后竹竿上部的长度为(10 - x)尺。竹竿折断后，地面上的部分、折断处到地面的高度、以及折断的部分构成一个直角三角形，其中：
直角边分别为 x 尺（垂直高度）和 3 尺（地面水平距离）；
斜边为(10 - x)尺（折断部分）。
根据勾股定理，可列出方程：
故答案为：A；
【分析】本题考查勾股定理在实际问题中的应用，通过设未知数，将折断的竹竿抽象为直角三角形的斜边，利用勾股定理建立方程求解。
5．估算的结果在（　　）
A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间
【答案】D
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算；二次根式的乘法
【解析】【解答】解：
，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，无理数的估算能力，先对各式进行化简，再运用算术平方根的知识进行估算
6．在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C的面积依次为5、9、6，则正方形D的面积是（　　）
A．8 B．14 C．20 D．25
【答案】C
【知识点】勾股定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】根据勾股定理的几何意义，直角三角形两直角边对应的正方形面积和，等于斜边对应的正方形面积，可得：，且，因此。
已知正方形A、B、C的面积分别为5、9、6，代入等式：。
解方程可得：，即正方形D的面积为20。
故答案为：C。
【分析】本题考查勾股定理的几何意义，利用直角三角形两直角边对应的正方形面积和等于斜边对应的正方形面积这一关系，建立面积间的等式求解。
7．如图，一架的云梯AB斜靠在一竖直的墙上，这时为．如果梯子的底端向墙一侧移动了，那么梯子的顶端向上滑动的距离是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；勾股定理的实际应用-梯子滑动问题
【解析】【解答】解：在 中，已知 ，，
根据勾股定理 ，得：
已知 ，则：
在 中，已知 ，，
根据勾股定理，得：
故答案为：A。
【分析】先利用勾股定理求出初始位置的水平距离，再计算移动后的水平距离，最后通过两次勾股定理求出移动后的竖直高度，作差得到高度变化量。
8．下列各式中，能与合并的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：.
A、，不能与合并，故此选项不符合题意；
B、，不能与合并，故此选项不符合题意；
C、，可与合并，故此选项符合题意；
D、，不能与合并，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】将目标数化成最简根式，对4个选项作同样处理，然后找到同类根式即可.
9．如图，点在数轴上，则可以近似表示的运算结果的点是（　　）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】C
【知识点】实数在数轴上表示；无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：，
由 ，可得 ；
不等式两边同乘，得 ；
不等式两边同时加，得 ，即 。
的值在和之间，对应数轴上的点C。
故答案为：C。
【分析】本题考查二次根式混合运算、无理数估算及实数与数轴的对应关系，先根据二次根式运算法则化简表达式，再估算结果的取值范围，最后结合数轴判断对应点的位置。
10．若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵，，
∴（负数的立方为负），
故，从而，根式有意义．
∵，
∴，
又∵，且，
∴，
∴原式，
即，与选项A一致．
故答案为：A．
【分析】本题考查了二次根式的化简，根据二次根式的性质进行化简即可．
11．两艘轮船从同一港口同时出发，甲船时速海里，乙船时速海里，两个小时后，两船相距海里，已知甲船的航向为北偏东，则乙船的航向为（　　）
A．南偏东 B．北偏西
C．南偏东或北偏西 D．无法确定
【答案】C
【知识点】方位角；余角；勾股定理逆定理的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意，甲船 2 小时航行距离 OA = 40×2 = 80 海里，乙船 2 小时航行距离 OB = OC = 30×2 = 60 海里，AB = AC = 100 海里。
判定直角：因为 OA2+OC2=802+602=1002=AC2，OA2 + OB2 = 802 + 602 = 1002 = AB2，所以∠AOC = ∠AOB = 90°，点 B、O、C 三点共线。
计算方位角：已知∠1 = 46°，∠1 与∠5 互余，所以∠5 = 90° - 46° = 44°；又∠2 与∠5 是对顶角，所以∠2 = ∠5 = 44°，即乙船航向为南偏东 44°，
故答案为：C。

【分析】先计算航行距离，再用勾股定理逆定理判定直角，结合方位角互余关系推导角度，确定航向。
12．如图，在中，，，，则的值为（　　）．
A．24 B． C． D．25
【答案】D
【知识点】等腰直角三角形；邻补角；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图所示，过点作交延长线于点，
在中，，
，
，
，
在中，，
，．
在中，，，
，
故答案为：D．
【分析】本题考查了勾股定理，平角的定义，等腰直角三角形的判定，正确作辅助线构造直角三角形是解答本题的关键．过点作于点，根据平角的定义得出，运用勾股定理求出，得到，最后根据勾股定理即可求出的长．
13．要使代数式有意义，则x应满足　 　．
【答案】且
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵代数式有意义，
∴且
∴且
故答案为：且．
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件得、分式有意义的条件得，解不等式，求出的取值范围即可．
14．如图所示，，，以点为圆心，长为半径画弧交轴负半轴于点，则点的横坐标是　 　．
【答案】
【知识点】实数在数轴上表示；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
∴点C的横坐标是，
故答案为：．
【分析】本题考查勾股定理与数轴上点的坐标问题，先利用勾股定理计算线段 AB 的长度，再根据线段 AC 与 AB 相等的关系，结合数轴上的位置关系求出点 C 的横坐标。
15．定义新运算“”，规定，则的运算结果为　 　．
【答案】2
【知识点】二次根式的混合运算；实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】解：根据新运算定义，将，代入得：
．
故答案为：2．
【分析】本题考查了定义新运算法则和二次根式的运算，先根据新定义运算法则得出算式，再根据二次根式运算法则计算即可．
16．已知，，则　 　．
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的化简求值；有理数的乘法法则；有理数的加法法则；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∴
，
．
故答案为：．
【分析】本题考查了二次根式的化简求值．熟练掌握二次根式的性质是解决问题的关键．先利用有理数的性质得到，，则利用二次根式的性质化简得到原式，然后利用整体代入的方法计算．若直接错误地将化简，会忽略、为负的条件，导致符号错误，必须先判断符号，再化简．
17．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算
【解析】【分析】本题考查了二次根式的运算、乘法公式，掌握二次根式运算法则是解答本题的关键．（1）把所有的根式根据二次根式的性质化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）原式第一部分用平方差公式计算，第二部分用完全平方公式计算，再进行加减计算即可．
（1）解：
；
（2）解：
．
18．已知中，，为直角边，为斜边．
（1）若，求；
（2）若，求．
【答案】（1）解：∵为直角边，为斜边，，
∴；
（2）解：∵为直角边，为斜边，，
∴．
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】本题考查了勾股定理的应用，勾股定理：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，即，运用勾股定理可以求出直角三角形的边长．
（）运用计算即可；
（）运用计算即可．
（1）解：∵为直角边，为斜边，，
∴；
（2）解：∵为直角边，为斜边，，
∴．
19．已知，．
（1）求的值；
（2）若的小数部分是的小数部分是，求的值．
【答案】（1）解：，，
，，
；
（2）解：，
，，
的小数部分是，的小数部分是，
，
．
【知识点】无理数的估值；完全平方公式及运用；二次根式的加减法；二次根式的混合运算；二次根式的化简求值
【解析】【分析】本题主要考查二次根式的化简求值、乘法公式以及无理数的估算，正确运用乘法公式是解答本题的关键．（1）根据条件先计算，，再利用完全平方公式的变形，然后整体代入计算计算即可．
（2）先由可得，，即可确定、的整数部分，进而得到它们的小数部分、，再代入计算的值．
（1）解：，，
，，
；
（2）解：，
，，
的小数部分是，的小数部分是，
，
．
20．如图，在五边形中，，，，，，，，连接、．
（1）求和的长；
（2）求五边形的面积．
【答案】（1）解：，，
，，
，，
，，，，
，，
，；
（2）解：，
，
，
五边形的面积为：
．
【知识点】勾股定理的逆定理；求算术平方根；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；多边形的面积
【解析】【分析】本题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）由知是直角三角形，运用勾股定理可求出的长；由可知是直角三角形。运用勾股定理可求出的长；
（2）由，， 可得，由勾股定理的逆定理证明是直角三角形，分别计算出、、的面积可得五边形的面积．
（1）解：，，
，，
，，
，，，，
，，
，；
（2）解：，
，
，
五边形的面积为：
．
21．代入求值时，有时直接代入并不简便，通过观察，另辟新径，事半功倍．阅读下列短文：已知 ，求的值．分析与解答；
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
请你根据上面的分析过程，解决如下问题：
（1）计算 ______；
（2）若 ，求值．
【答案】（1）
（2）解：，
∴，
，即，
∴，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；分母有理化；二次根式的化简求值；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】（1）解：；
故答案为：；
【分析】(1) 通过给分子分母同乘分母的有理化因式，利用平方差公式完成分母有理化，从而化简二次根式；
(2) 先对进行分母有理化，再根据化简结果构造出的值，最后整体代入代数式中求值。
（1）解：；
（2）解：，
∴，
，即，
∴，
∴．
22．观察与思考：
①；②；③；…
（1）根据上述等式的规律，直接写出第④个等式；
（2）试用含（为自然数，且）的等式表示这一规律，并加以验证．
【答案】（1）
（2）解：
（的整数）
证明如下：
．
【知识点】二次根式的性质与化简；探索数与式的规律
【解析】【解答】（1）解：∵①；
②；
③；…
∴写出第④个等式为：；
【分析】本题考查二次根式的性质与化简，能根据已知算式得出规律是解答此题的关键．
（1）根据已知算式得出规律，再根据得出的规律得出答案即可；
（2）根据已知规律得出算式，再根据二次根式的性质化简证明即可．
（1）解：∵①；
②；
③；…
∴写出第④个等式为：；
（2）解：
（的整数）
证明如下：
．
23．物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降，实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离是，物体C到定滑轮A的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计）
（1）求绳子的总长度；
（2）如图2，若滑块B向左滑动了，求此时物体C升高了多少？
【答案】（1）解：根据题意得．
，
，
答：绳子的总长度为；
（2）解：∵滑块B向左滑动了，
即，
，
在中，，
由（1）得绳子的总长度为，
，
∴物体C升高的高度
答：此时物体C升高了．
【知识点】勾股定理；勾股定理的实际应用-梯子滑动问题
【解析】【分析】(1) 利用勾股定理计算初始状态下直角三角形的斜边长度，再与竖直段长度相加，得到绳子总长度；
(2) 先根据滑块滑动距离求出新的水平直角边长度，再用勾股定理计算新的斜边长度，结合绳子总长求出新的竖直段长度，通过前后竖直段长度的差，得到物体升高的高度。
（1）解：根据题意得．
，
，
答：绳子的总长度为；
（2）解：∵滑块B向左滑动了，
即，
，
在中，，
由（1）得绳子的总长度为，
，
∴物体C升高的高度
答：此时物体C升高了．
1 / 1广西钦州市浦北中学2026年春季学期第一次阶段性检测八年级数学试卷
1．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．若，，是一组勾股数，则的数为（　　）
A．2 B．3 C．6 D．7
3．下列式子中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
4．我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题，一根竹子高10尺，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，根据题意，可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
5．估算的结果在（　　）
A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间
6．在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C的面积依次为5、9、6，则正方形D的面积是（　　）
A．8 B．14 C．20 D．25
7．如图，一架的云梯AB斜靠在一竖直的墙上，这时为．如果梯子的底端向墙一侧移动了，那么梯子的顶端向上滑动的距离是（　　）
A． B． C． D．
8．下列各式中，能与合并的是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，点在数轴上，则可以近似表示的运算结果的点是（　　）
A．点 B．点 C．点 D．点
10．若，则（　　）
A． B． C． D．
11．两艘轮船从同一港口同时出发，甲船时速海里，乙船时速海里，两个小时后，两船相距海里，已知甲船的航向为北偏东，则乙船的航向为（　　）
A．南偏东 B．北偏西
C．南偏东或北偏西 D．无法确定
12．如图，在中，，，，则的值为（　　）．
A．24 B． C． D．25
13．要使代数式有意义，则x应满足　 　．
14．如图所示，，，以点为圆心，长为半径画弧交轴负半轴于点，则点的横坐标是　 　．
15．定义新运算“”，规定，则的运算结果为　 　．
16．已知，，则　 　．
17．计算：
（1）；
（2）．
18．已知中，，为直角边，为斜边．
（1）若，求；
（2）若，求．
19．已知，．
（1）求的值；
（2）若的小数部分是的小数部分是，求的值．
20．如图，在五边形中，，，，，，，，连接、．
（1）求和的长；
（2）求五边形的面积．
21．代入求值时，有时直接代入并不简便，通过观察，另辟新径，事半功倍．阅读下列短文：已知 ，求的值．分析与解答；
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
请你根据上面的分析过程，解决如下问题：
（1）计算 ______；
（2）若 ，求值．
22．观察与思考：
①；②；③；…
（1）根据上述等式的规律，直接写出第④个等式；
（2）试用含（为自然数，且）的等式表示这一规律，并加以验证．
23．物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降，实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离是，物体C到定滑轮A的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计）
（1）求绳子的总长度；
（2）如图2，若滑块B向左滑动了，求此时物体C升高了多少？
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；二次根式的乘法
【解析】【解答】解：∵，∴A选项错误．
∵，∴B选项错误．
∵与是不同的最简二次根式，不能合并为，∴C选项错误．
∵，∴D选项正确．
故答案为：D．
【分析】本题考查二次根式的性质、二次根式的加法和乘法运算，分别根据二次根式的性质、乘方、加减、乘法法则逐一判断选项．
2．【答案】B
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：当为直角边时，，是正整数，符合题意，
当为斜边时，，不是正整数，不符合题意，
故答案为：B．
【分析】 本题考查了勾股数的定义， 满足的三个正整数，称为勾股数，同时 一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．分“”为直角边和斜边两种情况分类讨论，再由勾股数的定义得出答案即可．
3．【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，被开方数4含有能开得尽方的因数，不属于最简二次根式，故选项A错误；
B、的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的两个条件，故选项B正确；
C、，被开方数含分母，不属于最简二次根式，故选项C错误；
D/的被开方数含分母，不属于最简二次根式，故选项D错误．
故答案为：B．
【分析】 本题考查了最简二次根式， 根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数是整数，因式是整式，进行逐一判断即可．
4．【答案】A
【知识点】风吹树折模型；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】设折断处离地面的高度为 x 尺，则折断后竹竿上部的长度为(10 - x)尺。竹竿折断后，地面上的部分、折断处到地面的高度、以及折断的部分构成一个直角三角形，其中：
直角边分别为 x 尺（垂直高度）和 3 尺（地面水平距离）；
斜边为(10 - x)尺（折断部分）。
根据勾股定理，可列出方程：
故答案为：A；
【分析】本题考查勾股定理在实际问题中的应用，通过设未知数，将折断的竹竿抽象为直角三角形的斜边，利用勾股定理建立方程求解。
5．【答案】D
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算；二次根式的乘法
【解析】【解答】解：
，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，无理数的估算能力，先对各式进行化简，再运用算术平方根的知识进行估算
6．【答案】C
【知识点】勾股定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】根据勾股定理的几何意义，直角三角形两直角边对应的正方形面积和，等于斜边对应的正方形面积，可得：，且，因此。
已知正方形A、B、C的面积分别为5、9、6，代入等式：。
解方程可得：，即正方形D的面积为20。
故答案为：C。
【分析】本题考查勾股定理的几何意义，利用直角三角形两直角边对应的正方形面积和等于斜边对应的正方形面积这一关系，建立面积间的等式求解。
7．【答案】A
【知识点】勾股定理；勾股定理的实际应用-梯子滑动问题
【解析】【解答】解：在 中，已知 ，，
根据勾股定理 ，得：
已知 ，则：
在 中，已知 ，，
根据勾股定理，得：
故答案为：A。
【分析】先利用勾股定理求出初始位置的水平距离，再计算移动后的水平距离，最后通过两次勾股定理求出移动后的竖直高度，作差得到高度变化量。
8．【答案】C
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：.
A、，不能与合并，故此选项不符合题意；
B、，不能与合并，故此选项不符合题意；
C、，可与合并，故此选项符合题意；
D、，不能与合并，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】将目标数化成最简根式，对4个选项作同样处理，然后找到同类根式即可.
9．【答案】C
【知识点】实数在数轴上表示；无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：，
由 ，可得 ；
不等式两边同乘，得 ；
不等式两边同时加，得 ，即 。
的值在和之间，对应数轴上的点C。
故答案为：C。
【分析】本题考查二次根式混合运算、无理数估算及实数与数轴的对应关系，先根据二次根式运算法则化简表达式，再估算结果的取值范围，最后结合数轴判断对应点的位置。
10．【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵，，
∴（负数的立方为负），
故，从而，根式有意义．
∵，
∴，
又∵，且，
∴，
∴原式，
即，与选项A一致．
故答案为：A．
【分析】本题考查了二次根式的化简，根据二次根式的性质进行化简即可．
11．【答案】C
【知识点】方位角；余角；勾股定理逆定理的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意，甲船 2 小时航行距离 OA = 40×2 = 80 海里，乙船 2 小时航行距离 OB = OC = 30×2 = 60 海里，AB = AC = 100 海里。
判定直角：因为 OA2+OC2=802+602=1002=AC2，OA2 + OB2 = 802 + 602 = 1002 = AB2，所以∠AOC = ∠AOB = 90°，点 B、O、C 三点共线。
计算方位角：已知∠1 = 46°，∠1 与∠5 互余，所以∠5 = 90° - 46° = 44°；又∠2 与∠5 是对顶角，所以∠2 = ∠5 = 44°，即乙船航向为南偏东 44°，
故答案为：C。

【分析】先计算航行距离，再用勾股定理逆定理判定直角，结合方位角互余关系推导角度，确定航向。
12．【答案】D
【知识点】等腰直角三角形；邻补角；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图所示，过点作交延长线于点，
在中，，
，
，
，
在中，，
，．
在中，，，
，
故答案为：D．
【分析】本题考查了勾股定理，平角的定义，等腰直角三角形的判定，正确作辅助线构造直角三角形是解答本题的关键．过点作于点，根据平角的定义得出，运用勾股定理求出，得到，最后根据勾股定理即可求出的长．
13．【答案】且
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵代数式有意义，
∴且
∴且
故答案为：且．
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件得、分式有意义的条件得，解不等式，求出的取值范围即可．
14．【答案】
【知识点】实数在数轴上表示；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
∴点C的横坐标是，
故答案为：．
【分析】本题考查勾股定理与数轴上点的坐标问题，先利用勾股定理计算线段 AB 的长度，再根据线段 AC 与 AB 相等的关系，结合数轴上的位置关系求出点 C 的横坐标。
15．【答案】2
【知识点】二次根式的混合运算；实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】解：根据新运算定义，将，代入得：
．
故答案为：2．
【分析】本题考查了定义新运算法则和二次根式的运算，先根据新定义运算法则得出算式，再根据二次根式运算法则计算即可．
16．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的化简求值；有理数的乘法法则；有理数的加法法则；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∴
，
．
故答案为：．
【分析】本题考查了二次根式的化简求值．熟练掌握二次根式的性质是解决问题的关键．先利用有理数的性质得到，，则利用二次根式的性质化简得到原式，然后利用整体代入的方法计算．若直接错误地将化简，会忽略、为负的条件，导致符号错误，必须先判断符号，再化简．
17．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算
【解析】【分析】本题考查了二次根式的运算、乘法公式，掌握二次根式运算法则是解答本题的关键．（1）把所有的根式根据二次根式的性质化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）原式第一部分用平方差公式计算，第二部分用完全平方公式计算，再进行加减计算即可．
（1）解：
；
（2）解：
．
18．【答案】（1）解：∵为直角边，为斜边，，
∴；
（2）解：∵为直角边，为斜边，，
∴．
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】本题考查了勾股定理的应用，勾股定理：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，即，运用勾股定理可以求出直角三角形的边长．
（）运用计算即可；
（）运用计算即可．
（1）解：∵为直角边，为斜边，，
∴；
（2）解：∵为直角边，为斜边，，
∴．
19．【答案】（1）解：，，
，，
；
（2）解：，
，，
的小数部分是，的小数部分是，
，
．
【知识点】无理数的估值；完全平方公式及运用；二次根式的加减法；二次根式的混合运算；二次根式的化简求值
【解析】【分析】本题主要考查二次根式的化简求值、乘法公式以及无理数的估算，正确运用乘法公式是解答本题的关键．（1）根据条件先计算，，再利用完全平方公式的变形，然后整体代入计算计算即可．
（2）先由可得，，即可确定、的整数部分，进而得到它们的小数部分、，再代入计算的值．
（1）解：，，
，，
；
（2）解：，
，，
的小数部分是，的小数部分是，
，
．
20．【答案】（1）解：，，
，，
，，
，，，，
，，
，；
（2）解：，
，
，
五边形的面积为：
．
【知识点】勾股定理的逆定理；求算术平方根；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；多边形的面积
【解析】【分析】本题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）由知是直角三角形，运用勾股定理可求出的长；由可知是直角三角形。运用勾股定理可求出的长；
（2）由，， 可得，由勾股定理的逆定理证明是直角三角形，分别计算出、、的面积可得五边形的面积．
（1）解：，，
，，
，，
，，，，
，，
，；
（2）解：，
，
，
五边形的面积为：
．
21．【答案】（1）
（2）解：，
∴，
，即，
∴，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；分母有理化；二次根式的化简求值；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】（1）解：；
故答案为：；
【分析】(1) 通过给分子分母同乘分母的有理化因式，利用平方差公式完成分母有理化，从而化简二次根式；
(2) 先对进行分母有理化，再根据化简结果构造出的值，最后整体代入代数式中求值。
（1）解：；
（2）解：，
∴，
，即，
∴，
∴．
22．【答案】（1）
（2）解：
（的整数）
证明如下：
．
【知识点】二次根式的性质与化简；探索数与式的规律
【解析】【解答】（1）解：∵①；
②；
③；…
∴写出第④个等式为：；
【分析】本题考查二次根式的性质与化简，能根据已知算式得出规律是解答此题的关键．
（1）根据已知算式得出规律，再根据得出的规律得出答案即可；
（2）根据已知规律得出算式，再根据二次根式的性质化简证明即可．
（1）解：∵①；
②；
③；…
∴写出第④个等式为：；
（2）解：
（的整数）
证明如下：
．
23．【答案】（1）解：根据题意得．
，
，
答：绳子的总长度为；
（2）解：∵滑块B向左滑动了，
即，
，
在中，，
由（1）得绳子的总长度为，
，
∴物体C升高的高度
答：此时物体C升高了．
【知识点】勾股定理；勾股定理的实际应用-梯子滑动问题
【解析】【分析】(1) 利用勾股定理计算初始状态下直角三角形的斜边长度，再与竖直段长度相加，得到绳子总长度；
(2) 先根据滑块滑动距离求出新的水平直角边长度，再用勾股定理计算新的斜边长度，结合绳子总长求出新的竖直段长度，通过前后竖直段长度的差，得到物体升高的高度。
（1）解：根据题意得．
，
，
答：绳子的总长度为；
（2）解：∵滑块B向左滑动了，
即，
，
在中，，
由（1）得绳子的总长度为，
，
∴物体C升高的高度
答：此时物体C升高了．
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