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2026年河北省邯郸市临漳县一模数学试题
1．下列各数中，最小的数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】求有理数的绝对值的方法；有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：先化简各选项：；
再比较大小：负数小于0和正数，且绝对值大的负数更小；，，因，故；最终排序为：，因此最小的数是，
故答案为：B。
【分析】先对含绝对值的选项进行化简，得到具体数值；再比较所有数的大小，其中负数小于 0 和正数，且绝对值大的负数更小；最后确定出最小的数。
2．如图，在两地间修一条笔直的公路，从A地测得公路的走向北偏东．若两地同时开工，要使公路准确接通，则的度数应为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；方位角；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：如图：
已知甲、乙两点的正北方向线 ，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得 ，解得 。
故答案为：C。
【分析】本题考查平行线的性质与方位角的综合应用；解题的关键是将实际方位问题转化为几何模型，利用正北方向线互相平行的隐含条件，通过“同旁内角互补”的性质建立角度关系，从而计算出目标角的度数。
3．下列计算中，结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】A、与不是同类二次根式，不能直接相减，等式不成立；A不正确；
B、与不是同类二次根式，不能直接相加，等式不成立；B不正确；
C、根据二次根式除法法则，，等式成立；C正确；
D、根据积的乘方，，等式不成立。 D不正确；
故答案为：C。
【分析】先明确二次根式的运算法则：同类二次根式才能加减合并，除法可将系数与被开方数分别相除，乘方需对系数和根式部分同时平方，再用这些规则逐一验证四个选项的计算是否成立，从而找出结果正确的选项。
4．若小华用一根长度为的铁丝围成了一个三角形，则下列长度不可能是这个三角形边长的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】解一元一次不等式；三角形三边关系
【解析】【解答】解：设三角形的一边长为，则另外两边的和为。
根据三角形三边关系“两边之和大于第三边”，
可得，
解得。即三角形任意一边的长度都必须小于周长的一半。
选项中只有大于，因此不可能是该三角形的边长，
故答案为：D。
【分析】本题考查三角形三边关系的应用；解题关键是利用“三角形任意两边之和大于第三边”，推导出周长为定值时，任意一边的长度必须小于周长的一半，据此可快速判断出不符合条件的边长。
5．从图1的正方体上截去一个三棱锥后，得到如图2所示的几何体，则这个几何体的主视图是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：如图，从正面观察该几何体，得到的平面图形为带有一条对角线的正方形，
故答案为：D．
【分析】本题考查主视图的识别，解题思路是明确主视图是从物体正面观察得到的图形，按题目要求从正面观察几何体，即可判断出对应的平面图形。
6．若关于的一元二次方程的两根之积为，则a的值为（　　）
A． B． C．2 D．1
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】对于一元二次方程 ，根据韦达定理，两根之积为常数项与二次项系数的比值，即 。
已知两根之积为 ，因此列方程：
解得 ，
故答案为：A。
【分析】本题考查一元二次方程的韦达定理；解题关键是利用“对于一元二次方程 ，两根之积为 ”，将题目条件转化为关于的方程求解，同时需注意方程二次项系数不为0。
7．有一个不透明的盒子中，装有10个红球和若干个白球，这些球除颜色不同外，其余大小和质地均相同．若从盒子中随机摸出一个球是白球的概率为，则白球的个数是（　　）
A．16 B．10 C．8 D．6
【答案】D
【知识点】解分式方程；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：设盒中白球的个数为 ，根据题意，白球的概率为 ，
解此分式方程：
，
解得：，
经检验， 是原方程的解，所以白球的个数为 6个。
故答案为：D。
【分析】本题考查概率公式与分式方程的综合应用；解题的核心是根据“白球数量/总球数=白球概率”列出方程，再解分式方程并验根，从而得到白球的个数。
8．化简分式：，则“”部分的整式为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平方差公式及应用；分式的混合运算；求代数式值的实际应用
【解析】【解答】设“[ ]”部分的整式为 ，根据题意得：
将除法转化为乘法，且 ，得：
约分化简后：
两边同乘 并除以 （），得：
因此“[ ]”部分的整式为 ，
故答案为：C。
【分析】本题考查分式的混合运算与代数式求解；解题关键是把待求部分设为 ，利用“除以一个分式等于乘它的倒数”将运算转化为乘法，结合平方差公式 约分，再通过等式变形求出 ，过程中需注意分式有意义的条件（分母不为0）。
9．如图，一块三角形纸板被一个不透明的物体覆盖了一个角，根据图中数据，角的对边的长度可以表示为（单位：）（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解直角三角形；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：过点 作 ，垂足为 ，将斜三角形拆分为两个直角三角形分步求解：
在 中，已知 ，，由三角函数定义得：
；
由三角形内角和，，；
在 中，由 或 ，可得：
（或 ）。
故答案为：C；
【分析】本题考查斜三角形的解算，核心是通过“作高法”将非直角三角形转化为直角三角形问题；解题关键是先在含特殊角的直角三角形中求出公共边 ，再以 为桥梁，利用锐角三角函数的定义，在另一含一般角的直角三角形中求解目标边 ，同时需注意同角的正弦与余角的余弦相等的三角函数关系。
10．如图，点在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象和的图象之间，且轴，则点B的坐标可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由点 在反比例函数 上，且 轴，可得点 的横坐标与点 相同，均为 ；同时点 的纵坐标大于点 的纵坐标 ，据此可直接排除横坐标不为 或纵坐标不大于 的选项A、B。
当 时，函数 的值为 ，因此点 的纵坐标需小于 ，据此可排除纵坐标不小于 的选项D。
综上，点 的横坐标为 ，纵坐标需满足 ，
故答案为：C；
【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征；解题采用排除法，先根据“ 轴”确定点 的横坐标与范围，再结合另一反比例函数在该横坐标处的函数值，进一步缩小纵坐标的取值范围，从而快速筛选出正确选项，核心是利用函数图象上点的坐标与解析式的对应关系进行判断。
11．如图，在菱形中，M，N是对角线上不重合的两个点，且．当改变点M，N位置的过程中，下列对于四边形的说法正确的是（　　）
A．总是矩形 B．总是菱形
C．中不可能存在 D．中可能存在
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定；菱形的性质；菱形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：如图，连接交于O，
由菱形 的性质可知：对角线互相平分且垂直，即 ，，且 。
已知 ，结合 ，可得 ，即 。
∵ 且 ，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，可判定四边形 是平行四边形。
又∵，即平行四边形 的对角线互相垂直，故它是菱形，∴。
当菱形 的对角线 时，该菱形即为正方形，此时 。
故答案为：B。
【分析】本题以菱形为载体，考查特殊四边形的判定与性质；解题的核心思路是从菱形的性质出发，通过对角线关系，先判定四边形 为平行四边形，再利用对角线垂直的条件证明其为菱形，最后根据对角线相等的特殊情况，得出其为正方形并确定角度。
12．如图，将等腰直角三角尺的角的顶点与正方形的顶点A重合，绕点A旋转三角尺，使分别与相交于点P，Q，设，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：在正方形 中，，。
将 绕点 顺时针旋转 ，得到 ，
则 ，，。
由 ，可知 三点共线。
由 ，得 ，
因此 ，
即 。
在 和 中，
由 可证 ，因此 。
已知 ，则 ，
故 。
因此，。
故答案为：A；
【分析】先通过旋转，将分散的线段 与 集中，构造出全等三角形 ，从而得到对应角相等；再利用正方形的直角和三角形内角和，将已知角 与目标角 建立联系；最后结合平角定义，最终推导出 。
13．若，计算：　 　．
【答案】
【知识点】分式的乘除法；负整数指数幂
【解析】【解答】解：．
故答案为：-1；
【分析】 根据负整数指数幂的定义，先将 转化为 ，再与 相乘，约去 后得到结果。
14．在平面直角坐标系中，在第一象限内，且轴，各顶点坐标如图所示，则的值是　 　．
【答案】
【知识点】点的坐标；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴．
故答案为：-4；
【分析】根据平行四边形对边平行且相等的性质，先利用 、 两点坐标求出 的长度，再由 求出 的值；再根据 轴的性质，得出 点纵坐标 与 点纵坐标相等，最后计算 的值。
15．如图1是一块长为，宽为的小矩形地板砖，用这样相同的8块地板砖拼成如图2所示的大矩形，根据图中数据，每块小矩形的面积是　 　．
【答案】300
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：由题意可得，
解得，
∴每块小矩形的面积为．
故答案为：300；
【分析】根据大矩形的拼接关系，列出关于小矩形长 x 和宽 y 的二元一次方程组，解出 x、y 的值，再用长方形面积公式 xy 计算出每块小矩形的面积。
16．如图，点O是正八边形内一点（不含边界），若这个正八边形的边长是4，则点O到这个正八边形各条边的距离之和为　 　．
【答案】
【知识点】解直角三角形；正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图，是等腰直角三角形，
∵正八边形有四组相互平行的对边，每组对边之间的距离都相等，，
∴，
∴每组对边之间的距离为，
∴点O到这个正八边形各条边的距离之和即为．
故答案为：；
【分析】先利用正八边形对边平行且距离相等的性质，求出每组对边间的距离，再乘以组数，即可得到点到各边距离之和
17．数学兴趣小组的同学们在玩一个“变数魔盒”的数学游戏，如图，对“变数魔盒”输入任意有理数对时，会输出一个新数为．如输入有理数对时，输出的新数为．
（1）若对“变数魔盒”输入有理数对，求输出的新数；
（2）若对“变数魔盒”输入有理数对，输出的新数为，求．
【答案】（1）解：由题意得，输出的新数为．
（2）解：由题意得，，
即，
解得：．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；求代数式的值-程序框图
【解析】【分析】（1）根据“变数魔盒”的运算规则，将有理数对 代入 中，按有理数运算顺序直接计算即可；
（2）根据“变数魔盒”的运算规则，将有理数对 和输出结果 代入 中，解关于 的一元一次方程即可。
（1）解：由题意得，输出的新数为．
（2）解：由题意得，，
即，
解得：．
18．已知满足不等式组．
（1）分别求出不等式①和不等式②的解集；
（2）直接写出这个不等式组的解集；
（3）若x是一个两位数的个位数字，且这个两位数的十位上的数字是个位上的数字的一半，则这个两位数是多少
【答案】（1）解：解不等式①得：，
，
解得：；
解不等式②得：，
，
解得：；
（2）
（3）解：∵，且x是个位上的数字，
∴或6或7，
又∵十位上的数字是个位上的数字的一半，
∴是偶数，故，
则十位上的数字是3，
∴这个两位数是36．
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】（2）解：这个不等式组的解集为；
【分析】(1) 按照解一元一次不等式的基本步骤，分别求出不等式①和②的解集；
(2) 取两个不等式解集的公共部分，得到不等式组的解集；
(3) 先根据不等式组的解集确定个位数字x的可能取值，再结合 “十位数字是个位数字的一半” 这一条件筛选出x的值，进而求出对应的两位数。
（1）解：解不等式①得：，
，
解得：；
解不等式②得：，
，
解得：；
（2）解：这个不等式组的解集为；
（3）解：∵，且x是个位上的数字，
∴或6或7，
又∵十位上的数字是个位上的数字的一半，
∴是偶数，故，
则十位上的数字是3，
∴这个两位数是36．
19．如图，在中，，，点D是边上一点，且，的平分线与交于点G，点F在射线上，连接，．
（1）求证：；
（2）过点A作于点H，求的度数．
【答案】（1）证明：∵平分，点F在射线上，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：在中，∵，，
∴，
又是的平分线，
∴，
∴，
∵于点H，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【分析】(1) 利用角平分线定义得到∠BAF=∠DAF，结合已知条件 AB=AD 与公共边 AF，通过 SAS 证明△ABF≌△ADF，从而证得 BF=DF；
(2) 先由三角形内角和求出∠BAC，再利用角平分线定义得∠BAE，结合外角性质求出∠AGH，最后根据直角三角形两锐角互余计算出∠HAE 的度数。
（1）证明：∵平分，点F在射线上，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：在中，
∵，，
∴，
又是的平分线，
∴，
∴，
∵于点H，
∴．
20．某水果生产基地为了解同一批柑橘装箱后每箱的重量情况，从全部装箱的柑橘中随机选出100箱，分A、B、C、D、E五组来测量每箱的重量（单位：），并分别测算出各组柑橘每箱重量的平均数，结果如下表，
小组编号 A B C D E
个数（单位：箱） 25 20 15 25 15
平均重量（单位：） 30 25 20 32 20
其中E组中15箱柑橘每箱的重量（单位：）分别是：
12 14 16 17 17 17 18 18 20 21 24 24 24 28 30
根据以上信息，解决下面的问题．
（1）E组中15箱柑橘重量的中位数是_____，众数是______；
（2）下面是晓强同学求这100箱柑橘平均重量的做法：
这100箱柑橘的平均重量为，请你判断他的做法是否正确，若正确请说明理由；若不正确，请你求出这100箱柑橘的平均重量．
（3）现需要用载重量为5吨的卡车运送1000箱该批柑橘，请你估计至少需要几辆卡车，才能一次将这批柑橘运送完 并通过计算进行说明．
（4）若该水果生产基地对这五组柑橘随机抽出两组，再次称重检测每组的平均重量，用画树状图或列表的方法，求同时抽到A组和E组的概率，
【答案】（1），和
（2）解：晓强的做法不正确．
这100箱柑橘的平均重量为：
．
答：这100箱柑橘的平均重量是．
（3）解：估计这批柑橘的重量为（吨）．
∵，
（辆），
∴至少需要6辆载重量为5吨的卡车．
（4）解：列表如下：
A B C D E
A
B
C
D
E ED
∵一共有20种等可能的结果，同时抽到A组和E组有2种等可能的结果，
∴P（同时抽到A组和E组）．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；平均数及其计算；加权平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】（1）解：E组中15个数据按从小到大的顺序排列为：12 14 16 17 17 17 18 18 20 21 24 24 24 28 30，最中间的一个数据为18，
所以，中位数是；
数据出现最多的是17和24，各出现3次，
故众数为和；
故答案为：，和；
【分析】(1) 将 E 组 15 个数据按从小到大排序，取中间位置的数得到中位数，找出出现次数最多的数得到众数；
(2) 晓强的做法错误，需根据加权平均数公式，用各组平均重量乘以对应箱数占比，计算 100 箱柑橘的平均重量；
(3) 先估算 1000 箱柑橘的总重量，再用进一法计算所需 5 吨卡车的数量；
(4) 通过列表法列出所有等可能结果，找出同时抽到 A 组和 E 组的结果数，再根据概率公式计算概率。
（1）解：E组中15个数据按从小到大的顺序排列为：12 14 16 17 17 17 18 18 20 21 24 24 24 28 30，最中间的一个数据为18，
所以，中位数是；
数据出现最多的是17和24，各出现3次，
故众数为和；
（2）解：晓强的做法不正确．
这100箱柑橘的平均重量为：
．
答：这100箱柑橘的平均重量是．
（3）解：估计这批柑橘的重量为（吨）．
∵，
（辆），
∴至少需要6辆载重量为5吨的卡车．
（4）解：列表如下：
A B C D E
A
B
C
D
E ED
∵一共有20种等可能的结果，同时抽到A组和E组有2种等可能的结果，
∴P（同时抽到A组和E组）．
21．如图，是半圆O的直径，点C，D是半圆O上的三等分点，过点D作半圆O的切线，与射线交于点E，连接．
（1）求证：；
（2）若，求弧的长；
（3）若弦、弦与弧所围成的封闭图形的面积是，则
①求半圆O的半径长；
②直接写出的长．
【答案】（1）证明：如图，连接，
∵点C，D是半圆O上的三等分点，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵是半圆O的切线，点D是切点，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，且，
在中，，
∴，
∴弧的长；
（3）解：①∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴封闭图形的面积=扇形的面积，
∴，
解得，即半圆O的半径长为4；
②
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；切线的性质；扇形面积的计算；解直角三角形；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】（3）解：②在中，，，
∴，
∴，
在中，，
∴．
【分析】(1) 先由三等分点得到圆心角为，证明，再结合切线性质，推出；
(2) 利用圆周角定理得，结合直角三角形性质求出半径，再用弧长公式计算弧的长；
(3) ①通过证明，将封闭图形面积转化为扇形的面积，从而求出半径；②先在中求出，再在中利用三角函数求出的长。
（1）证明：如图，连接，
∵点C，D是半圆O上的三等分点，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵是半圆O的切线，点D是切点，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，且，
在中，，
∴，
∴弧的长；
（3）解：①∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴封闭图形的面积=扇形的面积，
∴，
解得，即半圆O的半径长为4；
②在中，，，
∴，
∴，
在中，，
∴．
22．有甲、乙两个运输队共同承担了清理运输A、B两个建筑工地施工土方的任务，在规定时间内，甲、乙两个运输队分别可以清运土方20万立方米和30万立方米，当前A、B两个建筑工地需要清运的土方分别是40万立方米和10万立方米，经评估测算，甲、乙两个运输队在A、B两个工地清运土方的单价费用如下表：
单价 运输队 在A工地清运土方费用单价（元/立方米） 在B工地清运土方费用单价（元/立方米）
甲运输队 40 35
乙运输队 38 36
设甲运输队在A工地清运土方x万立方米，清运完成A、B两个工地的土方所需的总费用为y万元．
（1）用含x的代数式完成下表（不必化简），并求y与x的函数关系式；（不写自变量x的取值范围）
清运土方 运输队 在A工地清运土方（万立方米） 在B工地清运土方（万立方米）
甲运输队 　
乙运输队 　 　
（2）求总费用y的最大值；
（3）在实际清运土方的过程中，甲运输队在A工地使用人工智能设备，使每立方米的清运费用减少a元，但仍高于甲运输队在B工地清运费用的单价，求如何分配甲、乙两个运输队的清运任务，使清理土方的总费用最小．
【答案】（1）解：填表如下：
清运土方 运输队 在A工地清运土方（万立方米） 在B工地清运土方（万立方米）
甲运输队
乙运输队
由题意，列函数关系式得，
∴．
（2）解：由（1）可知，总费用，
∵，
∴当时，y的最大值为万元．
（3）解：由题意可得，，
∴，
∴，
∴，
当时，，y随x的增大而增大，
∴当时，y有最小值，
此时，甲运输队在A工地清运土方14万立方米，在B工地清运土方6万立方米，乙运输队在A工地清运土方26万立方米，在B工地清运土方4万立方米；
当时，清运土方的总费用与x无关，均为1860万元；
当时，，y随x的增大而减小，
∴当时，y有最小值，
此时，甲运输队在A工地清运土方18万立方米，在B工地清运土方2万立方米，乙运输队在A工地清运土方22万立方米，在B工地清运土方8万立方米；
综上所述，当时，甲运输队在A工地清运土方14万立方米，在B工地清运土方6万立方米，乙运输队在A工地清运土方26万立方米，在B工地清运土方4万立方米总费用最少；
当时，清运土方的总费用与x无关，均为1860万元；
当时，甲运输队在A工地清运土方18万立方米，在B工地清运土方2万立方米，乙运输队在A工地清运土方22万立方米，在B工地清运土方8万立方米总费用最少．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一元一次方程的实际应用-计费问题；比较一次函数值的大小；一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【分析】(1) 先根据甲运输队的清运总量和 A、B 工地的土方需求，用含x的代数式表示出各队在两个工地的清运量，再结合单价列出总费用y与x的一次函数关系式；
(2) 根据一次函数的增减性，在x的取值范围内取最大值点，计算出总费用的最大值；
(3) 先写出费用调整后的一次函数表达式，再根据一次项系数的正负（与a的取值相关）分情况讨论，确定使总费用最小的清运任务分配方案。
（1）解：填表如下：
清运土方 运输队 在A工地清运土方（万立方米） 在B工地清运土方（万立方米）
甲运输队
乙运输队
由题意，列函数关系式得，
∴．
（2）解：由（1）可知，总费用，
∵，
∴当时，y的最大值为万元．
（3）解：由题意可得，，
∴，
∴，
∴，
当时，，y随x的增大而增大，
∴当时，y有最小值，
此时，甲运输队在A工地清运土方14万立方米，在B工地清运土方6万立方米，乙运输队在A工地清运土方26万立方米，在B工地清运土方4万立方米；
当时，清运土方的总费用与x无关，均为1860万元；
当时，，y随x的增大而减小，
∴当时，y有最小值，
此时，甲运输队在A工地清运土方18万立方米，在B工地清运土方2万立方米，乙运输队在A工地清运土方22万立方米，在B工地清运土方8万立方米；
综上所述，当时，甲运输队在A工地清运土方14万立方米，在B工地清运土方6万立方米，乙运输队在A工地清运土方26万立方米，在B工地清运土方4万立方米总费用最少；
当时，清运土方的总费用与x无关，均为1860万元；
当时，甲运输队在A工地清运土方18万立方米，在B工地清运土方2万立方米，乙运输队在A工地清运土方22万立方米，在B工地清运土方8万立方米总费用最少．
23．综合与实践
【情境】在矩形中，点P是边上一点（不与点A，D重合），且，，设的长为x．
【探究】将矩形对折，使点A与点D重合，点B与点C重合，展开后得到折痕，连接．
（1）如图1，将矩形沿折叠，使点A的对应点落在边上，求x；
（2）如图2，将矩形沿折叠，使点A的对应点落在折痕上，求x；
（3）【操作】当时，将矩形沿过点P的直线折叠，使点A的对应点为．
①如图3，若点落在边上，用尺规作图作出直线；
②在图4中，用尺规作图作出面积最大的，并求出这个最大面积；
（说明：均保留作图痕迹，不写作法）
（4）[拓展]在（3）的条件下，直接写出点B到点之间距离的最小值．
【答案】（1）解：由矩形和折叠可得，，，
∴在中，，
∴，
又，，
∴在中，，即，
∴解得；
（2）解：由题意得，，，
由折叠可得，，
在中，，
∴，
又，，
由题意可得，，
∴，
∴，
∴，
∴，即，解得；
（3）解：①；
②，
由题意可得，，当时，的面积最大，
∴最大面积为；
（4）
【知识点】矩形的性质；尺规作图-作三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（3）解：①如图1，直线即为所求；
②如图2，即为所作；
（4）解：由题意可得，在折叠过程中，总有，
∴点在以点P为圆心，半径为3的圆上，
故当点P，和点B在同一条直线上时，点B到点之间距离最小，如图3，
此时，
∴的最小值．
【分析】(1) 先由折叠性质和勾股定理求出、的长度，再在中列勾股定理方程求解；
(2) 先利用勾股定理求出，再证，根据相似三角形对应边成比例列方程求解；
(3) ①通过作的角平分线确定折痕；②当时，的高最大，面积也最大，由此计算最大面积；
(4) 先判断出点的轨迹是以为圆心、为半径的圆，再根据点到圆的最短距离为“点到圆心距离减去半径”求解。
（1）解：由矩形和折叠可得，，，
∴在中，，
∴，
又，，
∴在中，，即，
∴解得；
（2）解：由题意得，，，
由折叠可得，，
在中，，
∴，
又，，
由题意可得，，
∴，
∴，
∴，
∴，即，解得；
（3）解：①如图1，直线即为所求；
②如图2，即为所作；
由题意可得，，当时，的面积最大，
∴最大面积为；
（4）解：由题意可得，在折叠过程中，总有，
∴点在以点P为圆心，半径为3的圆上，
故当点P，和点B在同一条直线上时，点B到点之间距离最小，如图3，
此时，
∴的最小值．
24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线L的顶点P总满足其纵坐标比它的横坐标大1个单位长度，且当顶点P为时，L与y轴的交点为．x轴上有一点M，且点M的横坐标总是点P横坐标的一半，过点M作线段轴，且点N在x轴上方，．线段与L的交点为Q．设点M的横坐标为t．
（1）当时，求抛物线L的函数表达式；
（2）当点M与点Q重合时，求点M的坐标；
（3）当点Q恰好是线段的三等分点时，直接写出t的整数值；
（4）下面是关于L的两个结论：
甲：L与直线的交点会沿直线MN向下无限延伸．
乙：L与直线的交点有一个最低点．
请你判断哪个结论是正确的？并通过计算或推理说明理由．
【答案】（1）解：根据题意，当抛物线L的顶点P为时，
设L的函数表达式为，其中，
又此时L与y轴的交点为，
，
解得，
当时，顶点P为，则此时L的函数表达式为；
（2）解：由题意得，
的函数表达式为，
由题意得，则点Q的坐标为，
当点M与点Q重合时，有，
解得，
；
（3）0或
（4）解：乙正确．
理由如下：
由（2）的解答可知，，：，
当L与直线相交时，设交点为T，
则时，点T的纵坐标，
，且当时，y取得最小值0，
即当时，L与直线的交点有一个最低点，
乙正确。
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【解答】（3）解：当点Q恰好是线段的三等分点时，或，
当点Q的坐标为时，，
解得或；
当点Q的坐标为时，，
解得，不是整数，舍去；
的整数值为0或；
【分析】(1) 先利用已知顶点和y轴交点求出抛物线的二次项系数，再根据确定顶点坐标，写出抛物线的函数表达式；
(2) 先写出含参数的抛物线顶点式，再根据点与重合时纵坐标为0列方程求解，得到点的坐标；
(3) 分点的纵坐标为1或2两种情况，代入抛物线表达式列方程求解，筛选出整数的值；
(4) 先求出抛物线与直线交点的纵坐标表达式，再根据完全平方的非负性判断出交点存在最低点，故乙的结论正确。
（1）解：根据题意，当抛物线L的顶点P为时，
设L的函数表达式为，其中，
又此时L与y轴的交点为，
，
解得，
当时，顶点P为，则此时L的函数表达式为；
（2）解：由题意得，
的函数表达式为，
由题意得，则点Q的坐标为，
当点M与点Q重合时，有，
解得，
；
（3）解：当点Q恰好是线段的三等分点时，或，
当点Q的坐标为时，，
解得或；
当点Q的坐标为时，，
解得，不是整数，舍去；
的整数值为0或；
（4）解：乙正确．
理由如下：
由（2）的解答可知，，：，
当L与直线相交时，设交点为T，
则时，点T的纵坐标，
，且当时，y取得最小值0，
即当时，L与直线的交点有一个最低点，
乙正确．
1 / 12026年河北省邯郸市临漳县一模数学试题
1．下列各数中，最小的数是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，在两地间修一条笔直的公路，从A地测得公路的走向北偏东．若两地同时开工，要使公路准确接通，则的度数应为（　　）
A． B． C． D．
3．下列计算中，结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．若小华用一根长度为的铁丝围成了一个三角形，则下列长度不可能是这个三角形边长的是（　　）
A． B． C． D．
5．从图1的正方体上截去一个三棱锥后，得到如图2所示的几何体，则这个几何体的主视图是（　　）
A． B． C． D．
6．若关于的一元二次方程的两根之积为，则a的值为（　　）
A． B． C．2 D．1
7．有一个不透明的盒子中，装有10个红球和若干个白球，这些球除颜色不同外，其余大小和质地均相同．若从盒子中随机摸出一个球是白球的概率为，则白球的个数是（　　）
A．16 B．10 C．8 D．6
8．化简分式：，则“”部分的整式为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，一块三角形纸板被一个不透明的物体覆盖了一个角，根据图中数据，角的对边的长度可以表示为（单位：）（　　）
A． B． C． D．
10．如图，点在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象和的图象之间，且轴，则点B的坐标可能是（　　）
A． B． C． D．
11．如图，在菱形中，M，N是对角线上不重合的两个点，且．当改变点M，N位置的过程中，下列对于四边形的说法正确的是（　　）
A．总是矩形 B．总是菱形
C．中不可能存在 D．中可能存在
12．如图，将等腰直角三角尺的角的顶点与正方形的顶点A重合，绕点A旋转三角尺，使分别与相交于点P，Q，设，则（　　）
A． B． C． D．
13．若，计算：　 　．
14．在平面直角坐标系中，在第一象限内，且轴，各顶点坐标如图所示，则的值是　 　．
15．如图1是一块长为，宽为的小矩形地板砖，用这样相同的8块地板砖拼成如图2所示的大矩形，根据图中数据，每块小矩形的面积是　 　．
16．如图，点O是正八边形内一点（不含边界），若这个正八边形的边长是4，则点O到这个正八边形各条边的距离之和为　 　．
17．数学兴趣小组的同学们在玩一个“变数魔盒”的数学游戏，如图，对“变数魔盒”输入任意有理数对时，会输出一个新数为．如输入有理数对时，输出的新数为．
（1）若对“变数魔盒”输入有理数对，求输出的新数；
（2）若对“变数魔盒”输入有理数对，输出的新数为，求．
18．已知满足不等式组．
（1）分别求出不等式①和不等式②的解集；
（2）直接写出这个不等式组的解集；
（3）若x是一个两位数的个位数字，且这个两位数的十位上的数字是个位上的数字的一半，则这个两位数是多少
19．如图，在中，，，点D是边上一点，且，的平分线与交于点G，点F在射线上，连接，．
（1）求证：；
（2）过点A作于点H，求的度数．
20．某水果生产基地为了解同一批柑橘装箱后每箱的重量情况，从全部装箱的柑橘中随机选出100箱，分A、B、C、D、E五组来测量每箱的重量（单位：），并分别测算出各组柑橘每箱重量的平均数，结果如下表，
小组编号 A B C D E
个数（单位：箱） 25 20 15 25 15
平均重量（单位：） 30 25 20 32 20
其中E组中15箱柑橘每箱的重量（单位：）分别是：
12 14 16 17 17 17 18 18 20 21 24 24 24 28 30
根据以上信息，解决下面的问题．
（1）E组中15箱柑橘重量的中位数是_____，众数是______；
（2）下面是晓强同学求这100箱柑橘平均重量的做法：
这100箱柑橘的平均重量为，请你判断他的做法是否正确，若正确请说明理由；若不正确，请你求出这100箱柑橘的平均重量．
（3）现需要用载重量为5吨的卡车运送1000箱该批柑橘，请你估计至少需要几辆卡车，才能一次将这批柑橘运送完 并通过计算进行说明．
（4）若该水果生产基地对这五组柑橘随机抽出两组，再次称重检测每组的平均重量，用画树状图或列表的方法，求同时抽到A组和E组的概率，
21．如图，是半圆O的直径，点C，D是半圆O上的三等分点，过点D作半圆O的切线，与射线交于点E，连接．
（1）求证：；
（2）若，求弧的长；
（3）若弦、弦与弧所围成的封闭图形的面积是，则
①求半圆O的半径长；
②直接写出的长．
22．有甲、乙两个运输队共同承担了清理运输A、B两个建筑工地施工土方的任务，在规定时间内，甲、乙两个运输队分别可以清运土方20万立方米和30万立方米，当前A、B两个建筑工地需要清运的土方分别是40万立方米和10万立方米，经评估测算，甲、乙两个运输队在A、B两个工地清运土方的单价费用如下表：
单价 运输队 在A工地清运土方费用单价（元/立方米） 在B工地清运土方费用单价（元/立方米）
甲运输队 40 35
乙运输队 38 36
设甲运输队在A工地清运土方x万立方米，清运完成A、B两个工地的土方所需的总费用为y万元．
（1）用含x的代数式完成下表（不必化简），并求y与x的函数关系式；（不写自变量x的取值范围）
清运土方 运输队 在A工地清运土方（万立方米） 在B工地清运土方（万立方米）
甲运输队 　
乙运输队 　 　
（2）求总费用y的最大值；
（3）在实际清运土方的过程中，甲运输队在A工地使用人工智能设备，使每立方米的清运费用减少a元，但仍高于甲运输队在B工地清运费用的单价，求如何分配甲、乙两个运输队的清运任务，使清理土方的总费用最小．
23．综合与实践
【情境】在矩形中，点P是边上一点（不与点A，D重合），且，，设的长为x．
【探究】将矩形对折，使点A与点D重合，点B与点C重合，展开后得到折痕，连接．
（1）如图1，将矩形沿折叠，使点A的对应点落在边上，求x；
（2）如图2，将矩形沿折叠，使点A的对应点落在折痕上，求x；
（3）【操作】当时，将矩形沿过点P的直线折叠，使点A的对应点为．
①如图3，若点落在边上，用尺规作图作出直线；
②在图4中，用尺规作图作出面积最大的，并求出这个最大面积；
（说明：均保留作图痕迹，不写作法）
（4）[拓展]在（3）的条件下，直接写出点B到点之间距离的最小值．
24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线L的顶点P总满足其纵坐标比它的横坐标大1个单位长度，且当顶点P为时，L与y轴的交点为．x轴上有一点M，且点M的横坐标总是点P横坐标的一半，过点M作线段轴，且点N在x轴上方，．线段与L的交点为Q．设点M的横坐标为t．
（1）当时，求抛物线L的函数表达式；
（2）当点M与点Q重合时，求点M的坐标；
（3）当点Q恰好是线段的三等分点时，直接写出t的整数值；
（4）下面是关于L的两个结论：
甲：L与直线的交点会沿直线MN向下无限延伸．
乙：L与直线的交点有一个最低点．
请你判断哪个结论是正确的？并通过计算或推理说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】求有理数的绝对值的方法；有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：先化简各选项：；
再比较大小：负数小于0和正数，且绝对值大的负数更小；，，因，故；最终排序为：，因此最小的数是，
故答案为：B。
【分析】先对含绝对值的选项进行化简，得到具体数值；再比较所有数的大小，其中负数小于 0 和正数，且绝对值大的负数更小；最后确定出最小的数。
2．【答案】C
【知识点】平行线的性质；方位角；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：如图：
已知甲、乙两点的正北方向线 ，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得 ，解得 。
故答案为：C。
【分析】本题考查平行线的性质与方位角的综合应用；解题的关键是将实际方位问题转化为几何模型，利用正北方向线互相平行的隐含条件，通过“同旁内角互补”的性质建立角度关系，从而计算出目标角的度数。
3．【答案】C
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】A、与不是同类二次根式，不能直接相减，等式不成立；A不正确；
B、与不是同类二次根式，不能直接相加，等式不成立；B不正确；
C、根据二次根式除法法则，，等式成立；C正确；
D、根据积的乘方，，等式不成立。 D不正确；
故答案为：C。
【分析】先明确二次根式的运算法则：同类二次根式才能加减合并，除法可将系数与被开方数分别相除，乘方需对系数和根式部分同时平方，再用这些规则逐一验证四个选项的计算是否成立，从而找出结果正确的选项。
4．【答案】D
【知识点】解一元一次不等式；三角形三边关系
【解析】【解答】解：设三角形的一边长为，则另外两边的和为。
根据三角形三边关系“两边之和大于第三边”，
可得，
解得。即三角形任意一边的长度都必须小于周长的一半。
选项中只有大于，因此不可能是该三角形的边长，
故答案为：D。
【分析】本题考查三角形三边关系的应用；解题关键是利用“三角形任意两边之和大于第三边”，推导出周长为定值时，任意一边的长度必须小于周长的一半，据此可快速判断出不符合条件的边长。
5．【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：如图，从正面观察该几何体，得到的平面图形为带有一条对角线的正方形，
故答案为：D．
【分析】本题考查主视图的识别，解题思路是明确主视图是从物体正面观察得到的图形，按题目要求从正面观察几何体，即可判断出对应的平面图形。
6．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】对于一元二次方程 ，根据韦达定理，两根之积为常数项与二次项系数的比值，即 。
已知两根之积为 ，因此列方程：
解得 ，
故答案为：A。
【分析】本题考查一元二次方程的韦达定理；解题关键是利用“对于一元二次方程 ，两根之积为 ”，将题目条件转化为关于的方程求解，同时需注意方程二次项系数不为0。
7．【答案】D
【知识点】解分式方程；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：设盒中白球的个数为 ，根据题意，白球的概率为 ，
解此分式方程：
，
解得：，
经检验， 是原方程的解，所以白球的个数为 6个。
故答案为：D。
【分析】本题考查概率公式与分式方程的综合应用；解题的核心是根据“白球数量/总球数=白球概率”列出方程，再解分式方程并验根，从而得到白球的个数。
8．【答案】C
【知识点】平方差公式及应用；分式的混合运算；求代数式值的实际应用
【解析】【解答】设“[ ]”部分的整式为 ，根据题意得：
将除法转化为乘法，且 ，得：
约分化简后：
两边同乘 并除以 （），得：
因此“[ ]”部分的整式为 ，
故答案为：C。
【分析】本题考查分式的混合运算与代数式求解；解题关键是把待求部分设为 ，利用“除以一个分式等于乘它的倒数”将运算转化为乘法，结合平方差公式 约分，再通过等式变形求出 ，过程中需注意分式有意义的条件（分母不为0）。
9．【答案】C
【知识点】解直角三角形；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：过点 作 ，垂足为 ，将斜三角形拆分为两个直角三角形分步求解：
在 中，已知 ，，由三角函数定义得：
；
由三角形内角和，，；
在 中，由 或 ，可得：
（或 ）。
故答案为：C；
【分析】本题考查斜三角形的解算，核心是通过“作高法”将非直角三角形转化为直角三角形问题；解题关键是先在含特殊角的直角三角形中求出公共边 ，再以 为桥梁，利用锐角三角函数的定义，在另一含一般角的直角三角形中求解目标边 ，同时需注意同角的正弦与余角的余弦相等的三角函数关系。
10．【答案】C
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由点 在反比例函数 上，且 轴，可得点 的横坐标与点 相同，均为 ；同时点 的纵坐标大于点 的纵坐标 ，据此可直接排除横坐标不为 或纵坐标不大于 的选项A、B。
当 时，函数 的值为 ，因此点 的纵坐标需小于 ，据此可排除纵坐标不小于 的选项D。
综上，点 的横坐标为 ，纵坐标需满足 ，
故答案为：C；
【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征；解题采用排除法，先根据“ 轴”确定点 的横坐标与范围，再结合另一反比例函数在该横坐标处的函数值，进一步缩小纵坐标的取值范围，从而快速筛选出正确选项，核心是利用函数图象上点的坐标与解析式的对应关系进行判断。
11．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定；菱形的性质；菱形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：如图，连接交于O，
由菱形 的性质可知：对角线互相平分且垂直，即 ，，且 。
已知 ，结合 ，可得 ，即 。
∵ 且 ，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，可判定四边形 是平行四边形。
又∵，即平行四边形 的对角线互相垂直，故它是菱形，∴。
当菱形 的对角线 时，该菱形即为正方形，此时 。
故答案为：B。
【分析】本题以菱形为载体，考查特殊四边形的判定与性质；解题的核心思路是从菱形的性质出发，通过对角线关系，先判定四边形 为平行四边形，再利用对角线垂直的条件证明其为菱形，最后根据对角线相等的特殊情况，得出其为正方形并确定角度。
12．【答案】A
【知识点】正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：在正方形 中，，。
将 绕点 顺时针旋转 ，得到 ，
则 ，，。
由 ，可知 三点共线。
由 ，得 ，
因此 ，
即 。
在 和 中，
由 可证 ，因此 。
已知 ，则 ，
故 。
因此，。
故答案为：A；
【分析】先通过旋转，将分散的线段 与 集中，构造出全等三角形 ，从而得到对应角相等；再利用正方形的直角和三角形内角和，将已知角 与目标角 建立联系；最后结合平角定义，最终推导出 。
13．【答案】
【知识点】分式的乘除法；负整数指数幂
【解析】【解答】解：．
故答案为：-1；
【分析】 根据负整数指数幂的定义，先将 转化为 ，再与 相乘，约去 后得到结果。
14．【答案】
【知识点】点的坐标；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴．
故答案为：-4；
【分析】根据平行四边形对边平行且相等的性质，先利用 、 两点坐标求出 的长度，再由 求出 的值；再根据 轴的性质，得出 点纵坐标 与 点纵坐标相等，最后计算 的值。
15．【答案】300
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：由题意可得，
解得，
∴每块小矩形的面积为．
故答案为：300；
【分析】根据大矩形的拼接关系，列出关于小矩形长 x 和宽 y 的二元一次方程组，解出 x、y 的值，再用长方形面积公式 xy 计算出每块小矩形的面积。
16．【答案】
【知识点】解直角三角形；正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图，是等腰直角三角形，
∵正八边形有四组相互平行的对边，每组对边之间的距离都相等，，
∴，
∴每组对边之间的距离为，
∴点O到这个正八边形各条边的距离之和即为．
故答案为：；
【分析】先利用正八边形对边平行且距离相等的性质，求出每组对边间的距离，再乘以组数，即可得到点到各边距离之和
17．【答案】（1）解：由题意得，输出的新数为．
（2）解：由题意得，，
即，
解得：．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；求代数式的值-程序框图
【解析】【分析】（1）根据“变数魔盒”的运算规则，将有理数对 代入 中，按有理数运算顺序直接计算即可；
（2）根据“变数魔盒”的运算规则，将有理数对 和输出结果 代入 中，解关于 的一元一次方程即可。
（1）解：由题意得，输出的新数为．
（2）解：由题意得，，
即，
解得：．
18．【答案】（1）解：解不等式①得：，
，
解得：；
解不等式②得：，
，
解得：；
（2）
（3）解：∵，且x是个位上的数字，
∴或6或7，
又∵十位上的数字是个位上的数字的一半，
∴是偶数，故，
则十位上的数字是3，
∴这个两位数是36．
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】（2）解：这个不等式组的解集为；
【分析】(1) 按照解一元一次不等式的基本步骤，分别求出不等式①和②的解集；
(2) 取两个不等式解集的公共部分，得到不等式组的解集；
(3) 先根据不等式组的解集确定个位数字x的可能取值，再结合 “十位数字是个位数字的一半” 这一条件筛选出x的值，进而求出对应的两位数。
（1）解：解不等式①得：，
，
解得：；
解不等式②得：，
，
解得：；
（2）解：这个不等式组的解集为；
（3）解：∵，且x是个位上的数字，
∴或6或7，
又∵十位上的数字是个位上的数字的一半，
∴是偶数，故，
则十位上的数字是3，
∴这个两位数是36．
19．【答案】（1）证明：∵平分，点F在射线上，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：在中，∵，，
∴，
又是的平分线，
∴，
∴，
∵于点H，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【分析】(1) 利用角平分线定义得到∠BAF=∠DAF，结合已知条件 AB=AD 与公共边 AF，通过 SAS 证明△ABF≌△ADF，从而证得 BF=DF；
(2) 先由三角形内角和求出∠BAC，再利用角平分线定义得∠BAE，结合外角性质求出∠AGH，最后根据直角三角形两锐角互余计算出∠HAE 的度数。
（1）证明：∵平分，点F在射线上，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：在中，
∵，，
∴，
又是的平分线，
∴，
∴，
∵于点H，
∴．
20．【答案】（1），和
（2）解：晓强的做法不正确．
这100箱柑橘的平均重量为：
．
答：这100箱柑橘的平均重量是．
（3）解：估计这批柑橘的重量为（吨）．
∵，
（辆），
∴至少需要6辆载重量为5吨的卡车．
（4）解：列表如下：
A B C D E
A
B
C
D
E ED
∵一共有20种等可能的结果，同时抽到A组和E组有2种等可能的结果，
∴P（同时抽到A组和E组）．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；平均数及其计算；加权平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】（1）解：E组中15个数据按从小到大的顺序排列为：12 14 16 17 17 17 18 18 20 21 24 24 24 28 30，最中间的一个数据为18，
所以，中位数是；
数据出现最多的是17和24，各出现3次，
故众数为和；
故答案为：，和；
【分析】(1) 将 E 组 15 个数据按从小到大排序，取中间位置的数得到中位数，找出出现次数最多的数得到众数；
(2) 晓强的做法错误，需根据加权平均数公式，用各组平均重量乘以对应箱数占比，计算 100 箱柑橘的平均重量；
(3) 先估算 1000 箱柑橘的总重量，再用进一法计算所需 5 吨卡车的数量；
(4) 通过列表法列出所有等可能结果，找出同时抽到 A 组和 E 组的结果数，再根据概率公式计算概率。
（1）解：E组中15个数据按从小到大的顺序排列为：12 14 16 17 17 17 18 18 20 21 24 24 24 28 30，最中间的一个数据为18，
所以，中位数是；
数据出现最多的是17和24，各出现3次，
故众数为和；
（2）解：晓强的做法不正确．
这100箱柑橘的平均重量为：
．
答：这100箱柑橘的平均重量是．
（3）解：估计这批柑橘的重量为（吨）．
∵，
（辆），
∴至少需要6辆载重量为5吨的卡车．
（4）解：列表如下：
A B C D E
A
B
C
D
E ED
∵一共有20种等可能的结果，同时抽到A组和E组有2种等可能的结果，
∴P（同时抽到A组和E组）．
21．【答案】（1）证明：如图，连接，
∵点C，D是半圆O上的三等分点，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵是半圆O的切线，点D是切点，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，且，
在中，，
∴，
∴弧的长；
（3）解：①∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴封闭图形的面积=扇形的面积，
∴，
解得，即半圆O的半径长为4；
②
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；切线的性质；扇形面积的计算；解直角三角形；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】（3）解：②在中，，，
∴，
∴，
在中，，
∴．
【分析】(1) 先由三等分点得到圆心角为，证明，再结合切线性质，推出；
(2) 利用圆周角定理得，结合直角三角形性质求出半径，再用弧长公式计算弧的长；
(3) ①通过证明，将封闭图形面积转化为扇形的面积，从而求出半径；②先在中求出，再在中利用三角函数求出的长。
（1）证明：如图，连接，
∵点C，D是半圆O上的三等分点，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵是半圆O的切线，点D是切点，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，且，
在中，，
∴，
∴弧的长；
（3）解：①∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴封闭图形的面积=扇形的面积，
∴，
解得，即半圆O的半径长为4；
②在中，，，
∴，
∴，
在中，，
∴．
22．【答案】（1）解：填表如下：
清运土方 运输队 在A工地清运土方（万立方米） 在B工地清运土方（万立方米）
甲运输队
乙运输队
由题意，列函数关系式得，
∴．
（2）解：由（1）可知，总费用，
∵，
∴当时，y的最大值为万元．
（3）解：由题意可得，，
∴，
∴，
∴，
当时，，y随x的增大而增大，
∴当时，y有最小值，
此时，甲运输队在A工地清运土方14万立方米，在B工地清运土方6万立方米，乙运输队在A工地清运土方26万立方米，在B工地清运土方4万立方米；
当时，清运土方的总费用与x无关，均为1860万元；
当时，，y随x的增大而减小，
∴当时，y有最小值，
此时，甲运输队在A工地清运土方18万立方米，在B工地清运土方2万立方米，乙运输队在A工地清运土方22万立方米，在B工地清运土方8万立方米；
综上所述，当时，甲运输队在A工地清运土方14万立方米，在B工地清运土方6万立方米，乙运输队在A工地清运土方26万立方米，在B工地清运土方4万立方米总费用最少；
当时，清运土方的总费用与x无关，均为1860万元；
当时，甲运输队在A工地清运土方18万立方米，在B工地清运土方2万立方米，乙运输队在A工地清运土方22万立方米，在B工地清运土方8万立方米总费用最少．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一元一次方程的实际应用-计费问题；比较一次函数值的大小；一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【分析】(1) 先根据甲运输队的清运总量和 A、B 工地的土方需求，用含x的代数式表示出各队在两个工地的清运量，再结合单价列出总费用y与x的一次函数关系式；
(2) 根据一次函数的增减性，在x的取值范围内取最大值点，计算出总费用的最大值；
(3) 先写出费用调整后的一次函数表达式，再根据一次项系数的正负（与a的取值相关）分情况讨论，确定使总费用最小的清运任务分配方案。
（1）解：填表如下：
清运土方 运输队 在A工地清运土方（万立方米） 在B工地清运土方（万立方米）
甲运输队
乙运输队
由题意，列函数关系式得，
∴．
（2）解：由（1）可知，总费用，
∵，
∴当时，y的最大值为万元．
（3）解：由题意可得，，
∴，
∴，
∴，
当时，，y随x的增大而增大，
∴当时，y有最小值，
此时，甲运输队在A工地清运土方14万立方米，在B工地清运土方6万立方米，乙运输队在A工地清运土方26万立方米，在B工地清运土方4万立方米；
当时，清运土方的总费用与x无关，均为1860万元；
当时，，y随x的增大而减小，
∴当时，y有最小值，
此时，甲运输队在A工地清运土方18万立方米，在B工地清运土方2万立方米，乙运输队在A工地清运土方22万立方米，在B工地清运土方8万立方米；
综上所述，当时，甲运输队在A工地清运土方14万立方米，在B工地清运土方6万立方米，乙运输队在A工地清运土方26万立方米，在B工地清运土方4万立方米总费用最少；
当时，清运土方的总费用与x无关，均为1860万元；
当时，甲运输队在A工地清运土方18万立方米，在B工地清运土方2万立方米，乙运输队在A工地清运土方22万立方米，在B工地清运土方8万立方米总费用最少．
23．【答案】（1）解：由矩形和折叠可得，，，
∴在中，，
∴，
又，，
∴在中，，即，
∴解得；
（2）解：由题意得，，，
由折叠可得，，
在中，，
∴，
又，，
由题意可得，，
∴，
∴，
∴，
∴，即，解得；
（3）解：①；
②，
由题意可得，，当时，的面积最大，
∴最大面积为；
（4）
【知识点】矩形的性质；尺规作图-作三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（3）解：①如图1，直线即为所求；
②如图2，即为所作；
（4）解：由题意可得，在折叠过程中，总有，
∴点在以点P为圆心，半径为3的圆上，
故当点P，和点B在同一条直线上时，点B到点之间距离最小，如图3，
此时，
∴的最小值．
【分析】(1) 先由折叠性质和勾股定理求出、的长度，再在中列勾股定理方程求解；
(2) 先利用勾股定理求出，再证，根据相似三角形对应边成比例列方程求解；
(3) ①通过作的角平分线确定折痕；②当时，的高最大，面积也最大，由此计算最大面积；
(4) 先判断出点的轨迹是以为圆心、为半径的圆，再根据点到圆的最短距离为“点到圆心距离减去半径”求解。
（1）解：由矩形和折叠可得，，，
∴在中，，
∴，
又，，
∴在中，，即，
∴解得；
（2）解：由题意得，，，
由折叠可得，，
在中，，
∴，
又，，
由题意可得，，
∴，
∴，
∴，
∴，即，解得；
（3）解：①如图1，直线即为所求；
②如图2，即为所作；
由题意可得，，当时，的面积最大，
∴最大面积为；
（4）解：由题意可得，在折叠过程中，总有，
∴点在以点P为圆心，半径为3的圆上，
故当点P，和点B在同一条直线上时，点B到点之间距离最小，如图3，
此时，
∴的最小值．
24．【答案】（1）解：根据题意，当抛物线L的顶点P为时，
设L的函数表达式为，其中，
又此时L与y轴的交点为，
，
解得，
当时，顶点P为，则此时L的函数表达式为；
（2）解：由题意得，
的函数表达式为，
由题意得，则点Q的坐标为，
当点M与点Q重合时，有，
解得，
；
（3）0或
（4）解：乙正确．
理由如下：
由（2）的解答可知，，：，
当L与直线相交时，设交点为T，
则时，点T的纵坐标，
，且当时，y取得最小值0，
即当时，L与直线的交点有一个最低点，
乙正确。
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【解答】（3）解：当点Q恰好是线段的三等分点时，或，
当点Q的坐标为时，，
解得或；
当点Q的坐标为时，，
解得，不是整数，舍去；
的整数值为0或；
【分析】(1) 先利用已知顶点和y轴交点求出抛物线的二次项系数，再根据确定顶点坐标，写出抛物线的函数表达式；
(2) 先写出含参数的抛物线顶点式，再根据点与重合时纵坐标为0列方程求解，得到点的坐标；
(3) 分点的纵坐标为1或2两种情况，代入抛物线表达式列方程求解，筛选出整数的值；
(4) 先求出抛物线与直线交点的纵坐标表达式，再根据完全平方的非负性判断出交点存在最低点，故乙的结论正确。
（1）解：根据题意，当抛物线L的顶点P为时，
设L的函数表达式为，其中，
又此时L与y轴的交点为，
，
解得，
当时，顶点P为，则此时L的函数表达式为；
（2）解：由题意得，
的函数表达式为，
由题意得，则点Q的坐标为，
当点M与点Q重合时，有，
解得，
；
（3）解：当点Q恰好是线段的三等分点时，或，
当点Q的坐标为时，，
解得或；
当点Q的坐标为时，，
解得，不是整数，舍去；
的整数值为0或；
（4）解：乙正确．
理由如下：
由（2）的解答可知，，：，
当L与直线相交时，设交点为T，
则时，点T的纵坐标，
，且当时，y取得最小值0，
即当时，L与直线的交点有一个最低点，
乙正确．
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