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贵州省黔东南州2025-2026学年下学期八年级数学第一次月考试卷（第十九章、第二十章）
1．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
2．据《周髀算经》记载，我国古人早就发现了“勾股数”并用于生产生活．下列各组数中，是“勾股数”的是（　　）
A．2，3，5 B．7，8，9 C．6，8，10 D．5，12，11
3．下列二次根式中，不能与合并的二次根式是（　　）
A． B． C． D．
4．在中，若，则（　　）
A． B． C． D．无法确定
5．如图，在中，，若，，则的长是(　　)
A． B． C． D．
6．下列各式中，运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，以原点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的实数是（　　）
A． B． C．-2.2 D．
8．下列各式计算正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
9．若x，y为有理数，且，则的值为 （ ）
A．0 B． C．2 D．不能确定
10．如图，在长方形中，．将长方形沿折叠后，使点D恰好落在对角线上的点处，则的长为（　　）
A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
11．若，则（　　）
A． B． C． D．
12．如图①，直角三角形的两个锐角分别是和，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为和的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为，则次操作后图形中所有正方形的面积和为（　　）
A． B． C． D．
13．化简：　 　．
14．如图，分别以的三边为边向外作正方形，其面积分别为、、，若，，则　 　．
15．已知，，则的值为　 　．
16．如图，四边形中，，，，，的面积是的面积的两倍、则的长为　 　．
17．计算：
（1）；
（2）．
18．计算
（1）；
（2）．
19．甲同学用如图①方法作出点，在中，，，，且点，，在同一数轴上，．
（1）甲同学所做的点表示的数是_______；
（2）仿照甲同学的做法，请你在如图②所示的数轴上作出表示的点．
20．如图，在四边形中，．
（1）求证：；
（2）求四边形的面积．
21．风筝，自春秋时期起源，至今已承载两千多年的智慧．为探索其蕴含的数学原理，某综合实践小组以“测量风筝离地面的垂直高度”为主题展开实践活动，探索过程如下：
【抽象模型】该小组基于风筝放飞的实际情况，画出了如图1所示的示意图，其中点A为风筝所在的位置，为牵线放风筝的手到风筝的水平距离，为风筝线的长度，为风筝到地面的垂直距离．
【测量数据】小组成员测量了图1相关数据，测得长为24米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米，牵线放风筝的手到地面的距离（即的长）为米．
【问题解决】根据以上信息，解决下列问题：
（1）请根据图1中测得的数据，计算此时风筝离地面的垂直高度；
（2）如图2，若风筝沿方向再上升8米到达点E，且风筝线的长度不变，放风筝的同学沿射线方向前进，放风筝的手水平移至点F处，则的长度是多少米？
22．阅读下列材料：
∵，即，
∴的整数部分为2，小数部分为．
根据材料提示，进行解答：
（1）的整数部分是__________，的小数部分是__________；
（2）如果的小数部分为m，的整数部分为n，求的值．
23．如图，四边形，、、，连接，且．
（1）求的长；
（2）若，求的长．
24．阅读材料，完成任务：我们知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了4，例如：
（1）模仿材料中的计算方法，化简___________；___________．
（2）计算：；
（3）已知，求的值．
25．如图，已知中，，，点D为直线上的一动点（点D不与点B、C重合），以为边作，使，，连接．
发现问题：如图1，当点D在边上时，
（1）请写出和之间的位置关系为　 　，并猜想和、之间的数量关系：　 　；
（2）如图2，当点D在边的延长线上且其他条件不变时，（1）中和之间的位置关系，和、之间的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，说明理由；
（3）当点D在射线上且其他条件不变时，若，，求出线段的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】在实数范围内有意义，
被开方数需满足，
解不等式得，
故选D．
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数，列不等式，求解即可．
2．【答案】C
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：A．，不符合勾股数的定义，不符合题意；
B．，不符合勾股数的定义，不符合题意；
C．，符合勾股数的定义，符合题意；
D．，不符合勾股数的定义，不符合题意．
故选C．
【分析】根据勾股数的定义，三个正整数满足两较小数的平方和等于最大数的平方，这样的三个数是勾股数，求解即可．
3．【答案】D
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：A．是最简二次根式，被开方数为，与可以合并，不符合要求，
B．，被开方数为，与可以合并，不符合要求，
C．是最简二次根式，被开方数为，与可以合并，不符合要求，
D．，被开方数为，不等于，与不能合并，符合要求．
故选：D
【分析】对每个选项的二次根式进行化简，再根据最简二次根式的定义，求解即可．
4．【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵在中，满足，
根据勾股定理逆定理，两条较短边的平方和等于最长边的平方，最长边所对的角是直角，
∴是斜边，斜边所对的角是，
因此．
【分析】根据勾股定理逆定理，若一个三角形三边长为，且满足，则该三角形是直角三角形，可得斜边为c，边长为的边所对的角为直角，即可求解．
5．【答案】C
【知识点】勾股定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：已知在△ABC中，∠C = 90°，因此△ABC为直角三角形，AB为斜边，AC、BC为两条直角边。
根据勾股定理：，
将已知边长 、 代入公式，得：
计算并化简：
由于边长为正数，取算术平方根：
故答案为：C。
【分析】本题考查勾股定理在直角三角形中的应用，先根据直角确定斜边与直角边，再代入勾股定理公式求解未知边长。
6．【答案】B
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：、∵，
∴该选项运算错误，不符合题意；
、∵，
∴该选项运算正确，符合题意；
、∵与不是同类二次根式，无法合并，
∴，该选项运算错误，不符合题意；
、∵，
∴该选项运算错误，不符合题意．
故选：B
【分析】根据二次根式的四则运算法则，对选项逐个判断即可．
7．【答案】A
【知识点】实数在数轴上表示；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：由勾股定理得，
由作图方法可得，
∵点A在点B左侧，点B为原点，
∴点A表示的实数是，
故选：A．
【分析】根据勾股定理求得，结合数轴，即可求解．
8．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；最简二次根式
【解析】【解答】解：因为二次根式的被开方数必须为非负数，选项A中与的被开方数为负数，无意义，所以A错误不符合题意；
因为，所以B错误不符合题意；
因为，所以C错误不符合题意；
因为有意义时，即，所以，所以D正确符合题意；
故选：D．
【分析】根据二次根式有意义的条件，性质以及运算，对选项逐个判断即可．
9．【答案】C
【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式组；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵，且，
∴，解得，
将代入中得：．
∴．
故选：C．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得，解得，再代入求得，即可求解．
10．【答案】B
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：在长方形中，，，
∴，
由折叠的性质得：，，
∴，，
设，则，
在中，∵，
∴，
解得：，
即．
故选：B
【分析】根据长方形的性质可得，，勾股定理求得，根据折叠可得，，从而得到，，设，则，在中，由勾股定理可得，进而求解．
11．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵，
，
∴，
∵绝对值具有非负性，
∴，
即，
对等式两边平方：
，
∴，
∴，
∴，
验证其他选项：
取，，满足，
此时，
故A错误；
取，，，
故B错误；
取，，，
故D错误，
故选：C．
【分析】根据二次根式性质转化等式可得，从而得到，对选项逐个判断即可．
12．【答案】C
【知识点】勾股数；用代数式表示图形变化规律
【解析】【解答】解：∵图①中所有正方形的面积和为：；
第一次操作后所有正方形的面积和为：；
第二次操作后所有正方形的面积和为：；
……
第次操作后所有正方形的面积和为：；
∴当时，，
故选：C ．
【分析】根据题意分别计算出图①、图②和图③的面积，得出规律，第次操作后所有正方形的面积和为：，即可求解．
13．【答案】6
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：．
故答案为：6
【分析】根据二次根式的性质，即可求解．
14．【答案】15
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵在直角中，，
又∵，，，
∴．
故答案为：．
【分析】根据直角三角形的三边关系，从而得到，即可求解．
15．【答案】
【知识点】分母有理化；二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵，，
∴
∴，
故答案为：．
【分析】根据题意可得，根据二次根式的性质可得=，然后利用已知条件代入计算即可得到答案．
16．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：延长到点，使，连接，过点作于，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴
设
∵的面积是的面积的两倍
∴的面积是的面积的两倍
即：，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
解得：，即：．
故答案为：．
【分析】延长到点，使，连接，作于，由题意可得，得到，再根据得到是等边三角形，设，可得，利用勾股定理列方程可解．
17．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】零指数幂；二次根式的性质与化简；二次根式的乘除混合运算；二次根式的混合运算；实数的绝对值
【解析】【分析】（1）先根据公式：，，对每个式子进行化简，然后计算即可；
（2）先去绝对值，化简二次根式，然后合并同类二次根式，求解即可．
（1）解：原式
；
（2）原式
．
18．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据平方差公式进行化简求解即可；
（2）根据完全平方公式进行化简，再求解即可．
（1）解：
；
（2）解：
．
19．【答案】（1）
（2）解：如下图所示，在中，，，，
，
，
点表示的数是．
【知识点】实数在数轴上表示；运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】（1）解：在中，，，，
，
，
点表示的数是，
故答案为：；
【分析】(1)根据勾股定理可得，可知，即可求解；
(2)构造，使，，，根据勾股定理可得，所以点表示的数是．
（1）解：在中，，，，
，
，
点表示的数是，
故答案为：；
（2）解：如下图所示，在中，，，，
，
，
点表示的数是．
20．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即：；
（2）解：∵，∴，
∵，，
∴，
∴．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）连接，利用勾股定理可得，再根据勾股定理逆定理可得，即可求证；
（2）结合（1）的结论，再根据，利用直角三角形面积公式求解即可．
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即：；
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
21．【答案】（1）解：在中，米，
米．
答：此时风筝离地面的垂直高度为米．
（2）解：米，
由题意可得：米，
在中，米，
米，
答：他应该朝射线方向前进4米．
【知识点】勾股定理的实际应用-梯子滑动问题；勾股定理的实际应用-旗杆高度问题
【解析】【分析】（1）先根据勾股定理求出米，再根据线段和差关系求解即可；
（2）由题意可得米，米，然后根据勾股定理求出米，进而求解即可．
（1）解：在中，米，
米．
答：此时风筝离地面的垂直高度为米．
（2）解：米，
由题意可得：米，
在中，米，
米，
答：他应该朝射线方向前进4米．
22．【答案】（1）5，
（2）解：∵，
∴，，
∴的整数部分为3，的整数部分为4，
∵的小数部分为m，的整数部分为n，
∴，，
∴．
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
∴的整数部分是5；
∵，，
∴，
∴，
∴的整数部分是3
∴的小数部分是；
故答案为：5；
【分析】(1) 先通过夹逼法估算和的取值范围，确定它们的整数部分，再用原数减去整数部分得到小数部分；
(2) 先估算和的取值范围，确定和的值，再代入代数式计算结果。
（1）解：∵，
∴，
∴的整数部分是5；
∵，，
∴，
∴，
∴的整数部分是3
∴的小数部分是；
故答案为：5；
（2）解：∵，
∴，，
∴的整数部分为3，的整数部分为4，
∵的小数部分为m，的整数部分为n，
∴，，
∴．
23．【答案】（1）解：∵，，，
∴，
∵，
∴；
（2）解：如图，过点作交延长线于．
∴，
由(1)知，又知，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）在 Rt△ABC 中，利用勾股定理先求出 AC 的长度，再结合 AC=CD 的条件得到 CD 的长度；
（2）先通过勾股定理的逆定理判定△ACD 为直角三角形，再构造△ABC≌△CED 求出 CE、DE 的长度，最后在 Rt△BDE 中利用勾股定理计算 BD 的长度。
（1）解：∵，，，
∴，
∵，
∴；
（2）解：如图，过点作交延长线于．
∴，
由(1)知，又知，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴．
24．【答案】（1）；
（2）解：原式
；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴
．
【知识点】完全平方公式及运用；分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【解答】（1）解：；
；
故答案为：；
【分析】（1）根据材料提示分别将二次根式进行分母有理化即可解答；
（2）将第一个括号内的每一项分母有理化，即可化简得到，再根据平方差公式计算即可；
（3）先根据完全平方公式把原式化为，再根据题意对a，b进行化简，再求得，，再代入计算即可．
（1）解：；
；
（2）解：原式
；
（3）解：∵，
∴
．
25．【答案】（1）；
（2）解：当点D在边的延长线上且其他条件不变时，（1）中和之间的位置关系，和、之间的数量关系仍然成立，理由如下：∵，
∴，即，
又，，
∴，
∴，，
又，
∴，即，
∴在中，，
∵，
∴；
（3）解：①当点在上时，如图，
由（1）得，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵在中，，
∴；
②当点在的延长线上时，如图，
同理可得，，
∴，
∵在中，，
∴；
综上，的长为或．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；旋转全等模型
【解析】【解答】（1）解：∵中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
又，，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
∴在中，，
∵，
∴；
综上，和之间的位置关系为，和、之间的数量关系为；
故答案为：，；
【分析】（1）由题意可得，得到，再通过证明得，，结合可证明，运用勾股定理可得出；
（2）按照（1）中的思路和方法，求解即可；
（3）分点在上和在的延长线上两种情况，根据全等三角形的性质以及勾股定理求解即可．
（1）解：∵中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
又，，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
∴在中，，
∵，
∴；
综上，和之间的位置关系为，和、之间的数量关系为；
（2）解：当点D在边的延长线上且其他条件不变时，（1）中和之间的位置关系，和、之间的数量关系仍然成立，理由如下：
∵，
∴，即，
又，，
∴，
∴，，
又，
∴，即，
∴在中，，
∵，
∴；
（3）解：①当点在上时，如图，
由（1）得，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵在中，，
∴；
②当点在的延长线上时，如图，
同理可得，，
∴，
∵在中，，
∴；
综上，的长为或．
1 / 1贵州省黔东南州2025-2026学年下学期八年级数学第一次月考试卷（第十九章、第二十章）
1．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】在实数范围内有意义，
被开方数需满足，
解不等式得，
故选D．
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数，列不等式，求解即可．
2．据《周髀算经》记载，我国古人早就发现了“勾股数”并用于生产生活．下列各组数中，是“勾股数”的是（　　）
A．2，3，5 B．7，8，9 C．6，8，10 D．5，12，11
【答案】C
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：A．，不符合勾股数的定义，不符合题意；
B．，不符合勾股数的定义，不符合题意；
C．，符合勾股数的定义，符合题意；
D．，不符合勾股数的定义，不符合题意．
故选C．
【分析】根据勾股数的定义，三个正整数满足两较小数的平方和等于最大数的平方，这样的三个数是勾股数，求解即可．
3．下列二次根式中，不能与合并的二次根式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：A．是最简二次根式，被开方数为，与可以合并，不符合要求，
B．，被开方数为，与可以合并，不符合要求，
C．是最简二次根式，被开方数为，与可以合并，不符合要求，
D．，被开方数为，不等于，与不能合并，符合要求．
故选：D
【分析】对每个选项的二次根式进行化简，再根据最简二次根式的定义，求解即可．
4．在中，若，则（　　）
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵在中，满足，
根据勾股定理逆定理，两条较短边的平方和等于最长边的平方，最长边所对的角是直角，
∴是斜边，斜边所对的角是，
因此．
【分析】根据勾股定理逆定理，若一个三角形三边长为，且满足，则该三角形是直角三角形，可得斜边为c，边长为的边所对的角为直角，即可求解．
5．如图，在中，，若，，则的长是(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：已知在△ABC中，∠C = 90°，因此△ABC为直角三角形，AB为斜边，AC、BC为两条直角边。
根据勾股定理：，
将已知边长 、 代入公式，得：
计算并化简：
由于边长为正数，取算术平方根：
故答案为：C。
【分析】本题考查勾股定理在直角三角形中的应用，先根据直角确定斜边与直角边，再代入勾股定理公式求解未知边长。
6．下列各式中，运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：、∵，
∴该选项运算错误，不符合题意；
、∵，
∴该选项运算正确，符合题意；
、∵与不是同类二次根式，无法合并，
∴，该选项运算错误，不符合题意；
、∵，
∴该选项运算错误，不符合题意．
故选：B
【分析】根据二次根式的四则运算法则，对选项逐个判断即可．
7．如图，以原点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的实数是（　　）
A． B． C．-2.2 D．
【答案】A
【知识点】实数在数轴上表示；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：由勾股定理得，
由作图方法可得，
∵点A在点B左侧，点B为原点，
∴点A表示的实数是，
故选：A．
【分析】根据勾股定理求得，结合数轴，即可求解．
8．下列各式计算正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；最简二次根式
【解析】【解答】解：因为二次根式的被开方数必须为非负数，选项A中与的被开方数为负数，无意义，所以A错误不符合题意；
因为，所以B错误不符合题意；
因为，所以C错误不符合题意；
因为有意义时，即，所以，所以D正确符合题意；
故选：D．
【分析】根据二次根式有意义的条件，性质以及运算，对选项逐个判断即可．
9．若x，y为有理数，且，则的值为 （ ）
A．0 B． C．2 D．不能确定
【答案】C
【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式组；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵，且，
∴，解得，
将代入中得：．
∴．
故选：C．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得，解得，再代入求得，即可求解．
10．如图，在长方形中，．将长方形沿折叠后，使点D恰好落在对角线上的点处，则的长为（　　）
A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
【答案】B
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：在长方形中，，，
∴，
由折叠的性质得：，，
∴，，
设，则，
在中，∵，
∴，
解得：，
即．
故选：B
【分析】根据长方形的性质可得，，勾股定理求得，根据折叠可得，，从而得到，，设，则，在中，由勾股定理可得，进而求解．
11．若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵，
，
∴，
∵绝对值具有非负性，
∴，
即，
对等式两边平方：
，
∴，
∴，
∴，
验证其他选项：
取，，满足，
此时，
故A错误；
取，，，
故B错误；
取，，，
故D错误，
故选：C．
【分析】根据二次根式性质转化等式可得，从而得到，对选项逐个判断即可．
12．如图①，直角三角形的两个锐角分别是和，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为和的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为，则次操作后图形中所有正方形的面积和为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股数；用代数式表示图形变化规律
【解析】【解答】解：∵图①中所有正方形的面积和为：；
第一次操作后所有正方形的面积和为：；
第二次操作后所有正方形的面积和为：；
……
第次操作后所有正方形的面积和为：；
∴当时，，
故选：C ．
【分析】根据题意分别计算出图①、图②和图③的面积，得出规律，第次操作后所有正方形的面积和为：，即可求解．
13．化简：　 　．
【答案】6
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：．
故答案为：6
【分析】根据二次根式的性质，即可求解．
14．如图，分别以的三边为边向外作正方形，其面积分别为、、，若，，则　 　．
【答案】15
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵在直角中，，
又∵，，，
∴．
故答案为：．
【分析】根据直角三角形的三边关系，从而得到，即可求解．
15．已知，，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】分母有理化；二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵，，
∴
∴，
故答案为：．
【分析】根据题意可得，根据二次根式的性质可得=，然后利用已知条件代入计算即可得到答案．
16．如图，四边形中，，，，，的面积是的面积的两倍、则的长为　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：延长到点，使，连接，过点作于，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴
设
∵的面积是的面积的两倍
∴的面积是的面积的两倍
即：，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
解得：，即：．
故答案为：．
【分析】延长到点，使，连接，作于，由题意可得，得到，再根据得到是等边三角形，设，可得，利用勾股定理列方程可解．
17．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】零指数幂；二次根式的性质与化简；二次根式的乘除混合运算；二次根式的混合运算；实数的绝对值
【解析】【分析】（1）先根据公式：，，对每个式子进行化简，然后计算即可；
（2）先去绝对值，化简二次根式，然后合并同类二次根式，求解即可．
（1）解：原式
；
（2）原式
．
18．计算
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据平方差公式进行化简求解即可；
（2）根据完全平方公式进行化简，再求解即可．
（1）解：
；
（2）解：
．
19．甲同学用如图①方法作出点，在中，，，，且点，，在同一数轴上，．
（1）甲同学所做的点表示的数是_______；
（2）仿照甲同学的做法，请你在如图②所示的数轴上作出表示的点．
【答案】（1）
（2）解：如下图所示，在中，，，，
，
，
点表示的数是．
【知识点】实数在数轴上表示；运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】（1）解：在中，，，，
，
，
点表示的数是，
故答案为：；
【分析】(1)根据勾股定理可得，可知，即可求解；
(2)构造，使，，，根据勾股定理可得，所以点表示的数是．
（1）解：在中，，，，
，
，
点表示的数是，
故答案为：；
（2）解：如下图所示，在中，，，，
，
，
点表示的数是．
20．如图，在四边形中，．
（1）求证：；
（2）求四边形的面积．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即：；
（2）解：∵，∴，
∵，，
∴，
∴．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）连接，利用勾股定理可得，再根据勾股定理逆定理可得，即可求证；
（2）结合（1）的结论，再根据，利用直角三角形面积公式求解即可．
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即：；
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
21．风筝，自春秋时期起源，至今已承载两千多年的智慧．为探索其蕴含的数学原理，某综合实践小组以“测量风筝离地面的垂直高度”为主题展开实践活动，探索过程如下：
【抽象模型】该小组基于风筝放飞的实际情况，画出了如图1所示的示意图，其中点A为风筝所在的位置，为牵线放风筝的手到风筝的水平距离，为风筝线的长度，为风筝到地面的垂直距离．
【测量数据】小组成员测量了图1相关数据，测得长为24米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米，牵线放风筝的手到地面的距离（即的长）为米．
【问题解决】根据以上信息，解决下列问题：
（1）请根据图1中测得的数据，计算此时风筝离地面的垂直高度；
（2）如图2，若风筝沿方向再上升8米到达点E，且风筝线的长度不变，放风筝的同学沿射线方向前进，放风筝的手水平移至点F处，则的长度是多少米？
【答案】（1）解：在中，米，
米．
答：此时风筝离地面的垂直高度为米．
（2）解：米，
由题意可得：米，
在中，米，
米，
答：他应该朝射线方向前进4米．
【知识点】勾股定理的实际应用-梯子滑动问题；勾股定理的实际应用-旗杆高度问题
【解析】【分析】（1）先根据勾股定理求出米，再根据线段和差关系求解即可；
（2）由题意可得米，米，然后根据勾股定理求出米，进而求解即可．
（1）解：在中，米，
米．
答：此时风筝离地面的垂直高度为米．
（2）解：米，
由题意可得：米，
在中，米，
米，
答：他应该朝射线方向前进4米．
22．阅读下列材料：
∵，即，
∴的整数部分为2，小数部分为．
根据材料提示，进行解答：
（1）的整数部分是__________，的小数部分是__________；
（2）如果的小数部分为m，的整数部分为n，求的值．
【答案】（1）5，
（2）解：∵，
∴，，
∴的整数部分为3，的整数部分为4，
∵的小数部分为m，的整数部分为n，
∴，，
∴．
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
∴的整数部分是5；
∵，，
∴，
∴，
∴的整数部分是3
∴的小数部分是；
故答案为：5；
【分析】(1) 先通过夹逼法估算和的取值范围，确定它们的整数部分，再用原数减去整数部分得到小数部分；
(2) 先估算和的取值范围，确定和的值，再代入代数式计算结果。
（1）解：∵，
∴，
∴的整数部分是5；
∵，，
∴，
∴，
∴的整数部分是3
∴的小数部分是；
故答案为：5；
（2）解：∵，
∴，，
∴的整数部分为3，的整数部分为4，
∵的小数部分为m，的整数部分为n，
∴，，
∴．
23．如图，四边形，、、，连接，且．
（1）求的长；
（2）若，求的长．
【答案】（1）解：∵，，，
∴，
∵，
∴；
（2）解：如图，过点作交延长线于．
∴，
由(1)知，又知，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）在 Rt△ABC 中，利用勾股定理先求出 AC 的长度，再结合 AC=CD 的条件得到 CD 的长度；
（2）先通过勾股定理的逆定理判定△ACD 为直角三角形，再构造△ABC≌△CED 求出 CE、DE 的长度，最后在 Rt△BDE 中利用勾股定理计算 BD 的长度。
（1）解：∵，，，
∴，
∵，
∴；
（2）解：如图，过点作交延长线于．
∴，
由(1)知，又知，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴．
24．阅读材料，完成任务：我们知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了4，例如：
（1）模仿材料中的计算方法，化简___________；___________．
（2）计算：；
（3）已知，求的值．
【答案】（1）；
（2）解：原式
；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴
．
【知识点】完全平方公式及运用；分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【解答】（1）解：；
；
故答案为：；
【分析】（1）根据材料提示分别将二次根式进行分母有理化即可解答；
（2）将第一个括号内的每一项分母有理化，即可化简得到，再根据平方差公式计算即可；
（3）先根据完全平方公式把原式化为，再根据题意对a，b进行化简，再求得，，再代入计算即可．
（1）解：；
；
（2）解：原式
；
（3）解：∵，
∴
．
25．如图，已知中，，，点D为直线上的一动点（点D不与点B、C重合），以为边作，使，，连接．
发现问题：如图1，当点D在边上时，
（1）请写出和之间的位置关系为　 　，并猜想和、之间的数量关系：　 　；
（2）如图2，当点D在边的延长线上且其他条件不变时，（1）中和之间的位置关系，和、之间的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，说明理由；
（3）当点D在射线上且其他条件不变时，若，，求出线段的长．
【答案】（1）；
（2）解：当点D在边的延长线上且其他条件不变时，（1）中和之间的位置关系，和、之间的数量关系仍然成立，理由如下：∵，
∴，即，
又，，
∴，
∴，，
又，
∴，即，
∴在中，，
∵，
∴；
（3）解：①当点在上时，如图，
由（1）得，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵在中，，
∴；
②当点在的延长线上时，如图，
同理可得，，
∴，
∵在中，，
∴；
综上，的长为或．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；旋转全等模型
【解析】【解答】（1）解：∵中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
又，，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
∴在中，，
∵，
∴；
综上，和之间的位置关系为，和、之间的数量关系为；
故答案为：，；
【分析】（1）由题意可得，得到，再通过证明得，，结合可证明，运用勾股定理可得出；
（2）按照（1）中的思路和方法，求解即可；
（3）分点在上和在的延长线上两种情况，根据全等三角形的性质以及勾股定理求解即可．
（1）解：∵中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
又，，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
∴在中，，
∵，
∴；
综上，和之间的位置关系为，和、之间的数量关系为；
（2）解：当点D在边的延长线上且其他条件不变时，（1）中和之间的位置关系，和、之间的数量关系仍然成立，理由如下：
∵，
∴，即，
又，，
∴，
∴，，
又，
∴，即，
∴在中，，
∵，
∴；
（3）解：①当点在上时，如图，
由（1）得，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵在中，，
∴；
②当点在的延长线上时，如图，
同理可得，，
∴，
∵在中，，
∴；
综上，的长为或．
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