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16第5章《特殊平行四边形》单元测试A卷
（时间：120分钟 满分：120分）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列四个命题中，真命题是（　　）
A．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
B．对角线相等且互相平分的四边形是矩形
C．对角线垂直相等的四边形是菱形
D．四边都相等的四边形是正方形
2．（3分）如图，正方形ABCD的边长为12，E，F分别为BC，AD边上的点，且BE＝DF＝5，M，N分别为AB，CD边上的点，且MN⊥AE交AE，CF于点G，H，则GH的长为（　　）
A．6 B． C． D．
3．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE⊥BC于点E，连接OE，若OA＝3，S菱形ABCD＝9，则OE的长为（　　）
A． B．2 C． D．
4．（3分）如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD四条边的中点，要使四边形EFGH为矩形，四边形ABCD应具备的条件是（　　）
A．一组对边平行而另一组对边不平行
B．对角线相等
C．对角线互相垂直
D．对角线互相平分
5．（3分）如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E，F，连接PB、PD，若AE＝2，PF＝8，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．18 B．16 C．12 D．10
6．（3分）如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的坐标是（，1），将该正方形以每秒45°的速度绕点O逆时针旋转100秒后，点C的坐标为（　　）
A． B． C． D．
7．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，E是边AD的中点，过点E作EF⊥BD，EG⊥AC，点F，G为垂足，若AC＝10，BD＝24，则FG的长为（　　）
A．5 B．6.5 C．10 D．12
8．（3分）如图，在矩形ABCD中，顺次连接矩形四边的中点得到四边形EFGH．若AB＝8，AD＝6，则四边形EFGH的周长等于（　　）
A．10 B．14 C．20 D．28
9．（3分）如图，将一个边长分别为AB＝4，BC＝8的矩形纸片ABCD折叠，使点C与A重合，点D翻折到点D’处，则折痕EF的长是（　　）
A． B． C． D．
10．（3分）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于O，BE平分∠ABO交AC于E，CF⊥BE于F，交BD于G，则下列结论：①OE＝OG；②CE＝CB；③△ABE≌△BCG；④CF平分∠BCE．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）如图，菱形ABCD的边长为10cm，其中对角线AC的长为16cm，则菱形ABCD的面积为 　 　 cm2．
12．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＝10，AB＝6，E为BC上的一点，ED平分∠AEC，则CE的长为　 　 ．
13．（3分）如图，在菱形ABCD中，AC、BD为对角线，AE平分∠CAB，若∠CAE＝32°，则∠ABC的度数为 　 　 °．
14．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2BC，将矩形ABCD沿直线AF对折，使B点落在CD边上的E点处，则∠CFE＝　 　 ．
15．（3分）如图所示，在边长为2的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，点E为AB中点，点F是AC上一动点，则EF+BF的最小值为　 　 ．（提示：根据轴对称的性质）
16．（3分）如图，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，过点E作EG⊥AD于G，连接GF．若∠A＝80°，则∠DGF的度数为　 　 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）如图，在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，DE∥AB，DF∥AC．
（1）试判断四边形AFDE的形状，并说明理由；
（2）若∠BAC＝90°，且AD＝11，求四边形AFDE的面积．
18．（8分）如图，已知 ABCD，延长AB到E，使BE＝AB，连接BD，ED，EC，若ED＝AD．
（1）求证：四边形BECD是矩形；
（2）连接AC，若AD＝6，CD＝3，求AC的长．
19．（8分）在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E、F满足BE＝DF，连接AE、AF、CE、CF，如图所示．
（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）试判断四边形AECF的形状，并说明理由．
20．（8分）如图，在 ABCD中，O为线段AD的中点，延长BO交CD的延长线于点E，连接AE，BD，∠BDC＝90°．
（1）求证：四边形ABDE是矩形；
（2）连接OC，若AB＝2，，求OC的长．
21．（8分）图1、图2均为4×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B均在格点上，点P为线段AB上的一点．（仅用无刻度的直尺作图．）
（1）在图1中，画出一个以AB为边的正方形ABCD（保留作图痕迹）．
（2）在（1）的基础上，在边CD上画点Q，使得PQ平分正方形ABCD的面积（保留作图痕迹）．
（3）在图2中，画出一个以AB为边的非正方形的菱形ABEF（保留作图痕迹），连结此菱形各边中点所形成的四边形为 　 　 ．
22．（10分）如图，平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在x轴、y轴上，连接AB，△AOB的两条外角平分线BP、AP交于第一象限的点P，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为C、D．
（1）∠APB＝ 　 　 °；
（2）①求证：四边形OCPD是正方形；
②若OA＝AC＝3，求点B的坐标．
23．（10分）如图，AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝60°，点E，F分别为线段AD，CD上的动点，且∠EBF＝60°．
（1）当BE⊥AD时，求证：AEAD；
（2）连接EF，判断△BEF的形状，并作证明；
（3）当AB的长度为定值时，四边形BEDF的面积是否为定值？请说明理由．
24．（12分）如图，AC，BD为平行四边形ABCD的对角线，点E是AC上一点，点F在BE延长线上，且EF＝BE，EF与CD交于点G，连结DF．
（1）求证：DF∥AC．
（2）连结DE，CF，若AB⊥BF，且G恰好是CD的中点，求证：四边形CFDE是菱形．
（3）在（2）的条件下，若四边形CFDE是正方形，且AB＝2，求BC的长．中小学教育资源及组卷应用平台
16第5章《特殊平行四边形》单元测试A卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列四个命题中，真命题是（　　）
A．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
B．对角线相等且互相平分的四边形是矩形
C．对角线垂直相等的四边形是菱形
D．四边都相等的四边形是正方形
【分析】利用正方形的判定定理、矩形的判定定理、菱形的判定定理分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、对角线互相垂直平分的平行四边形是正方形，故错误，是假命题；
B、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，正确，是真命题；
C、对角线垂直平分的四边形是菱形，故错误，是假命题，
D、四边都相等的四边形是菱形，故错误，是假命题，
故选：B．
2．（3分）如图，正方形ABCD的边长为12，E，F分别为BC，AD边上的点，且BE＝DF＝5，M，N分别为AB，CD边上的点，且MN⊥AE交AE，CF于点G，H，则GH的长为（　　）
A．6 B． C． D．
【分析】由勾股定理可求AE的长，通过证明四边形AFCE是平行四边形，可得S平行四边形AFCE＝AF×AB＝AE×GH，即可求解．
【解答】解：∵正方形ABCD的边长为12，
∴AB＝CD＝AD＝BC＝12，AD∥EC，
∵BE＝DF＝5，
∴AF＝CE＝7，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵AB＝12，BE＝5，
∴AE13，
∵S平行四边形AFCE＝AF×AB＝AE×GH，
∴7×12＝13×GH，
∴GH，
故选：C．
3．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE⊥BC于点E，连接OE，若OA＝3，S菱形ABCD＝9，则OE的长为（　　）
A． B．2 C． D．
【分析】由菱形的性质得出AC＝6，由菱形的面积得出BD＝3，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝3，OB＝ODBD，BD⊥AC，
∴AC＝6，
∵S菱形ABCDAC×BD＝9，
∴BD＝3，
∵DE⊥BC，
∴∠BED＝90°，
∴OEBD．
故选：C．
4．（3分）如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD四条边的中点，要使四边形EFGH为矩形，四边形ABCD应具备的条件是（　　）
A．一组对边平行而另一组对边不平行
B．对角线相等
C．对角线互相垂直
D．对角线互相平分
【分析】根据三角形中位线定理得到四边形EFGH一定是平行四边形，再推出一个角是直角，即可求解．
【解答】解：根据三角形的中位线定理得：
EF∥AC，，GH∥AC，，
∴EF∥GH，EF＝GH，
∴四边形EFGH一定是平行四边形，
∴EF∥AC，EH∥BD，
∵BD⊥AC，
∴EH⊥EF，
∴∠HEF＝90°，
∴四边形EFGH为矩形，
故要使四边形EFGH为矩形，四边形ABCD应具备的条件是对角线互相垂直，
故选：C．
5．（3分）如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E，F，连接PB、PD，若AE＝2，PF＝8，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．18 B．16 C．12 D．10
【分析】由矩形的性质可证明S△PEB＝S△PFD，即可求解．
【解答】解：作PM⊥AD于M，交BC于N．
则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，
∴S△ADC＝S△ABC，S△AMP＝S△AEP，S△PBE＝S△PBN，S△PFD＝S△PDM，S△PFC＝S△PCN，
∴S△DFP＝S△PBE2×8＝8，
∴S阴＝8+8＝16，
故选：B．
6．（3分）如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的坐标是（，1），将该正方形以每秒45°的速度绕点O逆时针旋转100秒后，点C的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【分析】找出旋转规律，每旋转8次点C回到原来的位置，并可判断100秒后点C旋转12周多4次，即可求解．
【解答】解：过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，如图，
∵，
∴，
∴，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OC＝OA＝2，∠COA＝90°，
∴∠AOC＝∠EOF＝90°，
∴∠COF+∠AOF＝∠AOE+∠AOF，
∴∠COF＝∠AOE，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴，
∵360°÷45°＝8，100÷8＝12 4，
即点C运动12周多4次，
45°×4＝180°，
∴运动100秒后的点C′与起始点C在同一条直线上，
如图，过点C′作C′P⊥y轴于点P，
由旋转的性质得，OC′＝OC，
在△COF和△C′OP中，
，
∴△COF≌△C′OP（AAS），
∴，
∴，
即点O逆时针旋转100秒后，点C的坐标为，
故选：A．
7．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，E是边AD的中点，过点E作EF⊥BD，EG⊥AC，点F，G为垂足，若AC＝10，BD＝24，则FG的长为（　　）
A．5 B．6.5 C．10 D．12
【分析】连接OE，根据菱形的性质可得OA＝OC＝5，OB＝OD＝12，AC⊥BD，再由勾股定理可得AD＝13，再根据E是边AD的中点，可得OE＝6.5，再证得四边形EFOG为矩形，即可求解．
【解答】解：连接OE，
∵四边形ABCD是菱形，AC＝10，BD＝24，
∴OA＝OC＝5，OB＝OD＝12，AC⊥BD，
在Rt△AOD中，AD13，
又∵E是边AD的中点，
∴OEAD13＝6.5，
∵EF⊥BD，EG⊥AC，AC⊥BD，
∴∠EFO＝∠EGO＝∠GOF＝90°，
∴四边形EFOG为矩形，
∴FG＝OE＝6.5．
故答案为：B．
8．（3分）如图，在矩形ABCD中，顺次连接矩形四边的中点得到四边形EFGH．若AB＝8，AD＝6，则四边形EFGH的周长等于（　　）
A．10 B．14 C．20 D．28
【分析】连接AC、BD，根据勾股定理求出BD，根据三角形中位线定理、菱形的判定定理得到四边形EHGF为菱形，根据菱形的性质计算周长．
【解答】解：连接AC、BD，
在Rt△ABD中，BD10，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD＝10，
∵E、H分别是AB、AD的中点，
∴EH∥BD，EHBD＝5，
同理，FG∥BD，FGBD＝5，GH∥AC，GHAC＝5，
∴四边形EHGF为菱形，
∴四边形EFGH的周长＝5×4＝20，
故选：C．
9．（3分）如图，将一个边长分别为AB＝4，BC＝8的矩形纸片ABCD折叠，使点C与A重合，点D翻折到点D’处，则折痕EF的长是（　　）
A． B． C． D．
【分析】由折叠的性质可得OA＝OC，AE＝CE，证明△AOF≌△COE得到OE＝OF，由勾股定理得到，则，设AE＝EC＝x，则BE＝8﹣x，由勾股定理得：42+（8﹣x）2＝x2，解方程得到CE＝5，则，弧．
【解答】解：如图所示，连接AC交EF于点O，
由折叠可知，EF垂直平分AC，
∴OA＝OC，AE＝CE
在矩形纸片ABCD中，AD∥BC，
∴∠OAF＝∠OCE，∠OFA＝∠OEC，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴OE＝OF，
在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝8，
∴，
∴，
设AE＝EC＝x，则BE＝8﹣x，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：42+（8﹣x）2＝x2，
解得：x＝5，
∴CE＝5，
在Rt△AOE中，，
∴，
故选：D．
10．（3分）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于O，BE平分∠ABO交AC于E，CF⊥BE于F，交BD于G，则下列结论：①OE＝OG；②CE＝CB；③△ABE≌△BCG；④CF平分∠BCE．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据正方形的性质，可得OB⊥OC，BO＝CO，根据直角三角形的性质，可得∠EBO+∠BEO＝90°，∠BEC+∠ECF＝90°，再根据与角的关系，可得∠EBO＝∠ECF，根据全等三角形的判定与性质OE＝OG，故①正确；根据角平分线的定义得到∠EBO45°＝22.5°，得到∠ECF＝∠BCF，求得CF平分∠BCE，故④正确；根据等腰三角形的性质得到CE＝CB，故②正确；根据全等三角形的判定两点得到△ABE≌△BCG（SAS），故③正确．
【解答】证明：∵正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴OB⊥OC，BO＝CO，
∴∠EOB＝∠COG＝90°．
∵CF⊥BE于点F，
∴∠CFE＝∠CFB＝90°．
∴∠EBO+∠BEO＝90°，∠BEC+∠ECF＝90°，
∴∠EBO＝∠ECF．
在△BEO和△CGO中，，
∴△BEO≌△CGO（AAS），
∴OE＝OG，故①正确；
∵∠ABO＝∠BCO＝45°，BE平分∠ABO交AC于E，
∴∠EBO45°＝22.5°，
∵∠EOF＝∠EBO＝22.5°，
∴∠BOF＝45°﹣22.5°＝22.5°，
∴∠ECF＝∠BCF，
∴CF平分∠BCE，故④正确；
∵CF⊥BE，
∴CE＝CB，故②正确；
∵∠ABE＝∠BCG＝22.5°，
∵△BEO≌△CGO，
∴BE＝CG，
∵AB＝BC，
∴△ABE≌△BCG（SAS），故③正确．
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）如图，菱形ABCD的边长为10cm，其中对角线AC的长为16cm，则菱形ABCD的面积为 　96　 cm2．
【分析】由菱形的性质可得AO＝CO＝8cm，AC⊥BD，由勾股定理可求BO的长，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO＝8cm，AC⊥BD，
∴BO6（cm），
∴BD＝12cm，
∴菱形ABCD的面积96（cm2），
故答案为：96．
12．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＝10，AB＝6，E为BC上的一点，ED平分∠AEC，则CE的长为　2　 ．
【分析】根据平行线的性质以及角平分线的定义证明∠ADE＝∠AED，根据等角对等边，即可求得AE的长，在直角△ABE中，利用勾股定理求得BE的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠B＝90°，BC＝AD＝10，
∴∠DEC＝∠ADE，
∵ED平分∠AEC，
∴∠DEC＝∠AED，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AE＝AD＝10，
在直角△ABE中，BE8，
∴CE＝BC﹣BE＝2，
故答案为：2．
13．（3分）如图，在菱形ABCD中，AC、BD为对角线，AE平分∠CAB，若∠CAE＝32°，则∠ABC的度数为 　52　 °．
【分析】由角平分线定义得到∠CAB＝2∠CAE＝2×32°＝64°，由菱形的性质推出AB＝BC，得到∠ACB＝∠CAB＝64°，即可求出∠ABC＝180°﹣64°×2＝52°．
【解答】解：∵AE平分∠CAB，
∴∠CAB＝2∠CAE＝2×32°＝64°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∴∠ACB＝∠CAB＝64°，
∴∠ABC＝180°﹣64°×2＝52°．
故答案为：52．
14．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2BC，将矩形ABCD沿直线AF对折，使B点落在CD边上的E点处，则∠CFE＝　30°　 ．
【分析】由折叠的性质得到AE＝AB，BF＝EF，∠AEF＝∠B＝90°，再根据矩形的对边相等得到AD＝BC，AB＝CD，根据AB＝2BC得到AE＝2AD，确定出∠AED＝30°，进而求出所求角的度数．
【解答】解：由折叠可得：AE＝AB，BF＝EF，∠AEF＝∠B＝90°，
∵矩形ABCD，
∴AD＝BC，AB＝CD，
∵AB＝2BC，
∴AE＝2AD，
∴在Rt△ADE中，∠AED＝30°，
∴∠CEF＝60°，
在Rt△CEF中，∠C＝90°，
∴∠CFE＝30°，
故答案为：30°
15．（3分）如图所示，在边长为2的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，点E为AB中点，点F是AC上一动点，则EF+BF的最小值为　　 ．（提示：根据轴对称的性质）
【分析】首先连接DB，DE，设DE交AC于M，连接MB，DF．证明只有点F运动到点M时，EF+BF取最小值，再根据菱形的性质、勾股定理求得最小值．
【解答】解：连接DB，DE，设DE交AC于M，连接MB，DF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC，BD互相垂直平分，
∴点B关于AC的对称点为D，
∴FD＝FB，
∴FE+FB＝FE+FD≥DE．
只有当点F运动到点M时，取等号（两点之间线段最短），
△ABD中，AD＝AB，∠DAB＝60°，
∴△ABD是等边三角形．
∵E为AB的中点，
∴DE⊥AB，
∴AEAD＝1，DE，
∴EF+BF的最小值为．
16．（3分）如图，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，过点E作EG⊥AD于G，连接GF．若∠A＝80°，则∠DGF的度数为　50°　 ．
【分析】延长AD、EF相交于点H，根据线段中点定义可得CF＝DF，根据两直线平行，内错角相等可得∠H＝∠CEF，然后利用“角角边”证明△CEF和△DHF全等，根据全等三角形对应边相等可得EF＝FH，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得GF＝FH，根据等边对等角可得∠DGF＝∠H，根据菱形的性质求出∠C＝∠A，CE＝CF，然后根据等腰三角形两底角相等求出∠CEF，从而得解．
【解答】解：如图，延长AD、EF相交于点H，
∵F是CD的中点，
∴CF＝DF，
∵菱形对边AD∥BC，
∴∠H＝∠CEF，
在△CEF和△DHF中，
，
∴△CEF≌△DHF（AAS），
∴EF＝FH，
∵EG⊥AD，
∴GF＝FH，
∴∠DGF＝∠H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠C＝∠A＝80°，
∵菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，
∴CE＝CF，
在△CEF中，∠CEF（180°﹣80°）＝50°，
∴∠DGF＝∠H＝∠CEF＝50°．
故答案为：50°．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）如图，在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，DE∥AB，DF∥AC．
（1）试判断四边形AFDE的形状，并说明理由；
（2）若∠BAC＝90°，且AD＝11，求四边形AFDE的面积．
【分析】（1）先证明四边形AFDE是平行四边形，再根据角平分线的定义及平行线的性质证明AE＝DE即可；
（2）先证明四边形AFDE是正方形，再根据AD＝12得到正方形AFDE的边长，最后求面积即可．
【解答】（1）证明：∵DE∥AB，DF∥AC，
∴四边形AFDE是平行四边形．
∵AD平分∠BAC，
∴∠FAD＝∠EAD，
∵DE∥AB，
∴∠EDA＝∠FAD，
∴∠EDA＝∠EAD，
∴AE＝DE，
∴平行四边形AFDE是菱形．
（2）解：∵BAC＝90°，四边形AFDE是菱形，
∴四边形AFDE是正方形，
∴∠FAD＝45°，
∵AD＝11，
∴AF＝DF＝DE＝AEAD，
∴四边形AFDE的面积为．
18．（8分）如图，已知 ABCD，延长AB到E，使BE＝AB，连接BD，ED，EC，若ED＝AD．
（1）求证：四边形BECD是矩形；
（2）连接AC，若AD＝6，CD＝3，求AC的长．
【分析】（1）证明四边形BECD是平行四边形，根据题意得到BC＝DE，根据矩形的判定定理证明；
（2）根据矩形的性质得到∠ABD＝90°，根据勾股定理求出BD，再根据勾股定理计算即可．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵BE＝AB，
∴BE＝CD，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵AD＝BC，AD＝DE，
∴BC＝DE，
∴ BECD是矩形；
（2）如图，
∵CD＝3，
∴AB＝BE＝3．
∵AD＝6，∠ABD＝90°，
∴BD3，
∴CE＝3，
∴AC3．
19．（8分）在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E、F满足BE＝DF，连接AE、AF、CE、CF，如图所示．
（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）试判断四边形AECF的形状，并说明理由．
【分析】（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定证明即可；
（2）四边形AECF是菱形，根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可判断；
【解答】证明：（1）∵正方形ABCD，
∴AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴∠ABE＝∠ADF，
在△ABE与△ADF中
，
∴△ABE≌△ADF（SAS）；
（2）连接AC，
四边形AECF是菱形．
理由：∵正方形ABCD，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥EF，
∴OB+BE＝OD+DF，
即OE＝OF，
∵OA＝OC，OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形．
20．（8分）如图，在 ABCD中，O为线段AD的中点，延长BO交CD的延长线于点E，连接AE，BD，∠BDC＝90°．
（1）求证：四边形ABDE是矩形；
（2）连接OC，若AB＝2，，求OC的长．
【分析】（1）证△AOB≌△DOE（ASA），得AB＝DE，再证四边形ABDE是平行四边形，然后证∠BDE＝90°，即可得出结论；
（2）过点O作OF⊥DE于点F，由矩形的性质得DE＝AB＝2，OD＝OE，再由等腰三角形的性质得DF＝EFDE＝1，则OF为△BDE的中位线，得，然后由平行四边形的性质得CD＝AB＝2，进而由勾股定理即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵O为AD的中点，
∴AO＝DO，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAO＝∠EDO，
又∵∠AOB＝∠DOE，
∴△AOB≌△DOE（ASA），
∴AB＝DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∵∠BDC＝90°，
∴∠BDE＝90°，
∴平行四边形ABDE是矩形；
（2）解：如图，过点O作OF⊥DE于点F，
∵四边形ABDE是矩形，
∴DE＝AB＝2，ODAD，OB＝OEBE，AD＝BE，
∴OD＝OE，
∵OF⊥DE，
∴DF＝EFDE＝1，
∴OF为△BDE的中位线，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝2，
∴CF＝CD+DF＝3，
在Rt△OCF中，由勾股定理得：OC，
即OC的长为．
21．（8分）图1、图2均为4×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B均在格点上，点P为线段AB上的一点．（仅用无刻度的直尺作图．）
（1）在图1中，画出一个以AB为边的正方形ABCD（保留作图痕迹）．
（2）在（1）的基础上，在边CD上画点Q，使得PQ平分正方形ABCD的面积（保留作图痕迹）．
（3）在图2中，画出一个以AB为边的非正方形的菱形ABEF（保留作图痕迹），连结此菱形各边中点所形成的四边形为 　矩形　 ．
【分析】（1）根据正方形的定义画出图形；
（2）过点P，正方形ABCD的中心作直线交CD于点Q，直线PQ即为所求；
（3）根据菱形的定义中点四边形的定义画出图形即可．
【解答】解：（1）如图1中，四边形ABCD即为所求；
（2）如图1中，直线PQ即为所求；
（3）如图，四边形ABEF即为所求，中点四边形是矩形．
故答案为：矩形．
22．（10分）如图，平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在x轴、y轴上，连接AB，△AOB的两条外角平分线BP、AP交于第一象限的点P，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为C、D．
（1）∠APB＝ 　45　 °；
（2）①求证：四边形OCPD是正方形；
②若OA＝AC＝3，求点B的坐标．
【分析】（1）根据垂直的定义得到∠PDO＝∠PCO＝∠DOC＝90°，求得四边形PDOC是矩形，得到∠DPC＝90°，过P作PE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到PD＝PE，PE＝PC，根据全等三角形的性质得到∠DPB＝∠EPB，同理∠CPA＝∠EPA，于是得到结论；
（2）①由（1）知四边形PDOC是矩形，根据角平分线的性质得到PD＝PC，得到四边形OCPD是正方形；
②由（1）知，Rt△PDB≌Rt△PEB，求得BD＝BE，同理AE＝AC＝3，设OB＝x，则BD＝BE＝6﹣x，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）解：∵PD⊥y轴，PC⊥x轴，∠AOB＝90°，
∴∠PDO＝∠PCO＝∠DOC＝90°，
∴四边形PDOC是矩形，
∴∠DPC＝90°，
过P作PE⊥AB于E，
∵△AOB的两条外角平分线BP、AP交于第一象限的点P，PD⊥y轴，PC⊥x轴，
∴PD＝PE，PE＝PC，
∵PB＝PB，
∴Rt△PDB≌Rt△PEB（HL），
∴∠DPB＝∠EPB，
同理∠CPA＝∠EPA，
∴∠BPA＝∠BPE+∠APE；
故答案为：45；
（2）①证明：由（1）知四边形PDOC是矩形，
∵△AOB的两条外角平分线BP、AP交于第一象限的点P，PD⊥y轴，PC⊥x轴，
∴PD＝PE，PE＝PC，
∴PD＝PC，
∴四边形OCPD是正方形；
②∵OA＝AC＝3，
∴OC＝OD＝6，
由（1）知，Rt△PDB≌Rt△PEB，
∴BD＝BE，
同理AE＝AC＝3，
设OB＝x，则BD＝BE＝6﹣x，
∴AB＝3+6﹣x，
∵AB2＝OB2+OA2，
∴（9﹣x）2＝x2+32，
∴x＝4，
∴点B的坐标为（0，4）．
23．（10分）如图，AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝60°，点E，F分别为线段AD，CD上的动点，且∠EBF＝60°．
（1）当BE⊥AD时，求证：AEAD；
（2）连接EF，判断△BEF的形状，并作证明；
（3）当AB的长度为定值时，四边形BEDF的面积是否为定值？请说明理由．
【分析】（1）连接BD，证△ABD是等边三角形即可得证结论；
（2）由题知∠EBF＝60°，根据ASA证△ABE≌△DBF，得出BE＝BF，即可得出△BEF是等边三角形；
（3）由△ABE≌△DBF，得出S△ABE＝S△DBF，根据四边形BEDF的面积＝S△BED+S△DBF＝S△BED+S△ABE＝S△ABD，得出四边形BEDF的面积是定值．
【解答】（1）证明：如图，连接BD，
∵AB＝AD，∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∵BE⊥AD，
∴AEAD；
（2）解：△BEF是等边三角形，理由如下：
∵△ABD是等边三角形，
∴AB＝BD，∠ABD＝60°，
∴∠ABE+∠EBD＝60°，
∵∠EBF＝60°，
∴∠FBD+∠EBD＝60°，
∴∠FBD＝∠ABE，
∵AB＝BC＝CD，
∴BD＝BC＝CD，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠BDC＝60°，
在△ABE和△DBF中，
，
∴△ABE≌△DBF（ASA），
∴BE＝BF，
∴BEF是等边三角形；
（3）解：四边形BEDF的面积是定值，理由如下：
∵△ABE≌△DBF，
∴S△ABE＝S△DBF，
∵四边形BEDF的面积＝S△BED+S△DBF＝S△BED+S△ABE＝S△ABD，
∴当AB的长度为定值时，△ABD的面积为定值，四边形BEDF的面积也为定值．
24．（12分）如图，AC，BD为平行四边形ABCD的对角线，点E是AC上一点，点F在BE延长线上，且EF＝BE，EF与CD交于点G，连结DF．
（1）求证：DF∥AC．
（2）连结DE，CF，若AB⊥BF，且G恰好是CD的中点，求证：四边形CFDE是菱形．
（3）在（2）的条件下，若四边形CFDE是正方形，且AB＝2，求BC的长．
【分析】（1）由平行四边形的性质得OB＝OD，再证OE是△BDF的中位线，即可得出结论；
（2）证△DFG≌△CEG（ASA），得FG＝EG，则四边形CFDE是平行四边形，再证CD⊥BF，即可得出结论；
（3）由正方形的性质得EF＝CD＝AB＝2，EF⊥CD，CG＝DG＝EG＝FGEF＝1，再求出BG＝BE+EG＝3，然后由勾股定理即可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，
∵EF＝BE，
∴OE是△BDF的中位线，
∴DF∥AC；
（2）证明：由（1）得：DF∥AC，
∴∠FDG＝∠ECG，
∵G是CD的中点，
∴DG＝CG，
在△DFG和△CEG中，
，
∴△DFG≌△CEG（ASA），
∴FG＝EG，
∴四边形CFDE是平行四边形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∵AB⊥BF，
∴CD⊥BF，
∴平行四边形CFDE是菱形；
（3）解：∵四边形CFDE是正方形，
∴EF＝CD＝AB＝2，EF⊥CD，
∴CG＝DG＝EG＝FGEF＝1，
∵BE＝EF＝2，
∴BG＝BE+EG＝3，
在Rt△BCG中，由勾股定理得：BC．

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