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浙江省四校2024-2025学年高二下学期3月联考数学试题
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．
1．在平面直角坐标系中，直线：的倾斜角为（　　）
A． B． C． D．
2．已知双曲线的焦距为6，则为（　　）
A．5 B． C． D．32
3．圆与圆的位置关系是（　　）
A．内含 B．内切 C．外离 D．相交
4．如果函数在处的导数为1，那么（　　）
A．1 B． C．2 D．4
5．将3个相同的红球和3个相同的黑球装入三个不同的袋中，每袋均装2个球，则不同的装法种数为（　　）
A．6 B．7 C．15 D．90
6．三个非零向量则“共面”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．2025年这个寒假，国产AI助手DeepSeek在全球掀起一场科技风暴．DeepSeek在训练模型时会用到对数似然函数来优化参数.假设某模型的对数似然函数为，其中是模型参数，是输入特征，为了最大化，我们需要求解以下哪个方程（　　）
A． B．
C． D．
8．已知是椭圆上的动点：若动点到定点的距离的最小值为1，则椭圆的离心率的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有错选的得0分.
9．在平面直角坐标系中，已知曲线，则下列说法正确的有（　　）
A．若，则是椭圆
B．若，则是焦点在轴的椭圆
C．若，则是焦点在轴的双曲线
D．若，则是直线
10．在平行六面体中，已知，，点为平面上的动点，则（　　）
A．四边形为矩形
B．在上的投影向量为
C．点到直线的距离为
D．若直线与直线所成的角为，则点的轨迹为双曲线
11．如果一个人爬台阶的方式只有两种，在台阶底部（第0级）从下往上走，一次上一级台阶或一次上两级台阶，设爬上级台阶的方法数为，则下列结论正确的有（　　）
A．若用7步走完了10级台阶，则不同的走法有35种．
B．
C．是偶数
D．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.
12．已知数列为等比数列，，则　 　．
13．阳春三月，草长莺飞；丝绦拂堤，尽飘香玉.三个家庭的3位妈妈带着3名女宝和2名男宝共8人踏春.在沿行一条小溪时，为了安全起见，他们排队前进，三位母亲互不相邻照顾孩子；3名女宝相邻且不排最前面也不排最后面；为了防止2名男宝打闹，2人不相邻，且不排最前面也不排最后面.则不同的排法种数共有　 　种（用数字作答）.
14．已知，，若对任意，都存在，使得，则实数a的取值范围为　 　.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知函数的图象在点处的切线与直线平行，其中为常数．
（1）求的值；
（2）求不等式的解集．
16．已知数列满足，且，．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）设数列的前项和为，求．
17．如图，已知在四棱锥中，平面，在四边形中，，点在平面内的射影恰好是的重心.
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
18．已知椭圆的离心率，且过点，直线与圆相切且与椭圆交于两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）过原点作的平行线交椭圆于两点，若，求的最小值．
19．已知函数的定义域为，设，曲线在点处的切线交轴于点，当时，设曲线在点处的切线交轴于点，依次类推，称得到的数列为函数关于的“数列”，已知.
（1）求证：的图象与轴有两个交点；
（2）若是函数关于的“数列”，记.
①证明：数列为等比数列，并求其通项公式；
②记，（），证明：.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】解：由化简得：，
所以直线的斜率为，
又因为为倾斜角，
所以直线的倾斜角为.
故答案为：A.
【分析】把直线方程化成斜截式方程，从而求出直线的斜率，再根据直线斜率与直线倾斜角之间的关系式结合特殊角的正切值，从而求出直线的倾斜角.
2．【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：因为双曲线的焦距为6，
所以，则，
又因为，，
所以，
所以.
故答案为：A.
【分析】由双曲线的焦距和双曲线中a，b，c三者的关系式，从而得出m的值.
3．【答案】D
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】解：因为圆的圆心和半径为，，
圆的圆心和半径为，，
所以，，
故两圆相交.
故答案为：D.
【分析】根据圆心距和半径的关系，从而判断两圆的位置关系.
4．【答案】B
【知识点】极限及其运算；导数的概念
【解析】【解答】解：.
故答案为：B.
【分析】由导数的定义变形得出的值.
5．【答案】B
【知识点】分类加法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：将3个红球分成3组，每组球的数量最多2个最少0个，
则有，两种组合形式，
当红球分组形式为时，将红球放入三个不同的袋中有放法，
此时三个不同的袋中依次补充上黑球，使每个袋子中球的总个数为2个即可；
当红球分组形式为时，将红球放入三个不同的袋中有1种放法，
此时三个不同的袋中依次补充上黑球，使每个袋子中球的总个数为2个即可；
综上所述：将3个相同的红球和3个相同的黑球装入三个不同的袋中，每袋均装2个球，
不同的装法种数为种.
故答案为：B.
【分析】先将红球从数量分成，两种类型的分组，再分两类研究以上不同形式下红球放入三个不同的袋中的方法数，则袋中不重上黑球，使每个袋子中球的总个数为2个，最后将两类情况的方法总数相加得出不同的装法种数.
6．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：由共面向量的基本定理可知，
若三个非零向量满足，
则共面，
反之，若三个非零向量共面，当共线，与不共线时，
不存在实数使得，
故共面是的必要不充分条件.
故答案为：B.
【分析】根据向量共面的等价条件结合充分条件和必要条件的判断方法，从而找出正确的选项.
7．【答案】A
【知识点】函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】解：因为，
所以，
又因为函数在极值点处的导数为，为了最大化，需要找到的极值点，
所以，令，可得：，
将等式两边同时乘以，得到，
则，
所以.
故答案为：A.
【分析】通过对数似然函数的导数结合函数取得极值的条件，从而确定最大化时需要求解的方程.
8．【答案】C
【知识点】函数的最大（小）值；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由题意可设：，
则，
令，
则，
当，则，
可知的图象开口向上，对称轴为，
当时，即当时，可知在上的最小值为，
则，
整理得，解得，不合题意；
当时，即当时，
可知在内的最小值为，符合题意；
综上所述：，
可得椭圆的离心率.
故答案为：C.
【分析】设，整理得，根据二次函数的图象的开口方向、对称性，从而分情况得出函数在给定区间上的最小值，进而可得，再利用椭圆的离心率公式和椭圆中a，b，c三者的关系式，从而得出椭圆的离心率的取值范围.
9．【答案】B,C
【知识点】与直线有关的动点轨迹方程；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【解答】解：由题意可得曲线，
若，则，为两条平行直线；
若，则曲线为，是直线，故D错误；
当且时，曲线，则，
当时，即当且时，曲线为椭圆，故A错误；
若，，则曲线是焦点在轴的椭圆，故B正确；
若，则，则曲线是焦点在轴的双曲线，故C正确.
故答案为：BC.
【分析】由已知条件和圆锥曲线的标准方程、直线的方程，从而得出对应的曲线类型，进而找出说法正确的选项.
10．【答案】A,B,D
【知识点】圆锥曲线的轨迹问题；棱柱的结构特征；空间向量的投影向量
【解析】【解答】解：对于A，，，
所以
，
所以，故四边形为矩形，故A正确；
对于B，因为
，
，
因为在上的投影向量为，故B正确；
对于C，因为，
又因为，
所以点到直线的距离为故C错误；
对于D，因为，
所以直线与直线所成的角即为或其补角，
∵直线与直线所成角为，
所以或，
所以点在以为顶点，或的反向延长线为轴，为母线的圆锥面上，
又因为平面，
所以的轨迹是平面截圆锥面所得的图形，
∵因为平面，平行于轴的平面截圆锥所得曲线为双曲线，
所以点轨迹为双曲线，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用两向量垂直数量积为0的等价关系得出，再结合矩形的结构特征判断出选项A；先求出，，再由数量积求投影向量的公式，则可判断选项B；先求出，再由数量积和勾股定理，从而得出点到直线的距离，则判断出选项C；由异面直线所成的角得到或，则点在以为顶点，或的反向延长线为轴，为母线的圆锥面上，再利用平面得出点的轨迹是平面截圆锥面所得的图形，再结合直线平面，点轨迹为双曲线，则可判断选项D，从而找出正确的选项.
11．【答案】A,B,D
【知识点】数列的求和；数列的递推公式；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：对于A：∵，
则要想用7步走完了10级台阶，其中有4次选择一次上一级台阶，3次选择一次上两级台阶，
故共有种走法，故A正确；
对于B，根据题意，爬上第个台阶有两种可能，
一种是从第个台阶上一次上1个台阶爬上来，有种方式；
一种是从第个台阶上一次上2个台阶爬上来，有种方式，
∴，且，
∴，，，，，，，，
又因为，故B正确；
对于C：由数论可知中存在两个奇数一个偶数，
由前三项可知和为奇数，为偶数（），
∵，∴是奇数，故C错误；
对于D：∵，∴，
所以
，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】先分析得到用7步走完了10级台阶完成的方法，再由组合数求得总的走法，则判断出选项A；通过对题意的分析得到，，从而可得，再计算后得出，则判断出选项B；由数论可知这个数列中连续三项中奇数和偶数的个数，再由前三项得到其规律，则判断出选项C；由得到，从而得出，则判断出选项D，从而找出结论正确的选项.
12．【答案】6
【知识点】等比数列的性质
【解析】【解答】解：由，
可得，
故.
故答案为：6.
【分析】根据已知条件和等比数列的性质，从而得出数列第五项的值.
13．【答案】288
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：第一步：先将3名母亲作全排列，共有种排法；
第二步：将3名女宝“捆绑”在一起，共有种排法；
第三步：将“捆绑”在一起的3名女宝作为一个元素，在第一步形成的2个空中选择1个插入，有种排法；
第四步：首先将2名男宝之中的一人，插入第三步后相邻的两个妈妈中间，
然后将另一个男宝插入由女宝与妈妈形成的2个空中的其中1个，共有种排法.
所以不同的排法种数有：（种）.
故答案为：288.
【分析】根据分步乘法计数原理，结合捆绑法和插空法求解．
14．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由得，
设，，则，
当时，，则在上单调递增；
当时，，则在上单调递减，
所以，
且当时，；当时，，
故的值域为；
设，，则，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增，
所以，
且当时，；当时，，
故的值域为，
依题意，的值域是的值域的子集，
显然，若，则的值域为，不合题意，舍去，
若，则的值域为，
则需的值域，
则，解得.
综上所述，实数a的取值范围为.
【分析】由得，设，，再求导判断函数的单调性，从而求出两个函数的值域，根据函数值域的包含关系求出实数的取值范围.
15．【答案】（1）解：因为函数，则，
所以，
又因为图象在点处的切线与直线平行，
所以，
解得.
（2）解：由（1）知，
且恒成立，
所以在上单调递增，
则不等式等价于，
解得.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；用斜率判定两直线平行
【解析】【分析】（1）先求出函数的导函数，根据导数的几何意义得出切线的斜率，再由两直线平行斜率相等，从而列出关于的方程，解方程得出实数a的值.
（2）结合（1）和导数判断函数单调性的方法，从而判断出函数的单调性，再利用函数的单调性得出不等式的解集.
（1）因为函数，则，
又因为图象在点处的切线与直线平行，
所以，解得；
（2）由（1）知，且恒成立，
所以在上单调递增，
则不等式等价于，
解得.
16．【答案】（1）证明：∵，
∴，
由可知，
∴，
∴数列是等比数列.
（2）解：由（1）可知，数列首项，公比，
∴，
∴
.
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）将等式两边同加，化简得到前后两项比为定值，再结合等比数列的定义证出数列是等比数列.
（2）由（1）结合等比数列的通项公式得出数列的通项公式，再结合并项求和法和等比数列前n项和公式，从而得出数列的前项和.
（1）∵，∴，
由可知，∴，
∴数列是等比数列.
（2）由（1）可知，数列首项，公比，
∴，
∴
17．【答案】（1）证明：连接，延长交于点，如图，
为的重心，则为边的中点，
又，
故，
则四边形为平行四边形，则，
平面平面，
平面.
（2）解：，则，
又平面，
则两量垂直，
如图建立空间直角坐标系，
则
为的重心，则，故，
则
在平面内的射影恰好是的重心，则平面，
，则，
，
设平面的法向量为，
则即
令，得，
设直线与平面所成角为，
则，
直线与平面所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）连接，延长交于点，由三角形重心性质证出，再由线线垂直证出线面垂直，即证出平面.
（2）利用和平面，则证出线线垂直，从而建系，求得出平面的法向量，最后由数量积求向量夹角公式和诱导公式，从而得出直线与平面所成角的正弦值.
（1）证明：连接，延长交于点，如图，
为的重心，则为边的中点，
又，
故，
则四边形为平行四边形，
则，
平面平面，
平面
（2）解：，则，
又平面，
则两量垂直，
如图建立空间直角坐标系，
则，
为的重心，则，
故，
则，
在平面内的射影恰好是的重心，则平面，
，则，
，
设平面的法向量为，
即令，得，
设直线与平面所成角为，
则，
直线与平面所成角的正弦值为.
18．【答案】（1）解：因为椭圆的离心率，且过点，
所以，解得，
故椭圆的方程为．
（2）解：由圆可得：圆心，半径，
因为直线与圆相切，
所以，解得，
设，，
联立直线与椭圆的方程，
整理得：，
由题意得：，
则，
所以.
因为，
所以要使取最小值，须最大，
此时直线过坐标原点，直线的方程为.
把代入，得：，
所以，
所以，
将代入上式得：
，
当且仅当时，即当时等号成立，此时取最小值.
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意列出关于，，的方程组，从而解出，，c的值，进而得出椭圆的标准方程.
（2）先根据直线与圆相切得出，根据直线与椭圆交于两点，联立直线与椭圆方程结合韦达定理和弦长公式，从而得出，再根据题意分析得出，将直线代入椭圆方程求出，进一步化简变形结合二次型函数的图象求值域的方法，从而得出的最小值.
（1）因为椭圆的离心率，且过点，
所以，解得，
故的方程为．
（2）由圆可得：圆心，半径.
因为直线与圆相切，
所以，解得.
设，，
联立直线与椭圆的方程，整理得：.
由题意得：，
则，
所以.
因为，
所以要使取最小值，须最大，此时直线过坐标原点，直线的方程为.
把代入，得：，
所以，
所以
.
将代入上式得：
，
当且仅当，即时等号成立，此时取最小值.
19．【答案】（1）证明：由题意知，，
当单调递减；
当单调递增，
所以，
因为
（或者：当时，），
（或者：），
所以在和上各有一个零点，
则的图象与轴有两个交点.
（2）①证明：因为，
则在处的切线斜率为，
所以在处的切线方程为，
令，解得，
所以，
所以，
则，
所以是以首项为，公比为2的等比数列，
所以.
②证明：由，
则.
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；等比数列的通项公式；数列的求和；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）先求出函数的导函数，结合导数与函数单调性的关系，从而得出函数的单调区间，利用零点存在性定理判断出在每个区间上各有一个零点，再结合函数的零点与函数的图象与轴交点的横坐标的等价关系，从而证出函数的图象与轴有两个交点.
（2）①根据“数列”的含义结合等比数列的定义，从而证出数列是以首项为，公比为2的等比数列，再结合等比数列的通项公式得出数列的通项公式.
②利用和累加法证出不等式成立.
（1）由题意知，，
当单调递减；当单调递增，
所以，
因为（或者：当时，），
（或者：），
所以在和上各有一个零点，
即的图象与轴有两个交点.
（2）①，
则在处的切线斜率为，
所以在处的切线方程为，
令，解得，
所以，所以，
即，
所以是以首项为，公比为2的等比数列，所以
②由，
则.
1 / 1浙江省四校2024-2025学年高二下学期3月联考数学试题
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．
1．在平面直角坐标系中，直线：的倾斜角为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】解：由化简得：，
所以直线的斜率为，
又因为为倾斜角，
所以直线的倾斜角为.
故答案为：A.
【分析】把直线方程化成斜截式方程，从而求出直线的斜率，再根据直线斜率与直线倾斜角之间的关系式结合特殊角的正切值，从而求出直线的倾斜角.
2．已知双曲线的焦距为6，则为（　　）
A．5 B． C． D．32
【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：因为双曲线的焦距为6，
所以，则，
又因为，，
所以，
所以.
故答案为：A.
【分析】由双曲线的焦距和双曲线中a，b，c三者的关系式，从而得出m的值.
3．圆与圆的位置关系是（　　）
A．内含 B．内切 C．外离 D．相交
【答案】D
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】解：因为圆的圆心和半径为，，
圆的圆心和半径为，，
所以，，
故两圆相交.
故答案为：D.
【分析】根据圆心距和半径的关系，从而判断两圆的位置关系.
4．如果函数在处的导数为1，那么（　　）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】B
【知识点】极限及其运算；导数的概念
【解析】【解答】解：.
故答案为：B.
【分析】由导数的定义变形得出的值.
5．将3个相同的红球和3个相同的黑球装入三个不同的袋中，每袋均装2个球，则不同的装法种数为（　　）
A．6 B．7 C．15 D．90
【答案】B
【知识点】分类加法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：将3个红球分成3组，每组球的数量最多2个最少0个，
则有，两种组合形式，
当红球分组形式为时，将红球放入三个不同的袋中有放法，
此时三个不同的袋中依次补充上黑球，使每个袋子中球的总个数为2个即可；
当红球分组形式为时，将红球放入三个不同的袋中有1种放法，
此时三个不同的袋中依次补充上黑球，使每个袋子中球的总个数为2个即可；
综上所述：将3个相同的红球和3个相同的黑球装入三个不同的袋中，每袋均装2个球，
不同的装法种数为种.
故答案为：B.
【分析】先将红球从数量分成，两种类型的分组，再分两类研究以上不同形式下红球放入三个不同的袋中的方法数，则袋中不重上黑球，使每个袋子中球的总个数为2个，最后将两类情况的方法总数相加得出不同的装法种数.
6．三个非零向量则“共面”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：由共面向量的基本定理可知，
若三个非零向量满足，
则共面，
反之，若三个非零向量共面，当共线，与不共线时，
不存在实数使得，
故共面是的必要不充分条件.
故答案为：B.
【分析】根据向量共面的等价条件结合充分条件和必要条件的判断方法，从而找出正确的选项.
7．2025年这个寒假，国产AI助手DeepSeek在全球掀起一场科技风暴．DeepSeek在训练模型时会用到对数似然函数来优化参数.假设某模型的对数似然函数为，其中是模型参数，是输入特征，为了最大化，我们需要求解以下哪个方程（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】解：因为，
所以，
又因为函数在极值点处的导数为，为了最大化，需要找到的极值点，
所以，令，可得：，
将等式两边同时乘以，得到，
则，
所以.
故答案为：A.
【分析】通过对数似然函数的导数结合函数取得极值的条件，从而确定最大化时需要求解的方程.
8．已知是椭圆上的动点：若动点到定点的距离的最小值为1，则椭圆的离心率的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数的最大（小）值；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由题意可设：，
则，
令，
则，
当，则，
可知的图象开口向上，对称轴为，
当时，即当时，可知在上的最小值为，
则，
整理得，解得，不合题意；
当时，即当时，
可知在内的最小值为，符合题意；
综上所述：，
可得椭圆的离心率.
故答案为：C.
【分析】设，整理得，根据二次函数的图象的开口方向、对称性，从而分情况得出函数在给定区间上的最小值，进而可得，再利用椭圆的离心率公式和椭圆中a，b，c三者的关系式，从而得出椭圆的离心率的取值范围.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有错选的得0分.
9．在平面直角坐标系中，已知曲线，则下列说法正确的有（　　）
A．若，则是椭圆
B．若，则是焦点在轴的椭圆
C．若，则是焦点在轴的双曲线
D．若，则是直线
【答案】B,C
【知识点】与直线有关的动点轨迹方程；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【解答】解：由题意可得曲线，
若，则，为两条平行直线；
若，则曲线为，是直线，故D错误；
当且时，曲线，则，
当时，即当且时，曲线为椭圆，故A错误；
若，，则曲线是焦点在轴的椭圆，故B正确；
若，则，则曲线是焦点在轴的双曲线，故C正确.
故答案为：BC.
【分析】由已知条件和圆锥曲线的标准方程、直线的方程，从而得出对应的曲线类型，进而找出说法正确的选项.
10．在平行六面体中，已知，，点为平面上的动点，则（　　）
A．四边形为矩形
B．在上的投影向量为
C．点到直线的距离为
D．若直线与直线所成的角为，则点的轨迹为双曲线
【答案】A,B,D
【知识点】圆锥曲线的轨迹问题；棱柱的结构特征；空间向量的投影向量
【解析】【解答】解：对于A，，，
所以
，
所以，故四边形为矩形，故A正确；
对于B，因为
，
，
因为在上的投影向量为，故B正确；
对于C，因为，
又因为，
所以点到直线的距离为故C错误；
对于D，因为，
所以直线与直线所成的角即为或其补角，
∵直线与直线所成角为，
所以或，
所以点在以为顶点，或的反向延长线为轴，为母线的圆锥面上，
又因为平面，
所以的轨迹是平面截圆锥面所得的图形，
∵因为平面，平行于轴的平面截圆锥所得曲线为双曲线，
所以点轨迹为双曲线，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用两向量垂直数量积为0的等价关系得出，再结合矩形的结构特征判断出选项A；先求出，，再由数量积求投影向量的公式，则可判断选项B；先求出，再由数量积和勾股定理，从而得出点到直线的距离，则判断出选项C；由异面直线所成的角得到或，则点在以为顶点，或的反向延长线为轴，为母线的圆锥面上，再利用平面得出点的轨迹是平面截圆锥面所得的图形，再结合直线平面，点轨迹为双曲线，则可判断选项D，从而找出正确的选项.
11．如果一个人爬台阶的方式只有两种，在台阶底部（第0级）从下往上走，一次上一级台阶或一次上两级台阶，设爬上级台阶的方法数为，则下列结论正确的有（　　）
A．若用7步走完了10级台阶，则不同的走法有35种．
B．
C．是偶数
D．
【答案】A,B,D
【知识点】数列的求和；数列的递推公式；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：对于A：∵，
则要想用7步走完了10级台阶，其中有4次选择一次上一级台阶，3次选择一次上两级台阶，
故共有种走法，故A正确；
对于B，根据题意，爬上第个台阶有两种可能，
一种是从第个台阶上一次上1个台阶爬上来，有种方式；
一种是从第个台阶上一次上2个台阶爬上来，有种方式，
∴，且，
∴，，，，，，，，
又因为，故B正确；
对于C：由数论可知中存在两个奇数一个偶数，
由前三项可知和为奇数，为偶数（），
∵，∴是奇数，故C错误；
对于D：∵，∴，
所以
，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】先分析得到用7步走完了10级台阶完成的方法，再由组合数求得总的走法，则判断出选项A；通过对题意的分析得到，，从而可得，再计算后得出，则判断出选项B；由数论可知这个数列中连续三项中奇数和偶数的个数，再由前三项得到其规律，则判断出选项C；由得到，从而得出，则判断出选项D，从而找出结论正确的选项.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.
12．已知数列为等比数列，，则　 　．
【答案】6
【知识点】等比数列的性质
【解析】【解答】解：由，
可得，
故.
故答案为：6.
【分析】根据已知条件和等比数列的性质，从而得出数列第五项的值.
13．阳春三月，草长莺飞；丝绦拂堤，尽飘香玉.三个家庭的3位妈妈带着3名女宝和2名男宝共8人踏春.在沿行一条小溪时，为了安全起见，他们排队前进，三位母亲互不相邻照顾孩子；3名女宝相邻且不排最前面也不排最后面；为了防止2名男宝打闹，2人不相邻，且不排最前面也不排最后面.则不同的排法种数共有　 　种（用数字作答）.
【答案】288
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：第一步：先将3名母亲作全排列，共有种排法；
第二步：将3名女宝“捆绑”在一起，共有种排法；
第三步：将“捆绑”在一起的3名女宝作为一个元素，在第一步形成的2个空中选择1个插入，有种排法；
第四步：首先将2名男宝之中的一人，插入第三步后相邻的两个妈妈中间，
然后将另一个男宝插入由女宝与妈妈形成的2个空中的其中1个，共有种排法.
所以不同的排法种数有：（种）.
故答案为：288.
【分析】根据分步乘法计数原理，结合捆绑法和插空法求解．
14．已知，，若对任意，都存在，使得，则实数a的取值范围为　 　.
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由得，
设，，则，
当时，，则在上单调递增；
当时，，则在上单调递减，
所以，
且当时，；当时，，
故的值域为；
设，，则，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增，
所以，
且当时，；当时，，
故的值域为，
依题意，的值域是的值域的子集，
显然，若，则的值域为，不合题意，舍去，
若，则的值域为，
则需的值域，
则，解得.
综上所述，实数a的取值范围为.
【分析】由得，设，，再求导判断函数的单调性，从而求出两个函数的值域，根据函数值域的包含关系求出实数的取值范围.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知函数的图象在点处的切线与直线平行，其中为常数．
（1）求的值；
（2）求不等式的解集．
【答案】（1）解：因为函数，则，
所以，
又因为图象在点处的切线与直线平行，
所以，
解得.
（2）解：由（1）知，
且恒成立，
所以在上单调递增，
则不等式等价于，
解得.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；用斜率判定两直线平行
【解析】【分析】（1）先求出函数的导函数，根据导数的几何意义得出切线的斜率，再由两直线平行斜率相等，从而列出关于的方程，解方程得出实数a的值.
（2）结合（1）和导数判断函数单调性的方法，从而判断出函数的单调性，再利用函数的单调性得出不等式的解集.
（1）因为函数，则，
又因为图象在点处的切线与直线平行，
所以，解得；
（2）由（1）知，且恒成立，
所以在上单调递增，
则不等式等价于，
解得.
16．已知数列满足，且，．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）设数列的前项和为，求．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
由可知，
∴，
∴数列是等比数列.
（2）解：由（1）可知，数列首项，公比，
∴，
∴
.
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）将等式两边同加，化简得到前后两项比为定值，再结合等比数列的定义证出数列是等比数列.
（2）由（1）结合等比数列的通项公式得出数列的通项公式，再结合并项求和法和等比数列前n项和公式，从而得出数列的前项和.
（1）∵，∴，
由可知，∴，
∴数列是等比数列.
（2）由（1）可知，数列首项，公比，
∴，
∴
17．如图，已知在四棱锥中，平面，在四边形中，，点在平面内的射影恰好是的重心.
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明：连接，延长交于点，如图，
为的重心，则为边的中点，
又，
故，
则四边形为平行四边形，则，
平面平面，
平面.
（2）解：，则，
又平面，
则两量垂直，
如图建立空间直角坐标系，
则
为的重心，则，故，
则
在平面内的射影恰好是的重心，则平面，
，则，
，
设平面的法向量为，
则即
令，得，
设直线与平面所成角为，
则，
直线与平面所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）连接，延长交于点，由三角形重心性质证出，再由线线垂直证出线面垂直，即证出平面.
（2）利用和平面，则证出线线垂直，从而建系，求得出平面的法向量，最后由数量积求向量夹角公式和诱导公式，从而得出直线与平面所成角的正弦值.
（1）证明：连接，延长交于点，如图，
为的重心，则为边的中点，
又，
故，
则四边形为平行四边形，
则，
平面平面，
平面
（2）解：，则，
又平面，
则两量垂直，
如图建立空间直角坐标系，
则，
为的重心，则，
故，
则，
在平面内的射影恰好是的重心，则平面，
，则，
，
设平面的法向量为，
即令，得，
设直线与平面所成角为，
则，
直线与平面所成角的正弦值为.
18．已知椭圆的离心率，且过点，直线与圆相切且与椭圆交于两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）过原点作的平行线交椭圆于两点，若，求的最小值．
【答案】（1）解：因为椭圆的离心率，且过点，
所以，解得，
故椭圆的方程为．
（2）解：由圆可得：圆心，半径，
因为直线与圆相切，
所以，解得，
设，，
联立直线与椭圆的方程，
整理得：，
由题意得：，
则，
所以.
因为，
所以要使取最小值，须最大，
此时直线过坐标原点，直线的方程为.
把代入，得：，
所以，
所以，
将代入上式得：
，
当且仅当时，即当时等号成立，此时取最小值.
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意列出关于，，的方程组，从而解出，，c的值，进而得出椭圆的标准方程.
（2）先根据直线与圆相切得出，根据直线与椭圆交于两点，联立直线与椭圆方程结合韦达定理和弦长公式，从而得出，再根据题意分析得出，将直线代入椭圆方程求出，进一步化简变形结合二次型函数的图象求值域的方法，从而得出的最小值.
（1）因为椭圆的离心率，且过点，
所以，解得，
故的方程为．
（2）由圆可得：圆心，半径.
因为直线与圆相切，
所以，解得.
设，，
联立直线与椭圆的方程，整理得：.
由题意得：，
则，
所以.
因为，
所以要使取最小值，须最大，此时直线过坐标原点，直线的方程为.
把代入，得：，
所以，
所以
.
将代入上式得：
，
当且仅当，即时等号成立，此时取最小值.
19．已知函数的定义域为，设，曲线在点处的切线交轴于点，当时，设曲线在点处的切线交轴于点，依次类推，称得到的数列为函数关于的“数列”，已知.
（1）求证：的图象与轴有两个交点；
（2）若是函数关于的“数列”，记.
①证明：数列为等比数列，并求其通项公式；
②记，（），证明：.
【答案】（1）证明：由题意知，，
当单调递减；
当单调递增，
所以，
因为
（或者：当时，），
（或者：），
所以在和上各有一个零点，
则的图象与轴有两个交点.
（2）①证明：因为，
则在处的切线斜率为，
所以在处的切线方程为，
令，解得，
所以，
所以，
则，
所以是以首项为，公比为2的等比数列，
所以.
②证明：由，
则.
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；等比数列的通项公式；数列的求和；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）先求出函数的导函数，结合导数与函数单调性的关系，从而得出函数的单调区间，利用零点存在性定理判断出在每个区间上各有一个零点，再结合函数的零点与函数的图象与轴交点的横坐标的等价关系，从而证出函数的图象与轴有两个交点.
（2）①根据“数列”的含义结合等比数列的定义，从而证出数列是以首项为，公比为2的等比数列，再结合等比数列的通项公式得出数列的通项公式.
②利用和累加法证出不等式成立.
（1）由题意知，，
当单调递减；当单调递增，
所以，
因为（或者：当时，），
（或者：），
所以在和上各有一个零点，
即的图象与轴有两个交点.
（2）①，
则在处的切线斜率为，
所以在处的切线方程为，
令，解得，
所以，所以，
即，
所以是以首项为，公比为2的等比数列，所以
②由，
则.
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