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江苏省苏锡常镇四市2024-2025学年高三下学期教学情况调研（二）数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
2．已知，则（　　）
A． B． C． D．
3．诗歌朗诵比赛共有八位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从8个原始评分中去掉1个最高分和1个最低分，得到6个有效评分，6个有效评分与8个原始评分相比，一定不变的数字特征是（　　）
A．极差 B．平均数 C．中位数 D．标准差
4．已知圆：，将直线：绕原点按顺时针方向旋转后得到直线，则（　　）
A．直线过圆心 B．直线与圆相交，但不过圆心
C．直线与圆相切 D．直线与圆无公共点
5．已知，则（　　）
A． B． C． D．
6．已知等比数列的公比，前项和为，则对于，下列结论一定正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．已知函数和的定义域均为.若是奇函数，是偶函数，且，则（　　）
A． B． C． D．
8．一个底面边长和侧棱长均为4的正三棱柱密闭容器，其中盛有一定体积的水，当底面水平放置时，水面高为.当侧面水平放置时（如图），容器内的水形成新的几何体.若该几何体的所有顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为（　　）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．的展开式中，则（　　）
A．的系数为
B．第3项与第4项的二项式系数相等
C．所有项的二项式系数和为32
D．所有项的系数和为32
10．已知函数，则（　　）
A．的图象关于点对称
B．的最小正周期为
C．的最小值为
D．在上有四个不同的实数解
11．已知为曲线：上一个动点（异于原点），在处的切线是指曲线在处的切线.直线为在处的切线，过作的垂线，若，分别与轴交于，两点，则（　　）
A．关于轴对称
B．到点的距离不小于到直线的距离
C．存在，使得
D．当取得最小值时，直线的斜率为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知平面向量，，若，则实数的值为　 　.
13．在平面直角坐标系中，双曲线的中心在原点，焦点在轴上，焦距长为.若和抛物线交于，两点，且为正三角形，则的离心率为　 　.
14．已知随机变量，相互独立，且，，则　 　；若，则　 　.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．某种产品可以采用甲、乙两种工艺来生产，为了研究产品的质量与所采用的生产工艺的关联性，现对该种产品进行随机抽查，得到的结果如下表所示.
　 工艺甲 工艺乙 合计
合格 60 40 100
不合格 20 30 50
合计 80 70 150
（1）依据小概率值的独立性检验，分析产品的质量是否与采用的工艺有关；
（2）在不合格的50件样本产品中任选3件，求在这3件样本产品中至少有1件是采用工艺甲生产的条件下，这3件样本产品中恰有一件是采用工艺乙生产的概率.
附：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
16．如图，在三棱柱中，，，，.
（1）证明：平面；
（2）若，二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值.
17．已知椭圆：的离心率为，且经过点.，是的左、右焦点.
（1）求的标准方程；
（2）过的直线与交于，两点.若的内切圆半径为，，求的值.
18．已知函数，，.
（1）若曲线在点的切线也是曲线的切线，求的值；
（2）讨论函数在区间上的单调性；
（3）若对任意恒成立，求的取值范围.
19．若无穷数列满足：，，，则称为“均值递减数列”.
（1）已知无穷数列的前项和为，若为“均值递减数列”，求证：，；
（2）若数列的通项公式，判断是否为“均值递减数列”，并说明理由；
（3）若两个正项数列和均为“均值递减数列”，证明：数列也为“均值递减数列”.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】交集及其运算；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：，故，，故，
所以，
又，故.
故答案为：A.
【分析】本题考查对数不等式的求解与集合的交集运算，核心是先利用对数函数的单调性解不等式得到集合B，再求集合A与B的交集。
2．【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的加减运算
【解析】【解答】解：
故选：B.
【分析】利用复数除法和减法法则求解.
3．【答案】C
【知识点】极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：根据题意，将8个数据从小到大排列，从8个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，
得到6个有效评分，
6个有效评分与8个原始评分相比，最中间的两个分数不变，
而最高分、最低分、平均分、标准差都有可能发生变化，
因此一定不变的数字特征是中位数.
故答案为：C.
【分析】本题考查统计量的概念，核心是根据极差、平均数、中位数、标准差的定义，分析去掉1个最高分和1个最低分后各统计量的变化情况。
4．【答案】B
【知识点】直线的倾斜角；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：直线：即，斜率为，倾斜角为，将直线绕原点顺时针方向旋转得到直线，则直线的倾斜角为，
所以直线的方程为，即，
圆：的圆心坐标为，半径，
圆心到直线的距离，
直线与圆相交但不过圆心.
故答案为：B.
【分析】本题考查直线的旋转、圆的方程及直线与圆的位置关系判断，核心是先求旋转后直线l2 的方程，再计算圆心到直线的距离，与圆的半径比较判断位置关系，同时验证直线是否过圆心。
5．【答案】B
【知识点】二倍角的正切公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：将与联立，
结合可得：，，，
由二倍角公式，可得.
故答案为：B.
【分析】利用同角三角函数基本关系式和，从而得出角的三角函数值，再利用二倍角的正切公式，从而得出的值.
6．【答案】D
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：ABC：令，，，，，，，故A错误，B错误，C错误；
D：时，，，，
，此时；
时，，
左边，
右边左边，故D正确；
故答案为：D．
【分析】本题考查等比数列的前n项和公式及性质验证，核心是通过举反例排除错误选项，再分q=1和q1两种情况，代入等比数列前n项和公式验证正确选项。
7．【答案】D
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：因为是奇函数，则，
令，可得，可得，
在中令得，所以，
在中令得，
所以，
所以.
故答案为：D.
【分析】本题考查函数的奇偶性性质及赋值法的应用，核心是利用f(x+1)的奇偶性求出f(1)，通过赋值法得到g( 1)的值，再结合奇偶性转化求出f(g( 1))。
8．【答案】A
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体；柱体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：，
如图，，
而，
，，即，
由于到距离，则到距离，
设正方形外接圆圆心，则
设矩形外接圆圆心，则，
设外接球半径，，，
故外接球表面积为
故答案为：A.
【分析】本题考查正三棱柱的体积计算、相似三角形性质及外接球的表面积求解，核心是先通过体积关系求出水面形成的小正三角形边长，再分析新几何体的外接球结构，利用勾股定理求出球的半径，最终代入表面积公式计算。
9．【答案】A,B,C
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【解答】解：A，展开式第项，时，，A正确；
B，第3项二项式系数为，第4项的二项式系数为，两者相同，B正确.
C，所有项的二项式系数和为，C正确.
D，时，，即所有项的系数和为，D错误；
故答案为：ABC
【分析】A：根据二项式展开式的通项公式，确定的次数对应的值，计算该项系数。
B：分别求出第3项和第4项的二项式系数，对比是否相等。
C：利用二项式系数和的公式（为二项式次数），计算所有项的二项式系数和。
D：采用赋值法（令），计算所有项的系数和，验证是否为32。
10．【答案】B,D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的图象；辅助角公式
【解析】【解答】解：A、函数，
作出和的图像，取位于上方的部分即可：
由图可知：函数不可能关于对称，故A错误；
B、由图可知：函数的最小正周期为，故B正确；
C、由图可知：函数的最小值为，故C错误；
D、函数在上的图象，如图所示：
由图可知：在有4个根，故D正确.
【分析】去绝对值化简函数可得，作出函数大致图象，数形结合判断各选项即可.
11．【答案】A,C,D
【知识点】导数的几何意义；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：A，若点满足方程，则点也满足方程，
则关于轴对称，A正确；
B，设，则，则到点的距离，到直线的距离，
则，
当时，，即，B错误；
C，设，则，因，则，
则曲线在点处切线斜率为，所以直线为，直线为，
所以，，
可得，
，
则
因，故存在，使得时，C正确；
D，由C可知，，
等号成立时，，即，
此时的斜率为，D正确.
故答案为：ACD
【分析】A：根据曲线的方程，验证点与是否均满足方程，判断的对称性。
B：设，分别计算到点的距离和到直线的距离，作差比较大小。
C：求曲线在处的切线与垂线方程，确定、坐标，推导，解方程判断是否存在。
D：表示出的表达式，利用基本不等式求最小值，结合此时的值计算直线的斜率。
12．【答案】
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：，，
，.
故答案为：
【分析】本题考查平面向量的线性运算与向量平行的坐标表示，核心是先求出的坐标，再利用两向量平行坐标运算求解。
13．【答案】
【知识点】抛物线的标准方程；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；双曲线的应用
【解析】【解答】解：由对称性知、关于轴对称，为正三角形，
则由正三角形对称性可知、为与抛物线的交点，
联立与得或0（舍去），当时，，
故其中一个交点为，
设双曲线方程为，故，解得，
在双曲线上，，，
故离心率为；
故答案为：
【分析】本题考查双曲线的基本性质、抛物线的交点求解及离心率计算，核心是先利用正三角形性质求出双曲线与抛物线的交点坐标，代入双曲线方程结合焦距条件求出、，最终计算离心率。
14．【答案】；
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；二项分布；正态分布的期望与方差
【解析】【解答】解：，，
.
并利用，
记原式，
倒序相加.
故答案为：.
【分析】本题考查正态分布、二项分布的概率计算及独立事件概率公式、倒序相加法的应用，核心是先利用正态分布和二项分布的性质求P(X≤4，Y≤4)，再通过倒序相加法计算求和式的值。
15．【答案】（1）解：零假设：产品的质量与采用的工艺无关，
根据小概率值的独立性检验，产品的质量与采用的工艺有关.
（2）解：记事件为3件样本产品中至少有1件是采用工艺甲，事件为这3件样本产品中恰有一件是采用工艺乙.
.
【知识点】独立性检验的应用；条件概率
【解析】【分析】(1) 依据独立性检验的步骤，先提出零假设，再利用卡方检验公式计算卡方值，将结果与小概率值对应的临界值比较，判断是否拒绝零假设；
(2) 这是条件概率问题，先明确事件（至少1件甲工艺）和事件（恰有1件乙工艺），再根据条件概率公式，结合组合数计算和，最终求得概率。
（1）零假设：产品的质量与采用的工艺无关，
根据小概率值的独立性检验，产品的质量与采用的工艺有关.
（2）记事件为3件样本产品中至少有1件是采用工艺甲，事件为这3件样本产品中恰有一件是采用工艺乙.
.
16．【答案】（1）证明：，，，
由余弦定理得，
，
，，
又，，平面，
平面；
（2）解：平面，平面，
且，
二面角的平面角为，而，
，为等边三角形，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，所在平面为平面，建立如图所示的空间直角坐标系，
，，，，
由，，，，
设平面的一个法向量，
，
解得，令，则，故，
设与平面所成角为，
.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1) 先通过余弦定理计算的长度，再利用勾股定理逆定理证明，结合已知，根据线面垂直的判定定理（一条直线垂直于平面内两条相交直线），证得平面；
(2) 由线面垂直的性质得到、，确定二面角的平面角为，结合已知边长求出的各边长度，判定其为等边三角形；建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用线面角的向量公式（直线方向向量与平面法向量夹角的余角正弦值）计算直线与平面所成角的正弦值。
（1），，，
由余弦定理得，
，
，，
又，，平面，
平面；
（2）平面，平面，
且，
二面角的平面角为，而，
，为等边三角形，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，所在平面为平面，建立如图所示的空间直角坐标系，
，，，，
由，，，，
设平面的一个法向量，
，
解得，令，则，故，
设与平面所成角为，
.
17．【答案】（1）解：设椭圆的半焦距为，由离心率为，得，令，，
椭圆：过点，则，解得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）解：由（1）知，设直线的方程为，，，
由消去得，
，，
，，
而，，则，解得，
所以.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1) 利用椭圆离心率公式设出、的比例关系，结合椭圆标准方程和已知点坐标，代入求解得到、，进而确定椭圆标准方程；
(2) 设过的直线方程为（避免斜率不存在的讨论），与椭圆方程联立，利用韦达定理得到、；结合三角形内切圆半径公式周长，以及弦长公式，建立等式求出，再通过向量或距离公式计算。
（1）设椭圆的半焦距为，由离心率为，得，令，，
椭圆：过点，则，解得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）由（1）知，设直线的方程为，，，
由消去得，
，，
，，
而，，则，解得，
所以.
18．【答案】（1）解：由已知得，，在点处的切线方程为.
设与切于，，，
则过该点的切线方程为：，
整理得，由于该切线与重合，
则.
（2）解：由，求导得，
①当时，，，在上单调递增；
②当时，令
当时，，在区间上单调递减，
当时，，在区间上单调递增
③当时，令
当时，，在区间上单调递增；
当时，，在区间上单调递减
（3）解：由题意得，即对恒成立.
令，，
令，，
因为，，
若，则在处的切线必然是上升的，
又因为，所以当且靠近的函数值满足，
此时就有，
从而可推导在且靠近的附近是递增的，
又因为，
所以在且靠近的附近必有
则必然不满足对恒有，
所以要满足对恒有，
首先必需满足在且靠近的附近，
所以满足，
从而可得参数满足的必要条件是；
下面再证充分性，当，时，则，即有，
又构造，，可得，
所以在区间上单调递增，即，
则可知，则，
恒成立，符合题意，
综上：的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】(1) 先利用导数的几何意义求在处的切线方程，再设的切点，求其切线方程，根据两切线重合建立方程组求解的值；
(2) 先求的导数，对进行分类讨论，通过导数的正负判断函数在上的单调性；
(3) 将不等式转化为关于的不等式，利用端点值探路法先确定必要条件，再证明充分性，从而求得的取值范围。
（1）由已知得，，在点处的切线方程为.
设与切于，，，
则过该点的切线方程为：，
整理得，由于该切线与重合，
则.
（2）由，求导得，
①当时，，，在上单调递增；
②当时，令
当时，，在区间上单调递减，
当时，，在区间上单调递增
③当时，令
当时，，在区间上单调递增；
当时，，在区间上单调递减
（3）由题意得，即对恒成立.
令，，
令，，
因为，，
若，则在处的切线必然是上升的，
又因为，所以当且靠近的函数值满足，
此时就有，
从而可推导在且靠近的附近是递增的，
又因为，
所以在且靠近的附近必有
则必然不满足对恒有，
所以要满足对恒有，
首先必需满足在且靠近的附近，
所以满足，
从而可得参数满足的必要条件是；
下面再证充分性，当，时，则，即有，
又构造，，可得，
所以在区间上单调递增，即，
则可知，则，
恒成立，符合题意，
综上：的取值范围为.
19．【答案】（1）证明：
（2）解：设的前项和为，
令，
则，判别式小于零，所以递减，
因此是“均值递减数列”；
（3）证明：设依题意，均为递减数列，
而，
相乘展开得，
由于，，则由补充不等式有，
所以
，
求和得，由（1）的结论知，，
所以，
于是再由（1）的结论即可知是“均值递减数列”；
【知识点】数列的递推公式；数列的通项公式；数列的前n项和
【解析】【分析】(1) 直接利用“均值递减数列”的定义式进行变形，通过交叉相乘、移项化简，推导得出的结论；
(2) 先求出数列的前项和，构造平均值数列，通过计算的表达式，判断其正负性来证明递减，进而验证是均值递减数列；
(3) 设的前项平均值分别为、，利用平均值与项的关系表示、，结合补充不等式放缩得到的不等关系，再通过求和与(1)的结论，证明满足均值递减数列的定义。
（1）法一：
；
法二：
为“均值递减数列”，关于单调递减，
即关于单调递减，，
；
（2）法一：
设的前项和为，
令，则，判别式小于零，所以递减，
因此是“均值递减数列”；
法二：
易知时，单调递减；时，
单调递增且时，当时，单调递减且，
且计算易得，
设前项和为，归纳假设，，时，
，即，即，，
，即，，时，成立.
而成立，对且恒成立，
也有，
即为“均值递减数列”；
（3）法一：
设依题意，均为递减数列，
而，
相乘展开得，
由于，，则由补充不等式有，
所以
，
求和得，由（1）的结论知，，
所以，
于是再由（1）的结论即可知是“均值递减数列”；
法二：
设的前项和为，的前项和为，
和均为均值递减数列，
由（1）知对恒成立，
由①②知，，记的前项和为，
证对，，时不等式显然成立，
设当，时，成立，
即，，
，
，
，即时，不等式也成立，
对恒成立，
也为“均值递减数列”.
1 / 1江苏省苏锡常镇四市2024-2025学年高三下学期教学情况调研（二）数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】交集及其运算；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：，故，，故，
所以，
又，故.
故答案为：A.
【分析】本题考查对数不等式的求解与集合的交集运算，核心是先利用对数函数的单调性解不等式得到集合B，再求集合A与B的交集。
2．已知，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的加减运算
【解析】【解答】解：
故选：B.
【分析】利用复数除法和减法法则求解.
3．诗歌朗诵比赛共有八位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从8个原始评分中去掉1个最高分和1个最低分，得到6个有效评分，6个有效评分与8个原始评分相比，一定不变的数字特征是（　　）
A．极差 B．平均数 C．中位数 D．标准差
【答案】C
【知识点】极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：根据题意，将8个数据从小到大排列，从8个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，
得到6个有效评分，
6个有效评分与8个原始评分相比，最中间的两个分数不变，
而最高分、最低分、平均分、标准差都有可能发生变化，
因此一定不变的数字特征是中位数.
故答案为：C.
【分析】本题考查统计量的概念，核心是根据极差、平均数、中位数、标准差的定义，分析去掉1个最高分和1个最低分后各统计量的变化情况。
4．已知圆：，将直线：绕原点按顺时针方向旋转后得到直线，则（　　）
A．直线过圆心 B．直线与圆相交，但不过圆心
C．直线与圆相切 D．直线与圆无公共点
【答案】B
【知识点】直线的倾斜角；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：直线：即，斜率为，倾斜角为，将直线绕原点顺时针方向旋转得到直线，则直线的倾斜角为，
所以直线的方程为，即，
圆：的圆心坐标为，半径，
圆心到直线的距离，
直线与圆相交但不过圆心.
故答案为：B.
【分析】本题考查直线的旋转、圆的方程及直线与圆的位置关系判断，核心是先求旋转后直线l2 的方程，再计算圆心到直线的距离，与圆的半径比较判断位置关系，同时验证直线是否过圆心。
5．已知，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二倍角的正切公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：将与联立，
结合可得：，，，
由二倍角公式，可得.
故答案为：B.
【分析】利用同角三角函数基本关系式和，从而得出角的三角函数值，再利用二倍角的正切公式，从而得出的值.
6．已知等比数列的公比，前项和为，则对于，下列结论一定正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：ABC：令，，，，，，，故A错误，B错误，C错误；
D：时，，，，
，此时；
时，，
左边，
右边左边，故D正确；
故答案为：D．
【分析】本题考查等比数列的前n项和公式及性质验证，核心是通过举反例排除错误选项，再分q=1和q1两种情况，代入等比数列前n项和公式验证正确选项。
7．已知函数和的定义域均为.若是奇函数，是偶函数，且，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：因为是奇函数，则，
令，可得，可得，
在中令得，所以，
在中令得，
所以，
所以.
故答案为：D.
【分析】本题考查函数的奇偶性性质及赋值法的应用，核心是利用f(x+1)的奇偶性求出f(1)，通过赋值法得到g( 1)的值，再结合奇偶性转化求出f(g( 1))。
8．一个底面边长和侧棱长均为4的正三棱柱密闭容器，其中盛有一定体积的水，当底面水平放置时，水面高为.当侧面水平放置时（如图），容器内的水形成新的几何体.若该几何体的所有顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体；柱体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：，
如图，，
而，
，，即，
由于到距离，则到距离，
设正方形外接圆圆心，则
设矩形外接圆圆心，则，
设外接球半径，，，
故外接球表面积为
故答案为：A.
【分析】本题考查正三棱柱的体积计算、相似三角形性质及外接球的表面积求解，核心是先通过体积关系求出水面形成的小正三角形边长，再分析新几何体的外接球结构，利用勾股定理求出球的半径，最终代入表面积公式计算。
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．的展开式中，则（　　）
A．的系数为
B．第3项与第4项的二项式系数相等
C．所有项的二项式系数和为32
D．所有项的系数和为32
【答案】A,B,C
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【解答】解：A，展开式第项，时，，A正确；
B，第3项二项式系数为，第4项的二项式系数为，两者相同，B正确.
C，所有项的二项式系数和为，C正确.
D，时，，即所有项的系数和为，D错误；
故答案为：ABC
【分析】A：根据二项式展开式的通项公式，确定的次数对应的值，计算该项系数。
B：分别求出第3项和第4项的二项式系数，对比是否相等。
C：利用二项式系数和的公式（为二项式次数），计算所有项的二项式系数和。
D：采用赋值法（令），计算所有项的系数和，验证是否为32。
10．已知函数，则（　　）
A．的图象关于点对称
B．的最小正周期为
C．的最小值为
D．在上有四个不同的实数解
【答案】B,D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的图象；辅助角公式
【解析】【解答】解：A、函数，
作出和的图像，取位于上方的部分即可：
由图可知：函数不可能关于对称，故A错误；
B、由图可知：函数的最小正周期为，故B正确；
C、由图可知：函数的最小值为，故C错误；
D、函数在上的图象，如图所示：
由图可知：在有4个根，故D正确.
【分析】去绝对值化简函数可得，作出函数大致图象，数形结合判断各选项即可.
11．已知为曲线：上一个动点（异于原点），在处的切线是指曲线在处的切线.直线为在处的切线，过作的垂线，若，分别与轴交于，两点，则（　　）
A．关于轴对称
B．到点的距离不小于到直线的距离
C．存在，使得
D．当取得最小值时，直线的斜率为
【答案】A,C,D
【知识点】导数的几何意义；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：A，若点满足方程，则点也满足方程，
则关于轴对称，A正确；
B，设，则，则到点的距离，到直线的距离，
则，
当时，，即，B错误；
C，设，则，因，则，
则曲线在点处切线斜率为，所以直线为，直线为，
所以，，
可得，
，
则
因，故存在，使得时，C正确；
D，由C可知，，
等号成立时，，即，
此时的斜率为，D正确.
故答案为：ACD
【分析】A：根据曲线的方程，验证点与是否均满足方程，判断的对称性。
B：设，分别计算到点的距离和到直线的距离，作差比较大小。
C：求曲线在处的切线与垂线方程，确定、坐标，推导，解方程判断是否存在。
D：表示出的表达式，利用基本不等式求最小值，结合此时的值计算直线的斜率。
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知平面向量，，若，则实数的值为　 　.
【答案】
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：，，
，.
故答案为：
【分析】本题考查平面向量的线性运算与向量平行的坐标表示，核心是先求出的坐标，再利用两向量平行坐标运算求解。
13．在平面直角坐标系中，双曲线的中心在原点，焦点在轴上，焦距长为.若和抛物线交于，两点，且为正三角形，则的离心率为　 　.
【答案】
【知识点】抛物线的标准方程；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；双曲线的应用
【解析】【解答】解：由对称性知、关于轴对称，为正三角形，
则由正三角形对称性可知、为与抛物线的交点，
联立与得或0（舍去），当时，，
故其中一个交点为，
设双曲线方程为，故，解得，
在双曲线上，，，
故离心率为；
故答案为：
【分析】本题考查双曲线的基本性质、抛物线的交点求解及离心率计算，核心是先利用正三角形性质求出双曲线与抛物线的交点坐标，代入双曲线方程结合焦距条件求出、，最终计算离心率。
14．已知随机变量，相互独立，且，，则　 　；若，则　 　.
【答案】；
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；二项分布；正态分布的期望与方差
【解析】【解答】解：，，
.
并利用，
记原式，
倒序相加.
故答案为：.
【分析】本题考查正态分布、二项分布的概率计算及独立事件概率公式、倒序相加法的应用，核心是先利用正态分布和二项分布的性质求P(X≤4，Y≤4)，再通过倒序相加法计算求和式的值。
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．某种产品可以采用甲、乙两种工艺来生产，为了研究产品的质量与所采用的生产工艺的关联性，现对该种产品进行随机抽查，得到的结果如下表所示.
　 工艺甲 工艺乙 合计
合格 60 40 100
不合格 20 30 50
合计 80 70 150
（1）依据小概率值的独立性检验，分析产品的质量是否与采用的工艺有关；
（2）在不合格的50件样本产品中任选3件，求在这3件样本产品中至少有1件是采用工艺甲生产的条件下，这3件样本产品中恰有一件是采用工艺乙生产的概率.
附：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】（1）解：零假设：产品的质量与采用的工艺无关，
根据小概率值的独立性检验，产品的质量与采用的工艺有关.
（2）解：记事件为3件样本产品中至少有1件是采用工艺甲，事件为这3件样本产品中恰有一件是采用工艺乙.
.
【知识点】独立性检验的应用；条件概率
【解析】【分析】(1) 依据独立性检验的步骤，先提出零假设，再利用卡方检验公式计算卡方值，将结果与小概率值对应的临界值比较，判断是否拒绝零假设；
(2) 这是条件概率问题，先明确事件（至少1件甲工艺）和事件（恰有1件乙工艺），再根据条件概率公式，结合组合数计算和，最终求得概率。
（1）零假设：产品的质量与采用的工艺无关，
根据小概率值的独立性检验，产品的质量与采用的工艺有关.
（2）记事件为3件样本产品中至少有1件是采用工艺甲，事件为这3件样本产品中恰有一件是采用工艺乙.
.
16．如图，在三棱柱中，，，，.
（1）证明：平面；
（2）若，二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明：，，，
由余弦定理得，
，
，，
又，，平面，
平面；
（2）解：平面，平面，
且，
二面角的平面角为，而，
，为等边三角形，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，所在平面为平面，建立如图所示的空间直角坐标系，
，，，，
由，，，，
设平面的一个法向量，
，
解得，令，则，故，
设与平面所成角为，
.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1) 先通过余弦定理计算的长度，再利用勾股定理逆定理证明，结合已知，根据线面垂直的判定定理（一条直线垂直于平面内两条相交直线），证得平面；
(2) 由线面垂直的性质得到、，确定二面角的平面角为，结合已知边长求出的各边长度，判定其为等边三角形；建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用线面角的向量公式（直线方向向量与平面法向量夹角的余角正弦值）计算直线与平面所成角的正弦值。
（1），，，
由余弦定理得，
，
，，
又，，平面，
平面；
（2）平面，平面，
且，
二面角的平面角为，而，
，为等边三角形，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，所在平面为平面，建立如图所示的空间直角坐标系，
，，，，
由，，，，
设平面的一个法向量，
，
解得，令，则，故，
设与平面所成角为，
.
17．已知椭圆：的离心率为，且经过点.，是的左、右焦点.
（1）求的标准方程；
（2）过的直线与交于，两点.若的内切圆半径为，，求的值.
【答案】（1）解：设椭圆的半焦距为，由离心率为，得，令，，
椭圆：过点，则，解得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）解：由（1）知，设直线的方程为，，，
由消去得，
，，
，，
而，，则，解得，
所以.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1) 利用椭圆离心率公式设出、的比例关系，结合椭圆标准方程和已知点坐标，代入求解得到、，进而确定椭圆标准方程；
(2) 设过的直线方程为（避免斜率不存在的讨论），与椭圆方程联立，利用韦达定理得到、；结合三角形内切圆半径公式周长，以及弦长公式，建立等式求出，再通过向量或距离公式计算。
（1）设椭圆的半焦距为，由离心率为，得，令，，
椭圆：过点，则，解得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）由（1）知，设直线的方程为，，，
由消去得，
，，
，，
而，，则，解得，
所以.
18．已知函数，，.
（1）若曲线在点的切线也是曲线的切线，求的值；
（2）讨论函数在区间上的单调性；
（3）若对任意恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）解：由已知得，，在点处的切线方程为.
设与切于，，，
则过该点的切线方程为：，
整理得，由于该切线与重合，
则.
（2）解：由，求导得，
①当时，，，在上单调递增；
②当时，令
当时，，在区间上单调递减，
当时，，在区间上单调递增
③当时，令
当时，，在区间上单调递增；
当时，，在区间上单调递减
（3）解：由题意得，即对恒成立.
令，，
令，，
因为，，
若，则在处的切线必然是上升的，
又因为，所以当且靠近的函数值满足，
此时就有，
从而可推导在且靠近的附近是递增的，
又因为，
所以在且靠近的附近必有
则必然不满足对恒有，
所以要满足对恒有，
首先必需满足在且靠近的附近，
所以满足，
从而可得参数满足的必要条件是；
下面再证充分性，当，时，则，即有，
又构造，，可得，
所以在区间上单调递增，即，
则可知，则，
恒成立，符合题意，
综上：的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】(1) 先利用导数的几何意义求在处的切线方程，再设的切点，求其切线方程，根据两切线重合建立方程组求解的值；
(2) 先求的导数，对进行分类讨论，通过导数的正负判断函数在上的单调性；
(3) 将不等式转化为关于的不等式，利用端点值探路法先确定必要条件，再证明充分性，从而求得的取值范围。
（1）由已知得，，在点处的切线方程为.
设与切于，，，
则过该点的切线方程为：，
整理得，由于该切线与重合，
则.
（2）由，求导得，
①当时，，，在上单调递增；
②当时，令
当时，，在区间上单调递减，
当时，，在区间上单调递增
③当时，令
当时，，在区间上单调递增；
当时，，在区间上单调递减
（3）由题意得，即对恒成立.
令，，
令，，
因为，，
若，则在处的切线必然是上升的，
又因为，所以当且靠近的函数值满足，
此时就有，
从而可推导在且靠近的附近是递增的，
又因为，
所以在且靠近的附近必有
则必然不满足对恒有，
所以要满足对恒有，
首先必需满足在且靠近的附近，
所以满足，
从而可得参数满足的必要条件是；
下面再证充分性，当，时，则，即有，
又构造，，可得，
所以在区间上单调递增，即，
则可知，则，
恒成立，符合题意，
综上：的取值范围为.
19．若无穷数列满足：，，，则称为“均值递减数列”.
（1）已知无穷数列的前项和为，若为“均值递减数列”，求证：，；
（2）若数列的通项公式，判断是否为“均值递减数列”，并说明理由；
（3）若两个正项数列和均为“均值递减数列”，证明：数列也为“均值递减数列”.
【答案】（1）证明：
（2）解：设的前项和为，
令，
则，判别式小于零，所以递减，
因此是“均值递减数列”；
（3）证明：设依题意，均为递减数列，
而，
相乘展开得，
由于，，则由补充不等式有，
所以
，
求和得，由（1）的结论知，，
所以，
于是再由（1）的结论即可知是“均值递减数列”；
【知识点】数列的递推公式；数列的通项公式；数列的前n项和
【解析】【分析】(1) 直接利用“均值递减数列”的定义式进行变形，通过交叉相乘、移项化简，推导得出的结论；
(2) 先求出数列的前项和，构造平均值数列，通过计算的表达式，判断其正负性来证明递减，进而验证是均值递减数列；
(3) 设的前项平均值分别为、，利用平均值与项的关系表示、，结合补充不等式放缩得到的不等关系，再通过求和与(1)的结论，证明满足均值递减数列的定义。
（1）法一：
；
法二：
为“均值递减数列”，关于单调递减，
即关于单调递减，，
；
（2）法一：
设的前项和为，
令，则，判别式小于零，所以递减，
因此是“均值递减数列”；
法二：
易知时，单调递减；时，
单调递增且时，当时，单调递减且，
且计算易得，
设前项和为，归纳假设，，时，
，即，即，，
，即，，时，成立.
而成立，对且恒成立，
也有，
即为“均值递减数列”；
（3）法一：
设依题意，均为递减数列，
而，
相乘展开得，
由于，，则由补充不等式有，
所以
，
求和得，由（1）的结论知，，
所以，
于是再由（1）的结论即可知是“均值递减数列”；
法二：
设的前项和为，的前项和为，
和均为均值递减数列，
由（1）知对恒成立，
由①②知，，记的前项和为，
证对，，时不等式显然成立，
设当，时，成立，
即，，
，
，
，即时，不等式也成立，
对恒成立，
也为“均值递减数列”.
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