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第十九章二次根式第2节二次根式的乘法与除法
知识点
（1）①二次根式的乘法法则:一般地，对于二次根式的乘法是·=（a≥0，b≥0）
②二次根式相乘，___根指数_____不变， 被开方数 相乘.
③语言表述：算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.
（注意：a,b都必须是非负数.）
（2）二次根式的乘法法则的推广：
①多个二次根式相乘时此法则也适用，即··...=（a≥0，b≥0，c≥0，...n≥0）
②当二次根号外有因数(式)时，可以类比单项式乘单项式的法则计算，即根号外的因数(式)的积作为根号外的因数(式)，被开方数的积作为被开方数，即m·n=（mn）（a≥0，b≥0）
（3）比较两个二次根式大小的方法：可转化为比较两个被开方数的大小，即将根号外的正数平方后移到根号内，计算出被开方数后，再比较被开方数的大小，被开方数大的，其算术平方根也大.也可以采用平方法.
（4）二次根式乘法法则的逆用：二次根式乘法法则的逆用：=·(a≥0,b≥0)
（语言叙述：积的算术平方根等于积中各个因数或因式的算术平方根的积.）
（5）化简二次根式的步骤：
①.把被开方数分解因式(或因数).
②2.把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因式(或因数)的算术平方根的积.
③.如果因式中有平方式(或平方数)，应用关系式=,把这个因式(或因数)开出来，将二次根式化简.
（6）二次根式的除法法则:文字叙述:=(a≥0,b>0)
（算术平方根的商等于被开方数商的算术平方根.）
（7）当二次根式根号外的因数(式)不为1时，可类比单项式除以单项式法则，易得=(a≥0,b>0,n≠0)
（8）商的算术平方根的性质：我们知道，把二次根式的乘法法则反过来就得到积的算术平方根的性质.类似地，把二次根式的除法法则反过来，就得到二次根式的商的算术平方根的性质:
=(a≥0,b>0)
（语言表述：商的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的商.）
（9）最简二次根式满足如下两个特点：
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
（3）我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.
（简记为：一根号无分母，分母无根号；二不能再开方.）
（10）把分母中的根号化去,使分母变成有理数的这个过程就叫做分母有理化.
（11）分母有理化一般经历如下三步：
“一移”，即将分子、分母中能开得尽方的因数(式)移到根号外；
“二乘”，即将分子、分母同乘分母的有理化因数(式)；
“三化”，即化简计算．
（12）二次根式比较大小的方法
(1)平方法：若两个二次根式同号，可先将两个二次根式分别平方，再根据实数比较大小的方法比较即可.
(2)比较被开方数法：逆用公式=a(a≥0)，先把根号外的正因数平方后移到根号内，计算出被开方数，在比较被开方数的大小，被开方数大的，其算术平方根也大.
(3)作商法：同号两数相除，比较商与1的大小，如当a,b都是正数时，
①若>1，则a>b. ②若=1,则a=b.③若<1,则a练习题
第 1 课时 二次根式的乘法
１．计算×的结果是（ ）
Ａ．９ Ｂ．３ Ｃ．3 Ｄ．
２．如图，一只电子蚂蚁在数轴上爬行，爬到表示×（ －２）的点处，则该点可能是下列点中的 （ ）
Ａ．点 Ｅ Ｂ．点 Ｆ Ｃ．点 Ｐ Ｄ．点 Ｑ
３．计算×＝ ．
４．为了加强学生暑期防溺水意识，某中学给同学们发放了如图所示的“防溺水告家长书”，已知该信纸的长为10ｃｍ，回执单的宽度（ａｃｍ）为整张信纸长度的，则 ａ 的值为 ．
５．小威在信息技术课上设计了一幅长方形图片，已知长方形的长是ｃｍ，宽是ｃｍ，他又设计了一个面积与其相等的圆，则该圆的半径为 ｃｍ ．
６．计算：
（１）×． （２）×．
（３）××． （４）×３ ．
７．下列选项中，与计算结果相同的是 （ ）
Ａ．５＋３ Ｂ．５－３ Ｃ．５×３ Ｄ．５÷３
８．使＝·成立的条件是 （ ）
Ａ．ｘ≤３ Ｂ．ｘ≥－２ Ｃ．－２≤ｘ≤３ Ｄ．－２＜ｘ＜３
９．如果一个无理数 ｍ 与的积是一个有理数，写出ｍ 的一个值是 （答案不唯一） ．
１０．若一个直角三角形的两条直角边长分别为 ｃｍ 和 ｃｍ，则这个三角形的面积为 ．
１１．已知ａ＝，ｂ ＝，用含 ａ，ｂ的代数式表示，则这个代数式是 ．
１２．计算：
（１） ．
（２）－× ．
（３） （ｍ＞０，ｎ＞０）．
１３．下列变形正确的是（ ）
Ａ．＝× Ｂ．＝×＝ ４×
Ｃ．= Ｄ．＝２５－２４＝ １
１４．当ａ＜ ０ 时，化简ａ·－的结果是 ．
１５．小王利用计算机设计了一个程序，输入和输出的数据如下表：
那么当输入数据为 ８ 时，输出的数据是 ．
１６．如果 ａｂ＞０，ａ＋ｂ＜０，那么下面各式：①＝·；②·＝１；③·＝－ｂ；④·＝ ａ．其中正确的是 （填序号）．
１７．观察计算：
（１）４＋３ ２ ；１＋ ２ ；５＋５ ２ ．（填“＞”“＜”或“ ＝ ”）
归纳发现：
（２）由（１） 中的各式比较 ｍ＋ｎ 与 ２（ｍ≥０，ｎ≥０）的大小，并说明理由．
实践应用：
（３）设计师要对某区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成一个长方形花圃，如图，该花圃恰好可以借用一段墙体，若要围成一个面积为２００ 平方米的花圃，则所用的篱笆至少需要 米．
１８．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的 面 积， 用 现 代 式 子 表 示 为 Ｓ＝（其中 ａ，ｂ，ｃ 为三角形的三边长，Ｓ 为面积）①，而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式：Ｓ＝(其中 ｐ＝②．
请根据以上材料完成下面的任务：
任务一：王师傅准备开垦一块边长分别为2ｍ，２ｍ，２ｍ 的三角形空地种植花卉，请你用秦九韶公式帮助王师傅计算一下开垦的空地的面积．
任务二：如图所示的是小明制作的一个风筝模型，其中ＡＢ＝ＢＣ＝５０ｃｍ，ＡＤ＝ＣＤ＝４０ ｃｍ，ＢＤ＝ ６０ｃｍ，请你用海伦公式帮助小明求风筝模型 ＡＢＣＤ的面积．
第 2 课时 二次根式的除法
１．计算 ÷的结果是 （ ）
Ａ．４ Ｂ．３ Ｃ．２ Ｄ．
２．墨迹覆盖了等式 ÷■ ＝中的除数，则被墨水覆盖住的数是 （ ）
Ａ．－３ Ｂ．３ Ｃ．－６ Ｄ．６
３．计算 ６ ÷÷２的结果是（ ）
Ａ．１８ Ｂ．９ Ｃ．１８ Ｄ．９
４．设长方形的面积为 Ｓ，相邻的两边长分别为ａ，ｂ，若 Ｓ ＝ ４，ａ＝，则ｂ ＝ ．
５．计算：
（１）． （２）÷．
（３）÷（－） （４）÷（ａ＞０，ｂ＞０）．
６．下列计算错误的是 （ ）
Ａ．＝ Ｂ．＝ Ｃ．＝ Ｄ．＝
７．等式＝成立的条件是（ ）
Ａ．ｘ＜３ Ｂ．ｘ≤３ Ｃ．０≤ｘ＜３ Ｄ．ｘ≥０
８．化简：
（１）＝ ． （２）＝ ．（３）＝ ． （４）＝
９．在解决问题“已＝ ａ，＝ ｂ，用含 ａ，ｂ 的代数式表示 ”时，甲的结果是，乙的结果是，丙的结果是，则下列说法正确的是 （ ）
Ａ．只有甲对 Ｂ．只有乙、丙对 Ｃ．只有甲、乙对 Ｄ．甲、乙、丙都对
１０．已知 ｘｙ＜０，化简ｘ的正确结果为 ．
１１．先将÷化简，然后选择一个你喜欢的 ｘ 的值代入求值．
第 3 课时 最简二次根式
１．下列二次根式中，是最简二次根式的是 （ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
２．若最简二次根式与最简二次根式 相等，则 ａ＋ｂ ＝ ．
３．把下列各式化成最简二次根式：
（１）． （２）． （３）．（４）（ｘ＞０）．
４．计算 ６×÷２＝ （ ）
Ａ．－４ Ｂ．－２ Ｃ．４０ Ｄ．７
５．计算 ８÷ ２×（ ａ＞ ０，ｂ＞０） 的结果是 ．
６．计算：
（１）３×（－）÷． （２）４÷３×２ａ
７．现有一个体积为 １２０ｃｍ３ 的长方体，它的高为 ２ｃｍ，长为 ３ｃｍ，则这个长方体的宽为 （ ）
Ａ．３ ｃｍ Ｂ．３ ｃｍ Ｃ．２ ｃｍ Ｄ．２ ｃｍ
８．已 知 ｘｙ ＝ ５，求式子９ｘ２×２÷６的值．
９．观察下列各式及其验证过程．
等式：①２＝；②３＝．
验证：①２＝×====．
②３＝×====．
（１）按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，
猜想：４＝ ；５＝ ．
（２） 通过上述探究猜测： ｎ＝ （ｎ＞１且ｎ为整数），并验证你的结论．
答案
第 1 课时 二次根式的乘法
１．Ｂ
２．Ａ
３．
４．2
５．
６．解析 （１）×＝ ＝ ＝１２．
（２）×＝＝＝６０００．
（３）××＝＝＝１０．
（４）×３＝×３×＝×＝．
７．Ｃ
８．Ｃ
９．（答案不唯一） ．
１０．３ｃｍ２
１１．ａｂ２
１２．解析 （１）原式 ＝＝＝１２×１０ ＝ １２０．
（２）原式＝－×＝ －×４×６＝ －２４．
（３）原式＝＝·＝３ｍ．
１３．Ｃ
１４．－４ａ２
１５．２
１６．②③
１７．解析 (1)＞ ＞ =
（２）ｍ＋ｎ≥２．
理由：∵ｍ≥０，ｎ≥０，
∴ ｍ＝（）２，ｎ ＝ （）２，
∴ ｍ＋ｎ－２＝（）２＋（）２－２＝（－）２≥０，
∴ｍ＋ｎ≥２．
(3)40
１８．解析 任务一：令 ａ２ ＝ （２）２ ＝２０， ｂ２＝（２）２＝ ２４， ｃ２＝（２）２＝２８，由公式①，得Ｓ＝
==2 m2
答：王师傅开垦的空地的面积为２ｍ２
（2）750m2
第 2 课时 二次根式的除法
１．Ｃ
２．Ｂ
３．Ｂ
４．４
５．解析 （１）＝×＝×4=2
（２）÷＝＝
（３）÷（－）＝－=＝－＝－３．
（４）÷＝＝＝ ３ａ．
６．Ｃ
７．Ｃ
８．（１） ． （２） ． （３） ． （４）
９．Ｄ
１０．－
１１．解析原式 ＝·
＝·
=·
∵ｘ－２＞０，且ｘ＞０，
∴ｘ＞２，当ｘ＝４ 时，原式 ＝＝＝ ２．（答案不唯一，但 ｘ 的取值要大于 ２）
第 3 课时 最简二次根式
１．Ｃ
２．８
３．解析 （１） ＝ ＝ ２．
（２）＝＝．
（３）＝==．
（４）=ｘ＝４ｘ
４．Ｄ
５．４
６．解 析 （１）－ （2）
７．Ｃ
８．解析９ｘ２×２÷６
＝ ９ｘ２×２×
＝ ３ｘｙ ，
∵ ｘｙ＝ ５，
∴ 原式＝３×５× ＝ １５．
９．（１） ．
（２） （ｎ＞１且ｎ为整数），

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