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第十九章二次根式第1节二次根式及其性质
知识点
（1）①一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作a的平方根.
②如果x2=a（x≥0），那么x称为a的算术平方根.用(a≥0)表示.
③我们知道,负数没有平方根.因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0.
（2）①一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫作二次根式. “”称为二次根号.
②注意：a可以是数，也可以是一个含有字母的式子，但前提是被开方数a必须大于或等于0.
③两个必备特征
（3）二次根式有意义的条件(被开方数≥0)
（4）①单个二次根式如有意义的条件:A≥0；
②多个二次根式相加如++...+有意义的条件：
③二次根式作为分式的分母如有意义的条件A＞0；
④二次根式与分式的和如+有意义的条件:A≥0且B≠0.
（5）（）2（a≥0）的性质：①一般地，（）2＝a(a≥0).即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.
②注意：不要忽略a≥0这一限制条件.这是使二次根式有意义的前提条件.
（6）的性质：①==，即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.
（7）二次根式的双重非负性：具有双重非负性：①a≥0:②≥0.
②()2与的区别与联系
1.区别：①取值范围不同 ②运算顺序不同 ③运算结果不同：()2=a，=
2.联系：①()2与均为非负数；②当a≥0时，（)2=
（8）代数式的定义：用基本运算符号（包括加、减、乘、除、乘方和开方）把
数 或 表示数的字母 连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.
（9）列代数式的要点：
①要抓住关键词语，明确它们的意义以及它们之间的关系，如和、差、积、商及大、小、多、少、倍、分、倒数、相反数等；
②理清语句层次明确运算顺序；
③牢记一些概念和公式．
练习题
第 1 课时 二次根式的概念
１．下列式子中，是二次根式的是（ ）
Ａ．－１ Ｂ．３ Ｃ． Ｄ．
２．若是二次根式，则ｘ的值为 ．
３．一个正方体包装箱的表面积为５４００ ｃｍ２，则这个正方体包装箱的棱长为 ．
４．若在实数范围内有意义，则实数 ｘ 的值可以是 （ ）
Ａ．－２ Ｂ．－１ Ｃ．０ Ｄ．２
５．当 ｘ＝５ 时，下列二次根式没有意义的是 （ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
６．若是有理数，则满足条件的最大正整数 ａ 的值是 ．
７．当ｘ是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（１）． （２） （３）． （４）＋ｘ－２．
8.若在实数范围内有意义，则ｘ的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
9.如果代数式＋有意义，那么在平面直角坐标系中，点Ｐ（ｍ，ｎ）在（ ）
Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限
１０．若实数ｘ，ｙ 满足ｙ＝＋－６，求ｘ＋ｙ的值．下面是小明的部分解题过程：
（１）请你将解题过程补充完整．
【解决问题】
（２）已知ａ，ｂ 分别为等腰三角形的两条边长，且ａ，ｂ 满足ｂ＝５＋＋，求该三角形的周长．
第 2 课时 二次根式的性质
１．已知＋ ｜ｙ－２ｘ｜＝ ０，则 ｘｙ 的值是 （ ）
Ａ．４ Ｂ．６ Ｃ．８ Ｄ．１０
２．实数 ｘ，ｙ 满足＋４ｘ２＋４ｘｙ＋ｙ２＝０，则 ｙｘ的值为（ ）
Ａ．１６ Ｂ． Ｃ．－１６ Ｄ．－
３．当 ｘ＝ 时，－５取最小值，其最小值为 ．
４．若ｍ，ｎ为实数，且（ｍ＋４）２＋＝０，则（ｍ＋ｎ）２的值为 ．
５．下列计算结果正确的是 （ ）
Ａ．（）２＝５ Ｂ．（）２＝０.２ Ｃ．（3）2＝６ Ｄ．（）2=2
６．（）2的算术平方根是 （ ）
Ａ．３６ Ｂ．６ Ｃ．３６２ Ｄ．±６
７．计算：
（１）（）２． （２）［］２． （３）－（）２．
（４）（２）２． （５）（－）２． （６）（2）２．
8.下列式子中，正确的是 （ ）
Ａ．＝０.３ Ｂ．＝± Ｃ.＝－４ Ｄ.±＝±７
９．已知｜ａ｜＝５，＝７，且＝ｂ－ａ，则ａ＋ｂ的值为 （ ）
Ａ．－１２ Ｂ．１２ Ｃ．－２ 或－１２ Ｄ．１２或２
１０．如图，数轴上点 Ａ 表示的数为ａ，化简＋的值是 ．
１１．计算：＋＋６＋（－１）０．
１２．若ｘ＜３，化简＋｜４－ｘ｜．
小杰的解答过程如下：
解：原式＝＋（４－ｘ） …………… 第一步
＝ｘ－３＋４－ｘ ……………………………… 第二步
＝１．……………………………………… 第三步
（１）小杰的解答从第 二 步出现了错误．
（２）请你写出正确的解答过程．
１３．如图，摆钟的钟摆自由摆动，摆动一个来回所用的时间 ｔ（单位：ｓ）与钟摆的长度ｌ（单位：ｍ）之间满足 ｔ＝２π，假如钟摆的长度为 ０.２ｍ．求摆动一个来回所用的时间．（π≈３，ｇ＝９.８ｍ/ｓ２）
１４．已知－１＜ａ＜０，１＜ｂ＜２，则化简－的结果正确的是（ ）
Ａ.－ａ－ｂ＋１ Ｂ.－ａ＋ｂ＋１ Ｃ.ａ－ｂ－１ Ｄ.ａ＋ｂ－１
１５．已知＝－１，则化简＋的结果为（ ）
Ａ．－２ａ Ｂ．２ａ Ｃ．２ａ＋ Ｄ．－
１６．实数 ａ，ｂ 在数轴上的对 应 点 的 位 置 如 图 所 示， 化 简 －＋＝ ．
１７．已知 ｎ 是正整数，是整数，则 ｎ 的最小值为 ．
１８．已知 ａ 满 足｜２０２５－ａ｜＋＝ａ．
（１） 使有意义的ａ的取值范围是 ．在这个条件下将｜2025－ａ｜去掉绝对值符号可得｜２０２５－ａ｜ ＝ ．
（２）根据（１）的分析，求 ａ－２０２５２ 的值．
１９．阅读下列解题过程．
例：若代数式＋的值是 ２，求 ａ的取值范围．
解：原式＝｜ａ－１｜＋｜ａ－３｜，当ａ＜１ 时，原式＝（１－ａ）＋（３－ａ）＝４－２ａ＝２，解得ａ＝ １（舍去）；
当１≤ａ≤３ 时，原式＝（ａ－１）＋（３－ａ）＝２，符合条件；
当ａ＞３时，原式＝（ａ－１）＋（ａ－３）＝２ａ－４＝２，解得 ａ ＝
３（舍去）．综上，ａ的取值范围是 １≤ａ≤３．
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法．请你根据上述材料，解答下列问题：
（１）当 ２≤ａ≤３ 时，化简＋＝ ．
（２）若等式＋＝４成立，则ａ的取值范围是 ．
（３）若＋＝８，求ａ 的值．
答案
第 1 课时 二次根式的概念
1.Ｂ
２．４
３．３０ｃｍ
４．Ｄ
５．Ｄ
６．10
７．解析 （１）由 ２－３ｘ≥０ 得 ｘ≤，所以当 ｘ≤时，在实数范围内有意义．
（２）因为 ２ｘ２≥０，所以 ２ｘ２＋３≥３＞０，所以当ｘ取全体实数时，在实数范围内有意义．
（３）由题意可知解得 ｘ≥－５且ｘ≠２，所以当ｘ≥－５且ｘ≠２时，在实数范围内有意义．
（４）由ｘ＋３≥０ 且ｘ≠０ 得，ｘ≥－３且ｘ≠０，所以当ｘ≥－３且ｘ≠０ 时， ＋ｘ－２在实数范围内有意义．
8.Ｄ
9.Ｃ
１０．解析 （１）补全过程如下：
则 ｘ≥２且ｘ≤２，
∴ｘ＝２，
∴ ｙ＝＋－６ ＝－６，
∴ｘ＋ｙ＝２＋（－６）＝－４．
（2）若要使该式子有意义，则需要同时满足ａ－３≥０，６－２ａ≥０，则ａ≥３且ａ≤３，
∴ａ＝３，
∴ ｂ ＝ ５＋＋＝５，
∵ ａ，ｂ分别为等腰三角形的两条边长，
∴ 当腰长为３时，３＋３＞５，
∴该三角形的周长为３＋３＋５＝１１；当腰长为５时，３＋５＞５，
∴该三角形的周长为 ３＋５＋５＝１３．
综上所述，该三角形的周长为 １１或 １３
第 2 课时 二次根式的性质
１．Ｃ
２．Ｂ
３．－ －５
４．１
５．Ｂ
６．Ｂ
７．解析 （１）（）２＝ １.４．
（２）［］２＝ （）２＝１１．
（３）－（）２＝－０．０１．
（４）（２）２＝２２×（）２＝４×３＝１２．
（５）（－）２=
（６）（2）２＝６．
8.Ｄ
９．Ｄ
１０．５
１１．解析＋＋６＋（－１）０
＝３＋４＋６×＋１
＝３＋４＋９＋１
＝１７．
１２．解析 （１）二．
（２）原式＝＋（４－ｘ）＝３－ｘ＋４－ｘ＝７－２ｘ
１３．解析 ｔ＝２π≈２×３×＝６×＝（ｓ）．
答：摆动一个来回所用的时间约为ｓ．
１４．Ｄ
１５．Ａ
１６．－２ａ
１７．７
１８．（１）∵有意义，
∴ａ－２０２６≥０，解得 ａ≥２０２６，
∴ ｜２０２５－ａ｜＝ａ－２０２５，
故答案为 ａ≥２０２６；ａ－２０２５．
（２）由（１）得 ａ－２０２５＋＝ ａ，
∴ａ－２０２６ ＝ ２０２５，
∴ａ－２０２６ ＝ ２０２５２，即 ａ－２０２５２＝ ２０２６
１９．解析 （１）∵ ２≤ａ≤３，
∴ ａ－２≥０，ａ－５＜０，
∴ 原式＝｜ａ－２｜＋｜ａ－５｜＝ａ－２－（ａ－５）＝３，
（2）３≤ａ≤７ （3）6或－2

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