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17第5章《特殊平行四边形》单元测试B卷
（时间：120分钟 满分：120分）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列说法正确的有（　　）个．
①菱形的对角线相等；
②对角线互相垂直的四边形是菱形；
③有两个角是直角的四边形是矩形；
④正方形既是菱形又是矩形；
⑤矩形的对角线相等且互相垂直平分．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（3分）如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加的条件是（　　）
A．BE平分∠ABC B．AD＝BD
C．BE⊥AC D．AB＝AC
3．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于H，则DH等于（　　）
A． B． C．5 D．4
4．（3分）如图所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝2，则对角线AC的长是（　　）
A． B．4 C．5 D．6
5．（3分）如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，设 AC＝12，BD＝16，则OE的长为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
6．（3分）在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，AC＝4BE，，则矩形ABCD的面积为（　　）
A．18 B． C． D．16
7．（3分）菱形ABCD与3个全等的正六边形按如图放置，若正六边形的边长为a，则菱形ABCD的边长为（　　）
A．2a B． C．3a D．4a
8．（3分）如图，正方形纸片ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别沿AE、AF折叠，点B，D恰好都落在点G处，已知BE＝1，则EF的长为（　　）
A．1.5 B．2.5 C．2.25 D．3
9．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F在对角线BD上，四边形AECF是菱形，且∠DAE＝67.5°，则BE的长为（　　）
A． B．2 C．44 D．6﹣4
10．（3分）如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE＝AP＝1，．下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为；③EB⊥ED；④；⑤S正方形ABCD＝4，其中正确的结论是（　　）
A．①②③ B．①③⑤ C．①②④⑤ D．①③④⑤
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，四边形ACEF是正方形，则EF的长为 　 　 ．
12．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D、E分别为CA、CB的中点，AF平分∠BAC，交DE于点F，若AC＝6，BC＝8，则EF的长为 　 　 ．
13．（3分）将矩形ABCO按如图方式放置在平面直角坐标系中，AB＝4，OA＝8，若将其沿着对角线OB对折后，点A的对应点为A′，OA′与BC交于点D，则点D的坐标为 　 　 ．
14．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P为AB边上一动点（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若AB＝2，∠BAD＝60°，则EF的最小值为 　 　 ．
15．（3分）在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝4，点E，F在直线AD上，且四边形BCFE为菱形．若线段EF的中点为点M，则线段AM的长为 　 　 ．
16．（3分）四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边AD所在的直线上，连接CE，以CE为边，作正方形CEFG（点D，点F在直线CE的同侧），连接BF．
（1）如图1，当点E与点A重合时，BF＝　 　 ；
（2）如图2，当点E在线段AD上时，AE＝1，则BF＝　 　 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．
（1）求证：四边形OCED为菱形；
（2）连接OE交CD于点F，若BC＝18，求OE的长．
18．（8分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．
（1）求证：四边形ODEC为菱形；
（2）连接OE，若BC＝6，求OE的长．
19．（8分）如图，已知平行四边形ABCD，若M，N是BD上两点，且BM＝DN，AC＝2OM．
（1）求证：四边形AMCN是矩形；
（2）△ABC满足什么条件，四边形AMCN是正方形，请说明理由．
20．（8分）如图，在正方形ABCD中，G是对角线BD上的一点（与点B，D不重合），GE⊥CD，GF⊥BC，E，F分别为垂足，连接EF，AG，并延长AG交EF于点H．
（1）求证：∠DAG＝∠EGH；
（2）判断AH与EF的位置关系，并说明理由．
21．（8分）将矩形ABCD折叠使A，C重合，折痕交BC于E，交AD于F，
（1）求证：四边形AECF为菱形；
（2）若AB＝4，BC＝8，
①求菱形的边长；
②求折痕EF的长．
22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于点E，垂足为F，连接CD，BE．
（1）求证：CE＝AD．
（2）当D为AB的中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？请说明理由．
（3）在（2）的条件下，△ABC满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明理由．
23．（10分）正方形ABCD中，点P是边CD上的任意一点，连接BP，O为BP的中点，作PE⊥BD．连接EO，AE，EC．
（1）当∠DAE＝25°时，求∠AEC的度数；
（2）当∠PBC＝15°时，DP＝4，求正方形的边长；
（3）当AE时，求BP的长．
24．（12分）如图1，矩形ABCD中，过对角线AC的中点O画EF⊥AC分别交AB，CD于点E，F，连结AF，CE．
【证明体验】
（1）求证：四边形AECF是菱形；
【基础巩固】（2）若AB＝8，BC＝6，求菱形AECF的边长．
【拓展延伸】
（3）如图2，在对角线AC上取点G，H，使得四边形EHFG是正方形，若正方形EHFG的边长为，且AE＝5CH，求矩形ABCD的面积．中小学教育资源及组卷应用平台
17第5章《特殊平行四边形》单元测试B卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列说法正确的有（　　）个．
①菱形的对角线相等；
②对角线互相垂直的四边形是菱形；
③有两个角是直角的四边形是矩形；
④正方形既是菱形又是矩形；
⑤矩形的对角线相等且互相垂直平分．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据菱形的判定与性质、矩形的判定与性质进行解答．
【解答】解：①菱形的对角线不一定相等，故错误；
②对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故错误；
③有三个角是直角的四边形是矩形，故错误；
④正方形既是菱形又是矩形，故正确；
⑤矩形的对角线相等，但不一定互相垂直平分，故错误；
故选：A．
2．（3分）如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加的条件是（　　）
A．BE平分∠ABC B．AD＝BD
C．BE⊥AC D．AB＝AC
【分析】当BE平分∠ABC时，四边形DBFE是菱形，可知先证明四边形BDEF是平行四边形，再证明BD＝DE即可解决问题．
【解答】解：当BE平分∠ABC时，四边形DBFE是菱形，
理由：∵DE∥BC，
∴∠DEB＝∠EBC，
∵∠EBC＝∠EBD，
∴∠EBD＝∠DEB，
∴BD＝DE，
∵DE∥BC，EF∥AB，
∴四边形DBFE是平行四边形，
∵BD＝DE，
∴四边形DBFE是菱形．
其余选项均无法判断四边形DBFE是菱形，
故选：A．
3．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于H，则DH等于（　　）
A． B． C．5 D．4
【分析】根据菱形性质求出AO＝4，OB＝3，∠AOB＝90°，根据勾股定理求出AB，再根据菱形的面积公式求出即可．
【解答】解：设AC交BD于O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝OC，BO＝OD，AC⊥BD，
∵AC＝8，DB＝6，
∴AO＝4，OB＝3，∠AOB＝90°，
由勾股定理得：AB5，
∵S菱形ABCD，
∴，
∴DH，
故选：A．
4．（3分）如图所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝2，则对角线AC的长是（　　）
A． B．4 C．5 D．6
【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分可得△AOB是等边三角形，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴，AC＝BD＝2OA，
∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝OB＝AB＝2，
∴AC＝BD＝2OA＝4，
故选：B．
5．（3分）如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，设 AC＝12，BD＝16，则OE的长为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
【分析】由菱形的性质和勾股定理求出CD＝10，再证出平行四边形OCED为矩形，得OE＝CD＝10即可．
【解答】解：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED为平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16，
∴AC⊥BD，OA＝OCAC＝6，OB＝ODBD＝8，
∴∠DOC＝90°，CD10，
∴平行四边形OCED为矩形，
∴OE＝CD＝10，
故选：C．
6．（3分）在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，AC＝4BE，，则矩形ABCD的面积为（　　）
A．18 B． C． D．16
【分析】由在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，AC＝4BE，易证得△OAB是等边三角形，继而求得∠BAE的度数，根据勾股定理，结合，即可求得AB的长，再求出AD的长，最后求出矩形的面积即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵AC＝4BE，
∴BD＝4BE，
∴BO＝2BE，
∴BE＝OE，
∵AE⊥BD，
∴AB＝OA，
∴OA＝AB＝OB，
即△OAB是等边三角形，
∴∠ABD＝60°，
∵AE⊥BD，
∴∠AED＝90°，
∴∠BAE＝90°﹣60°＝30°，
∴，
∵AB2＝AE2+BE2，
∴，
解得：AB＝4，负值舍去，
∴BO＝AB＝4，
∴BD＝2BO＝8，
∴，
∴．
故选：C．
7．（3分）菱形ABCD与3个全等的正六边形按如图放置，若正六边形的边长为a，则菱形ABCD的边长为（　　）
A．2a B． C．3a D．4a
【分析】根据正六边形的性质以及菱形的性质进行计算即可．
【解答】解：如图，由正六边形的性质以及菱形的性质可知，
AE＝AF＝EF＝EG＝GH＝HD，
∴当正六边形的边长为a，则菱形ABCD的边长为4a，
故选：D．
8．（3分）如图，正方形纸片ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别沿AE、AF折叠，点B，D恰好都落在点G处，已知BE＝1，则EF的长为（　　）
A．1.5 B．2.5 C．2.25 D．3
【分析】由正方形纸片ABCD的边长为3，可得∠C＝90°，BC＝CD＝3，由根据折叠的性质得：EG＝BE＝1，GF＝DF，然后设DF＝x，在Rt△EFC中，由勾股定理EF2＝EC2+FC2，即可得方程，解方程即可求得答案．
【解答】解：∵正方形纸片ABCD的边长为3，
∴∠C＝90°，BC＝CD＝3，
根据折叠的性质得：EG＝BE＝1，GF＝DF，
设DF＝x，
则EF＝EG+GF＝1+x，FC＝DC﹣DF＝3﹣x，EC＝BC﹣BE＝3﹣1＝2，
∵在Rt△EFC中，EF2＝EC2+FC2，即（x+1）2＝22+（3﹣x）2，解得：x＝1.5，
∴DF＝1.5，EF＝1+1.5＝2.5．
故选：B．
9．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F在对角线BD上，四边形AECF是菱形，且∠DAE＝67.5°，则BE的长为（　　）
A． B．2 C．44 D．6﹣4
【分析】根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ABD＝∠ADB＝45°，根据三角形的内角和定理求∠AED，从而得到∠DAE＝∠AED，再根据等角对等边的性质得到AD＝DE，然后求出正方形的对角线BD，再求出BE．
【解答】解：在正方形ABCD中，∠ABD＝∠ADB＝45°，
∵∠DAE＝67.5°，
∴在△ADE中，∠AED＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，
∴∠DAE＝∠AED，
∴AD＝DE＝4，
∵正方形的边长为4，
∴BD＝4，
∴BE＝BD﹣DE＝44．
故选：C．
10．（3分）如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE＝AP＝1，．下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为；③EB⊥ED；④；⑤S正方形ABCD＝4，其中正确的结论是（　　）
A．①②③ B．①③⑤ C．①②④⑤ D．①③④⑤
【分析】①利用同角的余角相等，易得∠EAB＝∠PAD，再结合已知条件利用SAS可证两三角形全等；③利用①中的全等，可得∠APD＝∠AEB，结合三角形的外角的性质，易得∠BEP＝90°，即可证；②过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，利用③中的∠BEP＝90°，利用勾股定理可求BE，结合△AEP是等腰直角三角形，可证△BEF是等腰直角三角形，再利用勾股定理可求EF、BF；⑤在Rt△ABF中，利用勾股定理可求AB2，即是正方形的面积；④连接BD，求出△ABD的面积，然后减去△BDP的面积即可．
【解答】解：①∵∠EAB+∠BAP＝90°，∠PAD+∠BAP＝90°，
∴∠EAB＝∠PAD，
在△APD和△AEB中，
，
∴△APD≌△AEB（SAS），
故结论①正确；
③∵△APD≌△AEB，
∴∠APD＝∠AEB，
又∵∠AEB＝∠AEP+∠BEP，∠APD＝∠AEP+∠PAE，
∴∠BEP＝∠PAE＝90°，
∴EB⊥ED，
故③正确；
②过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，
∵AE＝AP，∠EAP＝90°，
∴∠AEP＝∠APE＝45°，
又∵③中EB⊥ED，BF⊥AF，
∴∠FEB＝∠FBE＝45°，
在直角三角形BEP中，由勾股定理得：，
∴，
故②不正确；
④如图，连接BD，在Rt△AEP中，
∵AE＝AP＝1，
∴，
又∵，
∴，
∵△APD≌△AEB，
∴，
∴．
故结论④不正确；
⑤∵，AE＝1，
∴在Rt△ABF中，，
∴，
故结论⑤正确，
综上所述，正确的结论是①③⑤，
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，四边形ACEF是正方形，则EF的长为 　3　 ．
【分析】由菱形的性质可得AB＝BC，且∠B＝60°，可得AC＝AB＝3，由正方形的性质可得AC＝EF＝3．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形
∴AB＝BC，且∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝3，
∵四边形ACEF是正方形，
∴AC＝EF＝3
故答案为：3
12．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D、E分别为CA、CB的中点，AF平分∠BAC，交DE于点F，若AC＝6，BC＝8，则EF的长为 　2　 ．
【分析】根据勾股定理求出AB的长，再根据三角形中位线定理求出DE的长，结合角平分线的定义得出AD＝DF＝3，即可求出EF的长．
【解答】解：∵D、E分别为CA、CB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴，DE∥AB，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
由勾股定理得，
∴DE＝5，
∵AF平分∠BAC，
∴∠BAF＝∠CAF，
∵DE∥AB，
∴∠BAF＝∠AFD，
∴∠CAF＝∠AFD，
∴AD＝DF，
∵D为CA的中点，AC＝6，
∴AD＝3，
∴DF＝3，
∴EF＝DE﹣DF＝5﹣3＝2，
故答案为：2．
13．（3分）将矩形ABCO按如图方式放置在平面直角坐标系中，AB＝4，OA＝8，若将其沿着对角线OB对折后，点A的对应点为A′，OA′与BC交于点D，则点D的坐标为 　（﹣3，4）　 ．
【分析】根据平行线的性质得到∠AOB＝∠CBO，由折叠的性质得到∠AOB＝∠BOD，求得BD＝OD，设CD＝x，则BD＝OD＝8﹣x，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：∵长方形ABCO中，OA∥BC，
∴∠AOB＝∠CBO，
由折叠的性质得，∠AOB＝∠BOD，
∴∠DBO＝∠BOD，
∴BD＝OD，
设CD＝x，则BD＝OD＝8﹣x，
∵OC＝AB＝4，
∴（8﹣x）2＝x2+42，
∴x＝3，
∴CD＝3，
∴D（﹣3，4），
故答案为：（﹣3，4）．
14．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P为AB边上一动点（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若AB＝2，∠BAD＝60°，则EF的最小值为 　　 ．
【分析】连接OP，根据菱形的性质得到AC⊥BD，，根据矩形的判定定理得到四边形OEPF是矩形，求得EF＝OP，当OP⊥AB时，OP最小，根据三角形的面积公式结论得到结论．
【解答】解：连接OP，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，，
∵PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，
∴∠EOF＝∠OEP＝∠OFP＝90°，
∴四边形OEPF是矩形，
∴EF＝OP，
∵当OP取最小值时，EF的值最小，
∴当OP⊥AB时，OP最小，
∵AB＝2，
∴，，
∴，S△ABOOA OBAB OP，
∴，
∴EF的最小值为，
故答案为：．
15．（3分）在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝4，点E，F在直线AD上，且四边形BCFE为菱形．若线段EF的中点为点M，则线段AM的长为 　5.5，或0.5　 ．
【分析】两种情况：①由矩形的性质得出CD＝AB＝4，BC＝AD＝5，∠ADB＝∠CDF＝90°，由菱形的性质得出CF＝EF＝BE＝BC＝5，由勾股定理求出DF，得出MF，即可求出AM；②同①得出AE＝3，求出ME，即可得出AM的长．
【解答】解：分两种情况：①如图1所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝4，BC＝AD＝5，∠ADC＝∠CDF＝90°，
∵四边形BCFE为菱形，
∴CF＝EF＝BE＝BC＝5，
∴DF3，
∴AF＝AD+DF＝8，
∵M是EF的中点，
∴MFEF＝2.5，
∴AM＝AF﹣DF＝8﹣2.5＝5.5；
②如图2所示：同①得：AE＝3，
∵M是EF的中点，
∴ME＝2.5，
∴AM＝AE﹣ME＝0.5；
综上所述：线段AM的长为：5.5，或0.5；
故答案为：5.5，或0.5．
16．（3分）四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边AD所在的直线上，连接CE，以CE为边，作正方形CEFG（点D，点F在直线CE的同侧），连接BF．
（1）如图1，当点E与点A重合时，BF＝　4　 ；
（2）如图2，当点E在线段AD上时，AE＝1，则BF＝　　 ．
【分析】（1）解法一：如图1，作FH⊥AB于H，由AAS证明△EFH≌△ECD，得出FH＝CD＝4，AH＝AD＝4，求出BH＝AB+AH＝8，由勾股定理即可得出答案；
解法二：如图3，直接连接CF，根据∠ACD＝∠ACF＝45°得C、D、F三点共线，直接用勾股定理求解；
（2）过F作FH⊥AD交AD的延长线于点H，作FM⊥AB于M，则FM＝AH，AM＝FH，同（1）得：△EFH≌△CED，得出FH＝DE＝3，EH＝CD＝4；求出BM＝AB+AM＝7，FM＝AE+EH＝5，由勾股定理即可得出答案．
【解答】解：（1）解法一：作FH⊥AB于H，如图1所示：
则∠FHE＝90°，
∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，
∴AD＝CD＝4，EF＝CE，∠ADC＝∠BAD＝∠DAH＝∠CEF＝90°，
∴∠FEH＝∠CED，
在△EFH和△ECD中，
∵，
∴△EFH≌△ECD（AAS），
∴FH＝CD＝4，AH＝AD＝4，
∴BH＝AB+AH＝8，
∴BF4；
解法二：如图3，连接CF，根据正方形的对角线得：∠ACD＝∠ACF＝45°，
∴C、D、F三点共线，
∴BF4，
故答案为：4；
（2）过F作FH⊥AD交AD的延长线于点H，作FM⊥AB于M，如图2所示：
则FM＝AH，AM＝FH，
∵AD＝4，AE＝1，∴DE＝3，
同（1）得：△EFH≌△CED（AAS）
∴FH＝DE＝3，EH＝CD＝4，
即点F到AD的距离为3；
∴BM＝AB+AM＝4+3＝7，FM＝AE+EH＝5，
∴BF．
故答案为：．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．
（1）求证：四边形OCED为菱形；
（2）连接OE交CD于点F，若BC＝18，求OE的长．
【分析】（1）根据矩形的性质可以得到OC＝OD，再根据DE∥AC，CE∥BD，可以得到四边形OCED是平行四边形，然后根据OC＝OD，即可证明结论成立；
（2）根据平行四边形的判定方法可以得到四边形ECBO是平行四边形，再根据平行四边形的性质，即可得到OE的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OC＝OD，
∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
又∵OC＝OD，
∴四边形OCED为菱形；
（2）解：∵CE∥BD，
∴CE∥OB，
由（1）知，四边形OCED是菱形，
∴CE＝OC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OC＝OB，
∴CE＝OB，
∴四边形CEOB是平行四边形，
∴CB＝EO，
∵CB＝18，
∴OE＝18．
18．（8分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．
（1）求证：四边形ODEC为菱形；
（2）连接OE，若BC＝6，求OE的长．
【分析】（1）先证明四边形OCED是平行四边形，再由矩形的性质得到OC＝OD，由此即可证明四边形ODEC为菱形；
（2）由菱形的性质得到OE⊥CD，进而证明四边形AOED是平行四边形，则OE＝AD＝BC＝6．
【解答】（1）证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴OC＝OD，
∴四边形OCED是菱形；
（2）解：如图，连接OE，交CD于点F，
由（1）知，四边形OCED是菱形，
∴OE⊥CD，
∴∠ADC＝∠OFC＝90°，
∴AD∥OE，
∵DE∥AC，
∴四边形AOED是平行四边形，
∴OE＝AD＝BC＝6．
19．（8分）如图，已知平行四边形ABCD，若M，N是BD上两点，且BM＝DN，AC＝2OM．
（1）求证：四边形AMCN是矩形；
（2）△ABC满足什么条件，四边形AMCN是正方形，请说明理由．
【分析】（1）由平行四边形的性质可知：OA＝OC，OB＝OD，再证明OM＝ON即可证明四边形AMCN是平行四边形；
（2）根据正方形的判定解答即可．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵对角线BD上的两点M、N满足BM＝DN，
∴OB﹣BM＝OD﹣DN，即OM＝ON，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∵AC＝2OM，
∴MN＝AC，
∴四边形AMCN是矩形；
（2）由（1）可知，四边形AMCN为矩形，
∴只需AM＝MC，则矩形AMCN为正方形，
∵O为AC中点，M在BO上，
∴BO⊥AC，时，AM＝MC，
在△BOA与△BOC中，
，
∴△BOA≌△BOC（SAS），
∴AB＝BC，
∴△ABC是等腰三角形，
故△ABC满足AB＝BC时，四边形AMCN是正方形．
20．（8分）如图，在正方形ABCD中，G是对角线BD上的一点（与点B，D不重合），GE⊥CD，GF⊥BC，E，F分别为垂足，连接EF，AG，并延长AG交EF于点H．
（1）求证：∠DAG＝∠EGH；
（2）判断AH与EF的位置关系，并说明理由．
【分析】（1）根据正方形的性质和GE⊥CD得到AD∥GE，即可证明∠DAG＝∠EGH；
（2）先连接CG，然后根据正方形的性质得出△ADG≌△CDG，从而得到∠DAG＝∠DCG，再证明∠EGH＝∠DCG＝∠OEC即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ECF＝∠ADC＝90°，AD＝CD，
∵GE⊥CD，
∴∠ADE＝∠GEC＝90°，
∴AD∥GE，
∴∠DAG＝∠EGH；
（2）解：AH⊥EF；理由如下：
连结GC交EF于点O，如图：
∵BD为正方形ABCD的对角线，
∴∠ADG＝∠CDG＝45°，
在△ADG和△CDG中，
，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠DAG＝∠DCG，
又∵GE⊥CD，GF⊥BC，∠ECF＝∠ADC＝90°，
∴四边形FCEG为矩形，
∴OE＝OC，
∴∠OEC＝∠OCE，
∴∠DAG＝∠OEC，
由（1）得∠DAG＝∠EGH，
∴∠EGH＝∠OEC，
∴∠EGH+∠GEH＝∠OEC+∠GEH＝∠GEC＝90°，
∴∠GHE＝90°，
∴AH⊥EF．
21．（8分）将矩形ABCD折叠使A，C重合，折痕交BC于E，交AD于F，
（1）求证：四边形AECF为菱形；
（2）若AB＝4，BC＝8，
①求菱形的边长；
②求折痕EF的长．
【分析】（1）根据折叠的性质得OA＝OC，EF⊥AC，EA＝EC，再利用AD∥AC得到∠FAC＝∠ECA，则可根据“ASA”判断△AOF≌△COE，得到OF＝OE，加上OA＝OC，AC⊥EF，于是可根据菱形的判定方法得到四边形AECF为菱形；
（2）①设菱形的边长为x，则BE＝BC﹣CE＝8﹣x，AE＝x，在Rt△ABE中，根据勾股定理得（8﹣x）2+42＝x2，然后解方程即可得到菱形的边长；
②先在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AC＝4，则OAAC＝2，然后在Rt△AOE中，利用勾股定理计算出OE，所以EF＝2OE＝2．
【解答】证明：（1）∵矩形ABCD折叠使A，C重合，折痕为EF，
∴OA＝OC，EF⊥AC，EA＝EC，
∵AD∥AC，
∴∠FAC＝∠ECA，在△AOF和△COE中，
∴△AOF≌△COE，
∴OF＝OE，
∵OA＝OC，AC⊥EF，
∴四边形AECF为菱形；
（2）①设菱形的边长为x，则BE＝BC﹣CE＝8﹣x，AE＝x，
在Rt△ABE中，∵BE2+AB2＝AE2，
∴（8﹣x）2+42＝x2，解得x＝5，
即菱形的边长为5；
②在Rt△ABC中，AC4，
∴OAAC＝2，
在Rt△AOE中，AE＝5，
OE，
∴EF＝2OE＝2．
22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于点E，垂足为F，连接CD，BE．
（1）求证：CE＝AD．
（2）当D为AB的中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？请说明理由．
（3）在（2）的条件下，△ABC满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明理由．
【分析】（1）证明AC∥DE，进而得到四边形ADEC是平行四边形，即可得证；
（2）中点得到BD＝AD＝CE，证明四边形BECD是平行四边形，斜边上的中线得到CD＝BD，得到四边形BECD是菱形；
（3）根据有一个角是直角的菱形是正方形，得到当△ABC是等腰直角三角形时，四边形BECD是正方形，即可．
【解答】（1）证明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠DFB，
∴AC∥DE，
∵MN∥AB，
即CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴CE＝AD；
（2）解：四边形BECD是菱形，理由如下：
∵D为AB中点，
∴AD＝BD，
∵CE＝AD，
∴BD＝CE，
∵BD∥CE，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，D为AB中点，
∴CD＝BD，
∴四边形BECD是菱形；
（3）解：当△ABC为等腰直角三角形时，四边形BECD是正方形，理由如下：
当△ABC为等腰直角三角形时，
即AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠ABC＝45°，
由（2）可知，四边形BECD是菱形，
∴∠ABC＝∠CBE＝45°，
∴∠DBE＝90°
∴四边形BECD是正方形．
23．（10分）正方形ABCD中，点P是边CD上的任意一点，连接BP，O为BP的中点，作PE⊥BD．连接EO，AE，EC．
（1）当∠DAE＝25°时，求∠AEC的度数；
（2）当∠PBC＝15°时，DP＝4，求正方形的边长；
（3）当AE时，求BP的长．
【分析】（1）先利用正方形的性质和∠DAE＝25°，求出∠AEB＝70°，再通过△DAE≌△DCE得到∠AEB＝∠CEB，从而得出结论；
（2）通过已知条件可以证明△DEP是等腰直角三角形，根据DP＝4，可以DE＝DP＝2，再在Rt△EBP中求出求出BE，从而求出正方形对角线BD＝22即可；
（3）先通过△BAE≌△BCE，得出EC＝AE，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出OE＝OC，再通过三角形的外角等于不相邻的两个内角和证明出EO⊥OC，然后在Rt△OCE中求解即可．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADE＝∠CDE＝45°，
又∵∠DAE＝25°，
∴∠AEB＝∠ADE+∠DAE＝45°+25°＝70°，
在△DAE和△DCE中，
，
∴△DAE≌△DCE（SAS），
∴∠DEA＝∠DEC，
∴∠AEB＝∠CEB，
∴∠AEC＝2∠AEB＝2×70°＝140°；
（2）∵∠PBC＝15°，
∴∠PBD＝30°，∠BPC＝75°，
∵PE⊥BD，
∴∠BPE＝60°，
∴∠DPE＝180°﹣75°﹣60°＝45°，
∵DP＝4，∠DPE＝∠EDP＝45°，
∴DE＝EPDP＝2，
在Rt△EBP中，∠EBP＝30°，
∴BEEP＝2，
∴DB＝22，
∴DCDB＝22；
（3）连接OC，
在△BAE和△BCE中，
，
∴△BAE≌△BCE（SAS），
∴EC＝AE，
在Rt△EBP中，O为BP中点，
∴EO＝BO＝OP，
同理：OC＝OB＝OP，
∴OE＝OC，
∵∠EBP＝45°﹣∠PBC，OE＝OB，
∴∠EOP＝2（45°﹣∠PBC）＝90°﹣2∠PBC，
又∵∠POC＝2∠PBC，
∴∠EOC＝90°﹣2∠PBC+2∠PBC＝90°，
∴EO⊥OC，
在△OCE中，OC＝OE，OE⊥OC，
∴OE＝OCEC，
∴BP＝2OE＝2．
24．（12分）如图1，矩形ABCD中，过对角线AC的中点O画EF⊥AC分别交AB，CD于点E，F，连结AF，CE．
【证明体验】
（1）求证：四边形AECF是菱形；
【基础巩固】（2）若AB＝8，BC＝6，求菱形AECF的边长．
【拓展延伸】
（3）如图2，在对角线AC上取点G，H，使得四边形EHFG是正方形，若正方形EHFG的边长为，且AE＝5CH，求矩形ABCD的面积．
【分析】（1）证明△AOE≌△COF，根据全等三角形的性质得到AE＝CF，根据线段垂直平分线的性质得到AF＝CF，EA＝EC，进而得到AF＝CF＝EA＝EC，根据菱形的判定定理证明结论；
（2）根据勾股定理列出方程，解方程得到答案；
（3）连接AF，根据全等三角形的性质得到CF＝AE，根据正方形的性质分别求出OF、OH，根据勾股定理求出CH、CF，根据三角形的面积公式求出AD，根据勾股定理求出CD，根据矩形的面积公式计算，得到答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，
∴∠OAE＝∠OCF，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE＝CF，
∵EF垂直平分AC，
∴AF＝CF，EA＝EC，
∴AF＝CF＝EA＝EC，
∴四边形AECF是菱形；
（2）解：设菱形AECF的边长为x，则BE＝8﹣x，
在Rt△CBE中，CE2＝BC2+BE2，即x2＝62+（8﹣x）2，
解得：x，
∴菱形AECF的边长为；
（3）解：如图2，连接AF，
设CH＝y，则AE＝5y，
由（1）可知，△AOE≌△COF，
∴CF＝AE＝5y，
∵正方形EHFG的边长为3，
∴OF＝OH＝3，EF⊥GH，
∴OC＝3+y，
在Rt△COF中，CF2＝OF2+OC2，即（5y）2＝32+（3+y）2，
整理得：4y2﹣y﹣3＝0，
解得：y1＝1，y2（舍去），
∴OC＝3+1＝4，
∴AC＝8，
∴S△ACFAC OFCF AD，
∴8×35 AD，
解得：AD，
由勾股定理得：CD，
∴S矩形ABCD．

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