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18浙教版（2024）八下第1章~第5章阶段复习
（时间：120分钟 满分：120分）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列运算中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）用配方法解方程2x2+4x﹣1＝0，则配方结果正确的是（　　）
A． B．（x+1）2＝1
C． D．
3．（3分）如图：在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连接OE，若∠ACB＝40°，则∠1的度数为（　　）
A．50° B．40° C．30° D．20°
4．（3分）对一组数据：4、6、﹣4、6、8，描述正确的是（　　）
A．中位数是﹣4 B．平均数是5
C．众数是6 D．方差是7
5．（3分）将多边形的边数由n条增加到（n+x）条后，内角和增加了540°，则x的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（3分）已知：，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．c＜b＜a
7．（3分）如图，在宽度为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，求道路的宽．如果设小路宽为xm，根据题意，所列方程正确的是（　　）
A．（20+x）（32﹣x）＝540 B．（20﹣x）（32+x）＝100
C．（20﹣x）（32﹣x）＝540 D．（20+x）（32+x）＝540
8．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为（　　）
A．1 B． C．4﹣2 D．34
9．（3分）如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点，则下列说法：①若AC＝BD，则四边形EFGH为矩形；②若AC⊥BD，则四边形EFGH为菱形；③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分；④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等．其中正确的个数有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB，BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为（　　）
A．3 B．2+2 C．2 D．1+2
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）甲、乙两人在100米短跑训练中，某5次的平均成绩相等，甲的方差是0.16s2，乙的方差是0.08s2，则这5次短跑训练成绩较稳定的是　 　 （填“甲”或“乙”）．
12．（3分）已知关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣4x+4＝0有实数根，则a的取值范围为 　 　 ．
13．（3分）已知关于x的方程（m﹣3）x2+（m﹣11）x﹣8＝0的根都是整数，且m满足等式，则所有满足条件的整数m的值之和是 　 　 ．
14．（3分）把一张矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使顶点B和顶点D重合，折痕为EF．若BF＝4，FC＝2，则∠DEF的度数是　 　 °．
15．（3分）如图，在 ABCD中，BC长为4，∠ABC的平分线交AD于点E，若E恰好是AD的中点，AG⊥BE，垂足为G，若AG＝1，则BE的长为 　 　 ．
16．（3分）如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E为对角线AC上的动点，以DE为边作正方形DEFG，点H是CD上一点，且DHCD，连接GH，则GH的最小值为 　 　 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）（1）计算：．
（2）解方程：﹣2（x+2）＝3x（x+2）．
18．（8分）计算：
（1）已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简|c﹣a|；
（2）已知x、y满足y，求5x+6y的值．
19．（8分）已知有8个苹果，它们的直径（单位：mm）分别为：71，72，73，76，78，80，80，81．
（1）直接写出这8个苹果直径的众数、中位数和上四分位数；
（2）现要将这8个苹果按直径大小分成两组，使得每组苹果的“个头”差不多．如表是两种不同的分法，请按照“组内离差平方和最小”原则，判断下表哪种分法更合理．
分法 第一组苹果直径（mm） 第二组苹果直径（mm） 组内离差平方和
第一种分法 71，72，73，76 78，80，80，81 18.75
第二种分法 71，72，73 76，78，80，80，81 a
20．（8分）某农户的西瓜，除了销售到县城，消费者还可以直接去农田采摘．该农户在西瓜刚上市第一天共计销售了600千克，其中在县城销售了200千克，单价为8元/千克，剩余部分在农田采摘销售，单价为6元/千克．
（1）求该农户这一天销售西瓜的总收入．
（2）为扩大销售，该农户准备在县城适当降价，据测算，在县城销售的西瓜单价每降价1元，平均每天可多售出60千克．已知在农田采摘的单价和销售量保持不变，若要使该农户一天的销售总收入为4300元，则在县城销售的单价应降价多少元？
21．（8分）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
22．（10分）如图， ABCD，过点A，C分别作AF⊥CD，CE⊥AB，交CD，AB的延长线于点F，E．
（1）求证：四边形AECF为矩形．
（2）连接AC，BD交于点O，若AC⊥BD，，BE＝2，求矩形AECF的周长．
23．（10分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E，F在对角线AC上，点M，N分别在边AD，BC上．
（1）若连接AN、CM，当四边形ANCM为菱形时，则AN＝　 　 ；
（2）如图1，若AE＝CF＝2，M，N分别是AD，BC的中点，求证：四边形EMFN为矩形；
（3）如图2，若AE＝CF＝1，AM＝CN＝x（0＜x＜4），且四边形EMFN为矩形，求x的值．
24．（12分）如图1，在矩形ABCD中，k，E为CD边的中点，连接AE，延长AE交BC的延长线于F点，在BC边上取一点G，连接AG，使AF为∠DAG的角平分线．
（1）求证：GE⊥AF；
（2）如图2，若k＝1，求的值；
（3）若点G将BC边分成1：2的两部分，直接写出k的值．中小学教育资源及组卷应用平台
18浙教版（2024）八下第1章~第5章阶段复习
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列运算中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据二次根式的性质进行计算即可求解．
【解答】解：A选项：，故A选项错误；
B选项：，故B选项错误；
C选项：，故C选项正确；
D选项：，故D选项错误．
故选：C．
2．（3分）用配方法解方程2x2+4x﹣1＝0，则配方结果正确的是（　　）
A． B．（x+1）2＝1
C． D．
【分析】利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答．
【解答】解：2x2+4x﹣1＝0，
x2+2x0，
x2+2x，
x2+2x+11，
（x+1）2，
故选：C．
3．（3分）如图：在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连接OE，若∠ACB＝40°，则∠1的度数为（　　）
A．50° B．40° C．30° D．20°
【分析】根据平行四边形的性质以及三角形中位线定理，可得OE∥BC，根据两直线平行内错角相等即可求得∠1．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O，
∴BO＝OD，
∵E是边CD的中点，
∴OE为△BCD的中位线，
∴OE∥BC，
∴∠1＝∠ACB＝40°．
故选：B．
4．（3分）对一组数据：4、6、﹣4、6、8，描述正确的是（　　）
A．中位数是﹣4 B．平均数是5
C．众数是6 D．方差是7
【分析】根据平均数、中位数、众数和方差的定义逐项分析判断即可．
【解答】解：对一组数据4、6、﹣4、6、8，
将这组数据从小到大排列为﹣4，4，6，6，8，最中间的数为6，所以中位数为6，选项A描述错误，不符合题意；
其平均数为4，选项B描述错误，不符合题意；
这组数据中，6出现了2次，出现的次数最多，所以众数为6，选项C描述正确，符合题意；
这组数据的方差为[（﹣4﹣4）2+（4﹣4）2+2×（6﹣4）2+（8﹣4）2]＝17.6，故选项D描述错误，不符合题意．
故选：C．
5．（3分）将多边形的边数由n条增加到（n+x）条后，内角和增加了540°，则x的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据多边形的内角和定理即可求出答案．
【解答】解：n边形的内角和是（n﹣2） 180°，（n+x）边形的内角和是（n+x﹣2） 180°，
则（n+x﹣2） 180°﹣（n﹣2） 180°＝540°，
解得：x＝3，
故选：C．
6．（3分）已知：，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．c＜b＜a
【分析】通过比较a、b、c各数的倒数，可得结论．
【解答】解：a，
b，
c＝2，
∵，
∴，即a＞b＞c，
故选：D．
7．（3分）如图，在宽度为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，求道路的宽．如果设小路宽为xm，根据题意，所列方程正确的是（　　）
A．（20+x）（32﹣x）＝540 B．（20﹣x）（32+x）＝100
C．（20﹣x）（32﹣x）＝540 D．（20+x）（32+x）＝540
【分析】设小路宽为x米，利用平移把不规则的图形变为规则图形，如此一来，所有草坪面积之和就变为了（32﹣x）（20﹣x）米2，进而即可列出方程，求出答案．
【解答】解：利用平移，原图可转化为如图，设小路宽为x米，
根据题意得：（20﹣x）（32﹣x）＝540．
故选：C．
8．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为（　　）
A．1 B． C．4﹣2 D．34
【分析】根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ABD＝∠ADB＝45°，再求出∠DAE的度数，根据三角形的内角和定理求∠AED，从而得到∠DAE＝∠AED，再根据等角对等边的性质得到AD＝DE，然后求出正方形的对角线BD，再求出BE，最后根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的倍计算即可得解．
【解答】解：在正方形ABCD中，∠ABD＝∠ADB＝45°，
∵∠BAE＝22.5°，
∴∠DAE＝90°﹣∠BAE＝90°﹣22.5°＝67.5°，
在△ADE中，∠AED＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，
∴∠DAE＝∠AED，
∴AD＝DE＝4，
∵正方形的边长为4，
∴BD＝4，
∴BE＝BD﹣DE＝44，
∵EF⊥AB，∠ABD＝45°，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴EFBE（44）＝4﹣2．
故选：C．
9．（3分）如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点，则下列说法：①若AC＝BD，则四边形EFGH为矩形；②若AC⊥BD，则四边形EFGH为菱形；③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分；④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等．其中正确的个数有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD＝AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC＝BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形，
【解答】解：因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，
当对角线BD＝AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC＝BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形，
故④选项正确，
故选：A．
10．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB，BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为（　　）
A．3 B．2+2 C．2 D．1+2
【分析】证明△BEF是等边三角形，求出EF，同法可证△DGH，△EOH，△OFG都是等边三角形，求出EH，GF，FG即可．
【解答】解：如图，连接BD，AC．
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，∠BAO＝∠DAO＝60°，BD⊥AC，
∴∠ABO＝∠CBO＝30°，
∴OAAB＝1，OBOA，
∵OE⊥AB，OF⊥BC，
∴∠BEO＝∠BFO＝90°，
在△BEO和△BFO中，
，
∴△BEO≌△BFO（AAS），
∴OE＝OF，BE＝BF，
∵∠EBF＝60°，
∴△BEF是等边三角形，
∴EF＝BE，
同法可证，△DGH，△OEH，△OFG都是等边三角形，
∴EF＝GH，EH＝FG，
∴四边形EFGH的周长＝3，
故选：A．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）甲、乙两人在100米短跑训练中，某5次的平均成绩相等，甲的方差是0.16s2，乙的方差是0.08s2，则这5次短跑训练成绩较稳定的是　乙　 （填“甲”或“乙”）．
【分析】根据方差的意义求解即可．
【解答】解：∵甲的方差是0.16s2，乙的方差是0.08s2，
∴甲的方差＞乙的方差，
∴这5次短跑训练成绩较稳定的是乙．
故答案为：乙．
12．（3分）已知关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣4x+4＝0有实数根，则a的取值范围为 a≤4且a≠3　 ．
【分析】根据根的判别式即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：Δ＝16﹣16（a﹣3）≥0且a﹣3≠0，
∴a≤4且a≠3，
故a的取值范围为a≥4且a≠3，
故答案为：a≤4且a≠3．
13．（3分）已知关于x的方程（m﹣3）x2+（m﹣11）x﹣8＝0的根都是整数，且m满足等式，则所有满足条件的整数m的值之和是 　19　 ．
【分析】由二次根式有意义的条件可求得2＜m≤7，再结合根与系数的关系进行分析即可．
【解答】解：∵，
∴7﹣m≥0，m﹣2＞0，
解得：2＜m≤7，
∵（m﹣3）x2+（m﹣11）x﹣8＝0的根都是整数，
∴x1+x2，x1x2都有整数，Δ＝（m﹣11）2﹣4（m﹣3）×（﹣8）＝m2+2m+25＞0，
∴符合条件的整数m有：3，4，5，7，
其和为：3+4+5+7＝19．
故答案为：19．
14．（3分）把一张矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使顶点B和顶点D重合，折痕为EF．若BF＝4，FC＝2，则∠DEF的度数是　60　 °．
【分析】根据折叠的性质得到DF＝BF＝4，∠BFE＝∠DFE，在Rt△DFC中，根据含30°的直角三角形三边的关系得到∠FDC＝30°，则∠DFC＝60°，所以有∠BFE＝∠DFE＝（180°﹣60°）÷2，然后利用两直线平行内错角相等得到∠DEF的度数．
【解答】解：∵矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使顶点B和顶点D重合，折痕为EF，
∴DF＝BF＝4，∠BFE＝∠DFE，
在Rt△DFC中，FC＝2，DF＝4，
∴∠FDC＝30°，
∴∠DFC＝60°，
∴∠BFE＝∠DFE＝（180°﹣60°）÷2＝60°，
∴∠DEF＝∠BFE＝60°．
故答案为：60．
15．（3分）如图，在 ABCD中，BC长为4，∠ABC的平分线交AD于点E，若E恰好是AD的中点，AG⊥BE，垂足为G，若AG＝1，则BE的长为 　2　 ．
【分析】由平行四边形的性质和角平分线的性质可证AB＝AE＝2，由等腰三角形的性质可得BG＝GE，由勾股定理可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝4，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∵E恰好是AD的中点，
∴AEAD＝2，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∵AG⊥BE，
∴BG＝GE，
∵GE，
∴BE＝2GE＝2，
故答案为：2．
16．（3分）如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E为对角线AC上的动点，以DE为边作正方形DEFG，点H是CD上一点，且DHCD，连接GH，则GH的最小值为 　　 ．
【分析】现根据正方形的性质证明△ADE≌△CDG（SAS），得出∠DCG＝∠DAE＝45°，从而得到点G的轨迹是射线CG，根据垂线段最短可知，当GH⊥CG时，GH的值最小，然后计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，四边形DEFC是正方形，
∴DA＝DC，DE＝DG，∠ADC＝∠EDG＝90°，∠DAC＝45°，
∴∠ADE＝∠CDG，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴∠DCG＝∠DAE＝45°，
∴点G的轨迹是射线CG，
根据垂线段最短可知，当GH⊥CG时，GH的值最小，
∵DHCD6＝4，
∴CH＝CD﹣DH＝6﹣4＝2，
∴GH最小＝CH sin45°＝2．
故答案为：．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）（1）计算：．
（2）解方程：﹣2（x+2）＝3x（x+2）．
【分析】（1）先算零指数幂，二次根式的化简，二次根式的乘法，再算加减即可．
（2）方程移项后，利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：（1）
＝4；
（2）﹣2（x+2）＝3x（x+2），
方程移项得：﹣2（x+2）﹣3x（x+2）＝0，
分解因式得：（x+2）（﹣2﹣3x）＝0，
解得：．
18．（8分）计算：
（1）已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简|c﹣a|；
（2）已知x、y满足y，求5x+6y的值．
【分析】（1）利用二次根式的性质和绝对值的性质进行计算即可；
（2）利用二次根式和分式有意义的条件可得x和y的值，进而可得答案．
【解答】解：（1）原式＝|a|+|c﹣a|+|b﹣c|
＝﹣a+c﹣a+c﹣b
＝﹣2a﹣b+2c；
（2）由题意得：，
解得：x＝±3，
∵x﹣3≠0，
解得：x≠3，
∴x＝﹣3，
则y，
∴5x+6y＝﹣16．
19．（8分）已知有8个苹果，它们的直径（单位：mm）分别为：71，72，73，76，78，80，80，81．
（1）直接写出这8个苹果直径的众数、中位数和上四分位数；
（2）现要将这8个苹果按直径大小分成两组，使得每组苹果的“个头”差不多．如表是两种不同的分法，请按照“组内离差平方和最小”原则，判断下表哪种分法更合理．
分法 第一组苹果直径（mm） 第二组苹果直径（mm） 组内离差平方和
第一种分法 71，72，73，76 78，80，80，81 18.75
第二种分法 71，72，73 76，78，80，80，81 a
【分析】（1）分别按照众数、中位数、上四分位数的定义求解即可；
（2）根据方差的方程求得组内离差平方和，再运用方差的意义决策即可．
【解答】解：（1）分别按照众数、中位数、上四分位数的定义可知：
71，72，73，76，78，80，80，81，
80出现了两次、次数最多，则众数为80；
中位数为；
第5﹣8个数据的中间的两个数据为80和80，则上四分位数为．
（2）在第二种分法中，第一组的平均数，
第二组的平均数．
这两组的组内离差平方和分别为：
第一组的离差平方和＝（71﹣72）2+（72﹣72）2+（73﹣72）2＝2，
第二组的离差平方和（76﹣79）2+（78﹣79）2+（80﹣79）2+（80﹣79）2+（81﹣79）2＝16．
∴第二种分法的组内离差平方和为：a＝2+16＝18．
∴按照“组内离差平方和最小”原则，第二种分法更合理．
20．（8分）某农户的西瓜，除了销售到县城，消费者还可以直接去农田采摘．该农户在西瓜刚上市第一天共计销售了600千克，其中在县城销售了200千克，单价为8元/千克，剩余部分在农田采摘销售，单价为6元/千克．
（1）求该农户这一天销售西瓜的总收入．
（2）为扩大销售，该农户准备在县城适当降价，据测算，在县城销售的西瓜单价每降价1元，平均每天可多售出60千克．已知在农田采摘的单价和销售量保持不变，若要使该农户一天的销售总收入为4300元，则在县城销售的单价应降价多少元？
【分析】（1）利用总收入＝销售单价×销售数量，即可求出结论；
（2）设在县城销售的单价降价x元，则销售量为（200+60x）千克，根据要使该农户一天的销售总收入为4300元，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合要扩大销售，即可得出结论．
【解答】解：（1）根据题意得：8×200+6×（600﹣200）
＝8×200+6×400
＝1600+2400
＝4000（元）．
答：该农户这一天销售西瓜的总收入为4000元；
（2）设在县城销售的单价降价x元，则销售量为（200+60x）千克，
根据题意得：（8﹣x）（200+60x）+6×（600﹣200）＝4300，
整理得：3x2﹣14x+15＝0，
解得：x1＝3或x2，
又∵要扩大销售，
∴x＝3．
答：在县城销售的单价应降价3元．
21．（8分）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
【分析】（1）把x＝1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c＝0，整理得a＝b，从而可判断三角形的形状；
（2）根据判别式的意义得Δ＝（﹣2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，即b2+c2＝a2，然后根据勾股定理可判断三角形的形状；
（3）利用等边三角形的性质得a＝b＝c，方程化为x2﹣x＝0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）△ABC为等腰三角形，理由如下：
把x＝1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c＝0，则a＝b，所以△ABC为等腰三角形；
（2）△ABC为直角三角形，理由如下：
根据题意得Δ＝（﹣2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，即b2+c2＝a2，所以△ABC为直角三角形；
（3）∵△ABC为等边三角形，
∴a＝b＝c，
∴方程化为x2﹣x＝0，解得x1＝0，x2＝1．
22．（10分）如图， ABCD，过点A，C分别作AF⊥CD，CE⊥AB，交CD，AB的延长线于点F，E．
（1）求证：四边形AECF为矩形．
（2）连接AC，BD交于点O，若AC⊥BD，，BE＝2，求矩形AECF的周长．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB∥CD，得到AF⊥AB，推出AF∥CE，求得四边形AECF是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；
（2）根据菱形的判定定理得到四边形ABCD是菱形，得到AB＝BC，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∵AF⊥CD，
∴AF⊥AB，
∵CE⊥AB，
∴AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AF⊥CD，
∴∠F＝90°，
∴四边形AECF是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵AC2﹣AE2＝BC2﹣BE2，，BE＝2，
∴30﹣（AB+2）2＝AB2﹣22，
∴AB＝BC＝3（负值舍去），
∴CE，
∴矩形AECF的周长＝2×（AE+CE）＝2×（5）＝10+2．
23．（10分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E，F在对角线AC上，点M，N分别在边AD，BC上．
（1）若连接AN、CM，当四边形ANCM为菱形时，则AN＝　　 ；
（2）如图1，若AE＝CF＝2，M，N分别是AD，BC的中点，求证：四边形EMFN为矩形；
（3）如图2，若AE＝CF＝1，AM＝CN＝x（0＜x＜4），且四边形EMFN为矩形，求x的值．
【分析】（1）G根据矩形和菱形的性质以及勾股定理即可得到结论；
（2）连接MN，由勾股定理求出AC＝10，证出四边形ABNM是矩形，得MN＝AB＝6，证△AME≌△CNF（SAS），得出EM＝FN，∠AEM＝∠CFN，证EM∥FN，得四边形EMFN是平行四边形，求出MN＝EF，即可得出结论；
（3）连接MN，作MH⊥BC于H，则MH＝AB＝6，BH＝AM＝x，得HN＝BC﹣BH﹣CN＝8﹣2x，由矩形的性质得出MN＝EF＝AC﹣AE﹣CF＝8，在Rt△MHN中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∵四边形ANCM为菱形，
∴AN＝CN，
设AN＝CN＝x，
∴BN＝8﹣x，
∵AN2＝AB2+BN2，
∴x2＝62+（8﹣x）2，
∴x，
即AN，
故答案为：；
（2）证明：连接MN，如图1所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC，∠B＝90°，
∴∠EAM＝∠FCN，AC10，
∵M，N分别是AD，BC的中点，
∴AM＝DM＝BN＝CN，AM∥BN，
∴四边形ABNM是平行四边形，
又∵∠B＝90°，
∴四边形ABNM是矩形，
∴MN＝AB＝6，
在△AME和△CNF中，
，
∴△AME≌△CNF（SAS），
∴EM＝FN，∠AEM＝∠CFN，
∴∠MEF＝∠NFE，
∴EM∥FN，
∴四边形EMFN是平行四边形，
又∵AE＝CF＝2，
∴EF＝AC﹣AE﹣CF＝6，
∴MN＝EF，
∴四边形EMFN为矩形．
（3）解：连接MN，作MH⊥BC于H，如图2所示：
则四边形ABHM是矩形，
∴MH＝AB＝6，BH＝AM＝x，
∴HN＝BC﹣BH﹣CN＝8﹣2x，
∵四边形EMFN为矩形，AE＝CF＝1，
∴MN＝EF＝AC﹣AE﹣CF＝8，
在Rt△MHN中，由勾股定理得：62+（8﹣2x）2＝82，
解得：x＝4±，
∵0＜x＜4，
∴x＝4．
24．（12分）如图1，在矩形ABCD中，k，E为CD边的中点，连接AE，延长AE交BC的延长线于F点，在BC边上取一点G，连接AG，使AF为∠DAG的角平分线．
（1）求证：GE⊥AF；
（2）如图2，若k＝1，求的值；
（3）若点G将BC边分成1：2的两部分，直接写出k的值．
【分析】（1）想证明两条直线垂直，可想到两条直线的夹角为90°，及转化求角度问题，而利用等腰三角形底边中点的性质，中线垂直于底边，这样就转化为证明相关三角形为等腰三角形的问题，问题即可得到解决．
（2）利用k＝1，把相关线段所表示的式子找出来，集中到一个相关三角形中，利用直角三角形的性质，列出相关等式，解出方程的解，问题即可得到解决．
（3）若点G将BC边分成1：2的两部分，这时分2种情况，BG＝2GC或者BGGC，利用上边的分析，在同一直角三角形中，列出相关等式，解出方程的解，问题即可得到解决．
【解答】（1）证明：∵E为CD边的中点，
∴DE＝EC，
∵∠AED＝∠CEF，∠ADE＝∠ECF＝90°，
∴△ADE≌△CEF，
∴AE＝EF，即E为AF中点，
∵AF为∠DAG的角平分线，
∴∠GAE＝∠DAE，
又∵AD∥CF，
∴∠DAE＝∠GFE，
∴∠GAE＝∠GFE，
∴△AGE为等腰三角形，
∴GE⊥AF．
（2）解：设EC＝1个单位，GC＝x，
利用Rt△ABG列出方程：（2﹣x）2+4＝（2+x）2，
解得CG，BG，
∴
（3）解：①当BG＝2GC时，设GC＝x，则BG＝2x，
∵k，
∴AB，
∵AG＝GF＝4x，
利用Rt△ABG列出方程：（4x）2＝（）2+（2x）2，
解得k．
②当BG＝2GC时，设GC＝2x，则BG＝x，
∵k，
∴AB，
∵AG＝GF＝5x，
利用Rt△ABG列出方程：（5x）2＝（）2+（x）2，
解得k．
综上解析或．

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