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安徽淮南市寿县2026年初中学业水平模拟考试数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的绝对值是（ ）．
A. B. C. D.
2.下列计算正确的是（）
A. B. C. D.
3.据国家统计局初步核算，年中国国内生产总值达到亿元，其中亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
4.我国古代数学家利用“牟合方盖”（如图甲）找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体，图乙所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的主视图是（）
A. B. C. D.
5.一个直角三角板如图摆放，其中，，与交于点E，与交于点D，若，，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
6.关于的一元二次方程有两实数根，其中一根为，则这两根之积为（ ）
A. B. C. D.
7.为了解某校学生青年大学习的情况，现安排一次竞赛活动，其中九年级共12名学生参加，最终成绩分别为88，86，87，92，98，100，92，91，89，89，88，92，关于这组数据不正确的是（）
A. 平均数是91 B. 众数是92 C. 中位数是90 D. 方差是200
8.如图，是的内切圆，线段与相切，与、分别交于点D、点E，且，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
9.已知二次函数的图象过，，，四个点中的三个点，则符合要求的所有函数表达式中的最小值是（ ）
A. B. C. D.
10.已知点C是半圆的动点，为直径，且，求的最大值（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.不等式的解集是 ．
12.因式分解：3a2-18a+27= .
13.甲、乙、丙、丁四人都只习惯使用支付宝和微信支付，并且他们选择这两种支付的可能性是相同的，请计算四人恰好选择同一种支付方式的概率是 ．
14.任取一个正整数，如果它是偶数，就将它除以；如果它是奇数，就将它乘以再加上．把每次运算所得的数按照上面的方法再进行计算．规定：当运算到第一次出现数字“”时，运算终止，此时这个序列中数的个数记为这个数的路径长度，如数字，则记整数的路径长度是．
(1) 整数6的路径长度是 ．
(2) 如果一个正整数的路径长度是5，那么这个正整数是 ．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
15.解方程：．
四、解答题：本题共8小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，，，．
(1) 将先向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，作出平移后的．
(2) 将绕点O逆时针旋转，作出旋转后的．
(3) 在（2）的旋转过程中，点经过的路径长为 ．
17.(本小题7分)
我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子，问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”
根据以上译文，提出以下两个问题：
(1) 求每头牛、每只羊各值多少两银子？
(2) 若某商人准备用19两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请问商人有几种购买方法？列出所有的可能．
18.(本小题10分)
如图，一次函数y=- x+1的图象与反比例函数y=的图象分别交于点A．B，且点A的横坐标为-2，点B的横坐标为4，一次函数的图象与y轴交于点C．
(1) 求反比例函数的表达式；
(2) 若点P在y轴上，且△ABP的面积为6，求出点P的坐标．
19.(本小题10分)
如图，三地在同一直线上，在的北偏东方向，在的北偏西方向，在的北偏西方向，且，求与之间的距离．
20.(本小题10分)
如图，为的直径，是的弦，延长交于点C，连接．
(1) 若平分，求的度数；
(2) 若点E为的中点，，，求的半径．
21.(本小题11分)
为进一步宣传垃圾分类知识，某校组织全校学生进行“垃圾分类知识测试”（满分100分）．现随机抽取部分学生的测试成绩x（单位：分）整理成A：， B：， C：， D：四个分数段，绘制成如下频数分布直方图和扇形统计图：
根据以上信息，解答下列问题：
(1) 抽取的学生的人数是________人，请补全频数分布直方图；
(2) 扇形统计图中A段学生所对的圆心角是 ，抽取的学生的测试成绩的中位数在 A，B，C，D中 段（填字母）；
(3) 若测试成绩在80分以上（含80分）定为“优秀”，该校有1150名学生，请你估计该校测试成绩“优秀”的学生人数．
22.(本小题12分)
如图，在中，是边上的中线，将绕点顺时针旋转，得到如图，我们称为的“旋补三角形”，的边上的中线叫做的“旋补中线”.
(1) 在图，图，图中为的“旋补三角形”,是的“旋补中线”.
①如图,
②如图，当为等边三角形时，与的数量关系为 .
③如图，当时，时，则长为 .
(2) 在图中，当为任意三角形时，猜想与的关系，并给出证明．
(3) 如图，在四边形中，,，，,,,为垂足，在线段上是否存在点，使是的“旋补三角形”若存在，请作出点并给予证明；若不存在，请说明理由.

23.(本小题14分)
如图，经过点的抛物线与直线相交于点两点，并与边长为2的正方形相交于点．
(1) 试求抛物线和直线的函数解析式；
(2) 若抛物线在第一象限的图像上有一点，它的横坐标为．
①请用含的式子表示的面积；
②若点到直线的距离最远，请直接写出此时点的坐标．
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】C
10.【答案】B
11.【答案】
12.【答案】3（a-3）2
13.【答案】
14.【答案】【小题1】
9
【小题2】
16

15.【答案】解：
解得，．

16.【答案】【小题1】
解：如图所示，即为所求；
【小题2】
解：如图所示，即为所求；
【小题3】


17.【答案】【小题1】
设每头牛x银两,每只羊y银两．
解得:
答:每头牛3两银子,每只羊2两银子．
【小题2】
设买牛a头,买羊b只．
3a+2b=19,即．
解得a=5,b=2；或a=3,b=5,或a=1,b=8．
答:三种购买方法,买牛5头,买养2只或买牛3头,买养5只或买牛1头,买羊8只．

18.【答案】【小题1】
解：当x=-2时，y=-（-2）+1=2，
∴A（-2，2），
∵反比例函数y=的图象过点A，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
【小题2】
∵反比例函数的图象过点B，点B的横坐标为4，
∴y=-1，即B（4，-1），
设点P的坐标为（0，a），
∵一次函数y=- x+1的图象与y轴交于点C．
∴C（0，1），
∴PC=，
∵△ABP的面积为6，
∴，
解得a=-1或a=3，
∴点P的坐标为（0，-1）或（0，3）．

19.【答案】解：过点作交于点，如图所示：
由题意可知，，
，
，
，
∵，
∴是等边三角形，
在中，，，则，
，则由勾股定理可得，
，
，
在中，，，则，
即是等腰直角三角形，
，
答：与之间的距离为．

20.【答案】【小题1】
解：∵为的直径．
∴，，
又∵平分．
∴，
∴，
又∵四边形是的内接四边形．
∴，
答：的度数为；
【小题2】
解：连接，
∵点E为的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
答：的半径为．

21.【答案】【小题1】
解：抽取的学生的人数是（人），
∴B组人数为（人），
补全频数分布直方图如下：
【小题2】
72
C
【小题3】
解：（人），
答：估计该校测试成绩“优秀”的学生人数为598人．

22.【答案】【小题1】

2
【小题2】
猜想：;
证明：如图延长至，使，连接 四边形为平行四边形，,.又,.
在中,
.
.
【小题3】
存在
理由：如图，延长交的延长线于，作线段的垂直平分线交于，交于，连接.
由定义知当且时，是的“旋补三角形”.
,.
在中，,
.
在中，,

,又
在中,
,又
四边形是矩形.
是的“旋补三角形”

23.【答案】【小题1】
解：经过点的抛物线与直线相交于点两点，并与边长为2的正方形相交于点，
，，
代入得：，
解得：，
，
令，解得：，，
把、代入得：，
解得，
，
答：抛物线和直线的函数解析式分别为，；
【小题2】
解：①令，
过点作轴交于点，
，
则
，
此时面积为，
②，
要使点到直线的距离最远，则面积取得最大值，
由①得，
当时，最大，此时，
．

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