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浙江杭州北斗联盟2025-2026学年第二学期高二期中联考数学试题
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.设集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.设x，y∈R，则“x＞y”是“lnx＞lny”的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知，则（ ）
A. B. C. D.
4.已知为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数等于（ ）
A. B. 2 C. D. 6
5.已知点在圆上，点在直线上，则的最小值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6.已知各项均为正数的等比数列{},=3,=27,则=( )
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
7.若二项式展开式中的常数项为15，则的值（ ）
A. B. C. 3 D. 9
8.已知函数有两个不同的极值点，则的取值范围（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.若实数满足，则（ ）
A. B. C. D.
10.设抛物线的焦点为，过的直线交于两点，过且垂直于的直线交准线于，则（ ）
A. 准线方程为 B. C. D.
11.如图所示,正方体ABCD-的棱长为2,E,F分别为,AB的中点,点M是正方形内的动点,下列说法正确的是( )
A. 平面EF
B. 若M平面EF,则点M的轨迹长度为
C. 四棱锥-EF的体积为3
D. 四棱锥-EF的外接球的表面积为11
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，若，则 ．
13.名男生、名女生站成一排，至少有名女生相邻的站法种数为 （用数字作答）．
14.已知分别是椭圆和双曲线的离心率，是它们的公共焦点，是它们的一个公共点．且，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在中，内角所对的边分别为，且．
(1)求；
(2)已知的面积为，求的周长．
16.(本小题15分)
如图，在四棱锥中，为中点，，，，．
(1)证明：平面；
(2)若底面，求直线与平面的夹角正弦值．
17.(本小题15分)
已知等差数列中，其前项和为，且，数列满足
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
18.(本小题17分)
已知椭圆离心率为是椭圆其中的一个顶点，直线与椭圆交于两点，是轴上的一点，直线分别与直线交于两点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)当，求的取值范围；
(3)是否存在实数，使得为定值，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
19.(本小题17分)
已知函数．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若函数有两个零点；
（i）求的取值范围；
（ii）已知，且恒成立，求的取值范围．
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】AD
10.【答案】AC
11.【答案】BCD
12.【答案】1
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：（1）由正弦定理得：．
，
由得，
又因为，解得；
（2）由，得，
由余弦定理得：①．
又因为②
联立①②得：，
的周长．

16.【答案】解：（1）取中点，连接，
在中，分别为的中点，为的中位线，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
平面，平面，
平面．
（2）在四边形中，作于于，如下图所示：
，
四边形为等腰梯形，
，
故，
，
，
以为原点建立如图所示空间直角坐标系，
则，
直线的方向向量为，
则，
设平面的法向量，
则有，令，则，即，
设直线与平面的夹角为，
，
即直线与平面的夹角正弦值为．

17.【答案】解：（1）已知为等差数列，且，
，解得：
，
当时，有，
两式相减得：，
当时，，满足，
．
（2）由（1）知，
两式相减得：
，
.

18.【答案】解：（1），
椭圆的标准方程为
（2）设，
联立直线与椭圆的方程，得
.
易得，.
设
则
由对勾函数性质知.
.
（3）直线方程为：，联立
得：
同理可得：点
，
．
由（2）知：，
要使为常数
需要，方程组无解
不存在实数，使得为定值．

19.【答案】解：（1）当时，函数的定义域为，求导得，
当时，；当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的单调减区间为，单调增区间为.
（2）（i）由，得，则，
令函数，求导得，当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，，
而，当时，，且时，，函数的图象如图，
函数有两个零点，即方程有两个解，亦即直线与函数的图象有两个交点，
由图象知，当且仅当，即时，直线与函数的图象有两个交点，
所以的取值范围为.
（ii）由（i）知，，
则，两式相减得，
由，两边取对数得，即
则，于是，
即，令，则有，
即，而，则，
令函数，求导得，
由，得，当时，，由，得，
函数在上单调递减，因此，与对恒成立矛盾；
当时，恒成立，即恒有，函数在上单调递增，恒成立，
所以的取值范围是.

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