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2025-2026学年广东省汕头市金山中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知集合，B={x|2x＜1}，则A∩B=（　　）
A. {x|x＞1} B. C. D.
2.已知复数z满足（i为虚数单位），则的虚部为（　　）
A. 2 B. 2i C. -2 D. -2i
3.在△ABC中，AB=3AD，E为CD中点，设，，则=（　　）
A. B. C. D.
4.设a,b∈R，则2a＞2b是|a|＞b的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,满足bc=3a2，且，则cosA=（　　）
A. B. C. D.
6.直线x+y-1=0是曲线y=lnx-2x+a的一条切线，则a=（　　）
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
7.在一次校园活动的组织过程中，由甲、乙等5名同学负责接待、咨询、向导三个志愿者服务项目，每名同学只负责一个服务项目，且每个服务项目至少有一名同学负责.若甲、乙两人负责同一个服务项目，则不同的安排方案共有（　　）
A. 18种 B. 36种 C. 48种 D. 54种
8.已知函数f（x）=ex，g（x）=ax2，若对任意的x1，x2∈（0，+∞），x1＜x2，f（x1）-f（x2）＜g（x1）-g（x2）恒成立，则实数a的取值范围为（　　）
A. （-∞，0] B. C. （-∞，e] D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.若函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，-π＜φ＜0）的部分图象如图所示，则（　　）
A. f（x）的最小正周期
B.
C. 函数为奇函数
D. f（x）的图象关于（k∈Z）对称
10.设数列{an}的前n项和为Sn，已知，则（　　）
A. 为等比数列 B.
C. S2026＞2025 D. S2026＜2026
11.已知，则下列描述正确的是（　　）
A. a1+a2+a3+ +a100=0
B. f（x）的展开式中，所有含x的偶数次项的二项式系数和为299
C. f（-1）被7整除所得的余数是4
D. a1+2a2+3a3+ +100a100=100
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.（2+x）6展开式中的第六项的系数为______.
13.现有5名学生站成一排，若学生甲不站两端，则不同站法共有 种（用数字作答）.
14.已知双曲线的一个焦点为F，O为坐标原点，点A，B在双曲线上运动，以A，B为直径的圆过点O，且恒成立，则C的离心率的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知数列{an}满足.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列的前n项和Sn.
16.(本小题15分)
已知函数f（x）=2a2lnx-x2（a＞0）.
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的单调区间.
17.(本小题15分)
如图，三棱锥D-ABC的四个顶点均在半径为2的球O的球面上，∠ACB=90°，AD=CD，点E，F分别为棱AB，AC的中点.
（1）证明：AC⊥DE；
（2）若，三棱锥D-ABC的体积为时，求平面DBC与平面DEF所成角的余弦值.
18.(本小题17分)
在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：=1（a＞b＞0）的长轴长是短轴长的2倍，点P（2，1）在椭圆C上，斜率为-的直线l与椭圆C相交于M，N两点（异于点P）.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若△OMN的面积为，求直线l的方程；
（3）记直线PM与PN的斜率分别为k1，k2，直线OM，ON的斜率分别为k3，k4，证明：k1k2=k3k4.
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=2sinx+sin2x.
（1）判断f（x）是否为周期函数，并说明理由；
（2）求f（x）的最大值和最小值；
（3）设n∈N*，证明：.
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】BCD
10.【答案】BCD
11.【答案】ABC
12.【答案】12
13.【答案】72
14.【答案】（，]
15.【答案】解：（1）由题意，得，
当，
当n=1时，a1=S1=1，适合上式，
∴an=2n-1．
（2）由（1）可得=，
所以
=．
16.【答案】y=-1 单调递增区间为（0，a），单调递减区间为（a，+∞）
17.【答案】（1）证明：已知AD=CD，F是AC中点，所以DF⊥AC，
又E，F分别为AB，AC中点，
故EF是△ABC的中位线，得EF∥BC，
由∠ACB=90°，知BC⊥AC，因此EF⊥AC，
因为EF∩DF=F，且EF，DF 平面DEF，
所以AC⊥平面DEF，
又DE 平面DEF，
故AC⊥DE ；
解：（2）由（1），以C为原点，直线CB为x轴，直线CA为y轴，过C作平面ABC的垂线为z轴，
又，
可得C（0，0，0），B（2，0，0），，，，
由AD=CD，DF⊥AC，设，
，
三棱锥体积，
解得h=2，
即，
因为AC⊥平面DEF，
故平面DEF的一个法向量为，
在平面DBC中，，
设其法向量为，
则，则，
令b=-2，得，
即，
设平面DBC与平面DEF所成角为θ，
则，
即平面DBC与平面DEF所成角余弦值是．
18.【答案】解：（1）由题知
解得，，
故椭圆C的方程为．
（2）设直线l的方程为，点M，N的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），
联立方程得x2-2mx+2m2-4=0．
由Δ=4m2-4（2m2-4）=16-4m2＞0，得-2＜m＜2．
由韦达定理，有x1+x2=2m,．
所以|MN|===．
原点O到直线l的距离为，
所以△OMN的面积为×．
由，解得m=±1或，
故直线l的方程为或或或．
（3）证明：因为，
=
=
=，
k3k4==
=
==，
所以k1k2=k3k4．
19.【答案】是周期函数，理由如下：由三角函数周期性知：sin（x+2π）=sinx，sin[2（x+2π）]=sin（2x+4π）=sin2x，
因此：f（x+2π）=2sin（x+2π）+sin2（x+2π）=2sinx+sin2x=f（x），
即2π是f（x）的一个周期，故f（x）是周期函数 最大值为，最小值为 证明：记，
由（2）知对任意实数t，都有，
对k=0，1，…，n-1，令t=2kx，得：，
将上述n个不等式累加，左边整理得：
，右边为，
因此：，
整理得：，
由sinx≤1，sin2nx≤1，得，
因此：，得证
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