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湖北省十堰市普通高中联合体2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.（ ）
A. B. C. D.
2.与向量反向的单位向量是（ ）
A. B. C. D.
3.下列函数中，图像关于原点对称的函数是（）
A. B. C. D.
4.已知，，则（ ）
A. B. C. D.
5.如图所示，三个边长为5的正方形相连，若，，则（ ）
A. B. C. D.
6.粒子A，B从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为，，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
7.若在是减函数，则的最大值是（ ）
A. B. C. D.
8.如图，这是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数的图形，已知是平面四边形内一点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知，，则下列说法正确的是（ ）
A. 必为钝角 B.
C. D.
10.已知点C在以AB为直径的圆上运动,且AB=2,动点M为平面ABC内一点,且=3,则下列结论正确的是( )
A. ||的最小值为1 B. 的最小值为-6
C. ||的最大值为2 D. 的最大值为8
11.已知，下列说法正确的是（ ）
A. 当时，最小正周期为 B. 当时，图象关于对称
C. 当时，最小值为 D. 当时，是偶函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.三角求值:= .
13.已知单位向量,,若不存在实数x,使得|x+|<成立,则向量,的夹角的取值范围为 .
14.已知函数f(x)=,向量,,是平面内三个不同的单位向量,其中向量,相互垂直,且满足f()+f()+f()1,则(+)的最大值是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图,在平行四边形ABCD中,=5.
(1)用向量,表示,;
(2)若=+x,且A,E,F三点共线,求x的值.
16.(本小题15分)
函数的部分图象如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)将该函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来2倍，得到函数的图象，若方程在区间上有解，求m的范围．
17.(本小题15分)
如图，有一块矩形铁皮，其中米，米，其中，是一个大于等于4的常数.阴影部分是一个半径为3米的扇形.设这个扇形已经腐蚀不能使用，但其余部分均完好.工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，使点P在弧上.设，矩形的面积为S平方米.
(1)求S关于的函数表达式；
(2)当时，求S的最小值，并求出当S取得最小值时，所对应的的值.
18.(本小题17分)
如图,已知ABC满足||=||=2,=2,、、，(n)是线段BC上的分点,且满足=====.
(1)判断ABC的形状;
(2)当n=2时,求|+++|的值;
(3)当n=3时,若P为线段上的动点,求的最小值,并指出当取最小值时点P的位置.
19.(本小题17分)
已知函数.
(1)求的图象的对称中心坐标；
(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围；
(3)设，方程在区间上的根从小到大依次为，求的值.
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】A
8.【答案】D
9.【答案】ABD
10.【答案】AB
11.【答案】CD
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：（1）平行四边形，所以，
因为，所以，
所以，即．
（2）因为A,E,F三点共线,则设，又
则=，
又由（1），且向量, 不共线，
所以，，xy=1，则y=3，x=.
16.【答案】解：（1）由函数的图象，得，
的最小正周期，由，，
得，
由，得，而，则，
所以函数的解析式为．
（2）将函数的图象向左平移个单位长度，
得，
再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得，
由已知方程在区间上有解，
故方程在区间上有解，
因为，所以，
所以m的范围为．

17.【答案】解：（1）过P作，垂足为E，由题意得：，，
故，.
所以矩形的面积，.
（2）由（1）及题设知，
故，
令，，
所以，且，，
在区间上严格递减，在区间上严格递增，
当，即时，S取得最小值.
此时，则，故.

18.【答案】解：(1)||=||=2,
=||||BAC=2,
则BAC=,
即BAC=，故ABC为等边三角形；
(2)当n=2时,,为边BC的三等分点,设O为BC中点，且||=,
所以+++=4,
故|+++|=|4|=4；

(3)当n=3时,,、为边BC的四等分点,
=+=+=+(-)=+,
设=t，其中0t1,
则=--,
=+=-+(1-),
所以=(--)[-+(1-)]
=[+(6t-4)+3(3t-4)]=(-14t)，
当且仅当t=，即= 时，取最小值-.
19.【答案】解：（1）
.
令，故对称中心坐标为.
（2）因为，
，
又因为已知对恒成立，
所以，故，
令，当时，，
不等式变为：，所以，
因为，所以，
即，在该区间单调递减，
故最大值在时取得：.
故实数的取值范围为.
（3）令
因为方程，所以.
因为的对称轴方程为：，
则，因为，
所以在有四条对称轴，分别为，
∵，∴共有4个解.
其中关于对称，关于对称，关于对称，
∴.

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