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北京市中国人民大学附属中学2025-2026学年高一下学期期中练习数学试题
一、单项选择题：本大题共10小题，共50分。
1.半径为2，弧长为的扇形的面积为（　　）
A. B. C. D.
2.已知角的终边过点，则的值是（ ）
A. B. C. D.
3.已知向量，，且，则（ ）
A. B. C. D.
4.如图所示，在中，点是线段的中点，是线段的靠近的三等分点，则（ ）
A. B. C. D.
5.函数的图像向左平移个单位得到下列哪个函数（ ）
A. B.
C. D.
6.是所在平面内一点，，则是点在内部（不含边界）的（）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要
7.已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
8.大语言模型（LLM）是深度学习在自然语言处理领域的应用.模型对词语进行聚类分析经常使用余弦相似度来判断事物的相似程度.它先把对象表示为向量，再计算夹角大小，向量的夹角越小，说明两者越相似.橙子与耙耙柑、丑橘、沃柑比较相似，模型用甜度、果皮光滑度两个特征将每种水果表示为向量，例如橙子表示为，其它水果见下表：
甜度 果皮光滑度
橙子 3 2
耙耙柑 2 2
丑橘 3 1
沃柑 4 2
请你用余弦相似度判断，与橙子最相似的水果是（ ）
A. 沃柑 B. 丑橘 C. 耙耙柑 D. 无法确定
9.函数在区间上的大致图象不可能为（ ）
A. B.
C. D.
10.已知函数，下列说法正确的有（ ）个
①是偶函数 ②是周期为的函数
③在区间上单调递减 ④的最大值为
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知向量，，则在上的投影的数量为
12.平面直角坐标系中与关于轴对称，则的一个取值为 .
13.已知函数的部分图象如图所示，其中图象最高点和最低点的横坐标分别为和，图象与轴交点的纵坐标为，则函数的解析式为 .
14.我国古代数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称该“弦图”为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示. 若，，为正方形及其内部的动点，则的取值范围是 .
15.已知为常数，，关于的方程有以下四个结论：
①当时，方程有个实数根；
②存在实数，使得方程有个实数根；
③使得方程有实数根的的取值范围是；
④如果方程共有个实数根，记的取值集合为，那么.
所有正确结论的序号是 .
三、解答题：本题共3小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题25分)
如图所示，在中，，，，，.
(1)用，表示与；
(2)求的值；
(3)若，，是否存在实数使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
17.(本小题25分)
已知函数（，，是常数，，，），函数的图象可由函数的图象平移得到.
(1)从条件①、条件②、条件③中选一个作为已知，使的解析式存在且唯一，并求出其解析式；
条件①：的两条相邻对称轴的距离为；
条件②：；
条件③：对任意的，都有成立.
(2)根据（1）中确定的，求在区间上的取值范围.
18.(本小题25分)
已知函数.
(1)用“五点作图法”在给定的坐标系中，画出函数在上的图象（要求列表），并直接写出图象的对称中心；
(2)将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若，，当时，恒成立，求实数的最大值.
1.【答案】A
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】A
9.【答案】C
10.【答案】C
11.【答案】
12.【答案】 /答案不唯一
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】①②④
16.【答案】解：（1）因为，，所以，.
所以，
.
（2）
.
（3）.
因为，所以，即，
整理得，
即，
解得.
所以，存在实数使得，此时.

17.【答案】解：（1）函数 的图象可由函数 的图象平移得到，根据三角函数的平移和伸缩变换性质，且，所以；
若选条件①：的两条相邻对称轴的距离为 ；即 ，而 ，
已知 时，，无法确定 ，所以不能选条件①.
若条件②：。将 代入 得： .
则 或 ；
当 时，；当 时，；
因为 ，当 时，或 ，这里会出现两个解，所以不能选条件②；
若条件③：对任意的 ，都有 成立；根据正弦函数的性质，当 时，.
即；
因为 ，所以 时，，此时 ，解析式唯一，所以选择条件③.
（2）已知 ，所以 ；
令，则，，根据正弦函数的图象性质可知，
在 上单调递减，在 上单调递增； ， .
所以当 时， ；
所以在区间上的取值范围为.

18.【答案】解：（1）列表：
0
1 2 0 0 1
描点，连线，画出在上的大致图像如图：
由图可知函数图像的对称中心为；
（2）将函数的图象向右平移个单位，
得到，
由题意可知：函数在内单调递减，且的最小正周期，
则，即，解得，
因为，则，
且，则，，
可得，解得，
所以实数的最大值为.

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