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北京交通大学附属中学2025-2026学年高一下学期期中练习数学试卷
一、单项选择题：本大题共10小题，共50分。
1.（ ）
A. B. C. D.
2.已知角的终边经过点，则（ ）
A. B. C. D.
3.已知扇形的弧长为1，面积为2，则该扇形的圆心角（正角）的弧度为（）
A. B. C. 2 D. 4
4.已知向量满足，则的夹角（ ）
A. B. C. D.
5.为了得到函数的图像，只需将的图像（ ）
A. 向右平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度
6.已知平面向量，若，则（ ）
A. 2 B. C. 3 D.
7.“”是“”的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的有（ ）
①关于点对称；
②关于直线对称；
③在区间上单调递减；
④在区间上的值域为.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
9.数学与音乐有着紧密的关联，我们平时听到的乐音一般来说并不是纯音，而是由多种波叠加而成的复合音.如图为某段乐音的图象，则该段乐音对应的函数解析式可以为（）
A. B.
C. D.
10.如图，在等腰直角三角形中，斜边，为线段上的动点（包含端点），为的中点．将线段绕着点旋转得到线段，则的最小值为（　　）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知，则 .
12.已知向量，在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则 .
13.函数的定义域为 .
14.已知函数f（x）=sinωx，g（x）=cosωx，其中ω＞0，A，B，C是这两个函数图象的交点，且不共线．
①当ω=1时，△ABC面积的最小值为 ；
②若存在△ABC是等腰直角三角形，则ω的最小值为 ．
15.已知函数，给出下列四个结论：
①存在无数个零点；
②区间是的单调区间；
③在上无最大值；
④若，则.
其中所有正确结论的序号为 ．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
已知圆是单位圆，锐角的终边与圆相交于点，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)记点的横坐标为，若，求的值．
17.(本小题15分)
已知函数
(1)用“五点法”画函数在一个周期内的图象，其中；
(2)求的单调递减区间；
(3)当时，求函数的最值及取得最值时的值.
18.(本小题15分)
已知函数，是函数的对称轴，且在区间上单调.
(1)从条件①、条件②、条件③中选一个作为已知，使得的解析式存在，并求出其解析式；
条件①：函数的图象经过点；
条件②：是的对称中心；
条件③：是的对称中心.
(2)根据（1）中确定，若函数在上有唯一零点，求的取值范围.
19.(本小题15分)
在天文学中，变星是指亮度会随时间变化的恒星，天文学家常用“视星等”来描述恒星的亮度.造父变星是一类“视星等”随时间t呈周期性连续变化的变星，其“视星等”m（t）随时间t的变化可近似地用函数来表示，其中A为振幅，T为光变周期，B为平均“视星等”，φ为初相且.一个天文学团队于每晚20：00记录某颗造父变星的“视星等”，设第一次记录时间为t=0.下表为连续10次的记录数据：
观测时间t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
“视星等”m（t） 4.5 5.0 4.5 3.5 3.0 3.5 4.5 5.0 4.5 3.5
根据该天文学团队的记录数据，回答下列问题：
（1）求该造父变星的光变周期T和平均“视星等”B；
（2）求t=3.5时该造父变星的“视星等”；
（3）已知“视星等”数值越小，亮度越大.若变星在其一个光变周期内“视星等”不高于3.2的时间能够达到该光变周期的及以上，则该天文学团队便将这颗变星的亮度视为“合格”，据此判断该造父变星的亮度是否“合格”，并说明理由.
20.(本小题20分)
对于定义在上的函数和正实数若对任意，有，则为阶梯函数.
(1)分别判断下列函数是否为阶梯函数（直接写出结论）：
①；
②.
(2)若为阶梯函数，求的所有可能取值；
(3)已知为阶梯函数，满足：在上单调递减，且对任意，有.若函数有无穷多个零点，记其中正的零点从小到大依次为；若时，证明：存在，使得在上有4046个零点，且.
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】A
10.【答案】D
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】2π ；
15.【答案】①④
16.【答案】解：（1）因为圆是单位圆，锐角的终边与圆相交于点，
所以．
所以．
（2）原式．
（3）由（1）知，，且为锐角，
所以，．
所以
．

17.【答案】解：（1）因为，当时，，
令分别取，，，，，
当时，，；
当时，，；
当时，，；
当时，，；
当时，，；
填表如下：
0
0 1 0 0
描点、连线，得图如下：
（2）由正弦函数的性质可知，当时，函数单调递减，
所以，解得，
所以的单调递减区间为.
（3）因为，所以，
令，则，
因为函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以在区间上，;
又当时，；
当时，；
所以，即，
所以当时，即当时，取得最大值;
当时，即当时，取得最小值.
所以当时，函数的最大值为，此时；最小值为，此时.

18.【答案】解：（1）因为在区间上单调，所以，
因为，且，解得；
又因为是函数的对称轴，所以；
选条件①：因为函数的图象经过点，所以，
因为，所以，所以，，即，
当时，，满足题意，故.
选条件②：因为是的对称中心，所以，
所以，，此方程无解，故条件②无法解出满足题意的函数解析式.
选条件③：因为是的对称中心，所以，
所以，，解得，所以.
（2）由（1）知，
由，得，
要使函数在上有唯一零点，
则，，
所以的取值范围是.

19.【答案】T=6，B=4 合格
20.【答案】解：（1） ，则 ；
，则 ，
故①否；②是.
（2）因为 为 阶梯函数，所以对任意 有：
．
所以，对任意 ， ，
因为 是最小正周期为 的周期函数，
又因为 ，所以 ， ．
（3）函数 ，则有：
，
．
取 ，则有：
， ，
由于 在 上单调递减，因此 在 上单调递减，
结合 ，则有：
在 上有唯一零点 ，在 上有唯一零点 ．
又由于 ，则对任意 ，有： ， ，
因此，对任意 ， 在 上有且仅有两个零点： ， ．
综上所述，存在 ，使得 在 上有4046个零点：
， ， ， ，…， ， ，
其中， ．

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