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江苏徐州市区八校联考2025-2026学年下学期期中数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列成语描述的事件为随机事件的是（）
A. 水涨船高 B. 萍水相逢 C. 瓮中捉鳖 D. 天方夜谭
2.一只不透明的袋子中，装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到红球的概率为，则红球的个数为（　　）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
3.下列图案是中心对称图形的是（）
A. 中国火箭 B. 中国火星探测
C. 神舟 D. 中国行星探测
4.如图，在中，，对角线相交于点，则的取值范围是（　　）
A. B. C. D.
5.下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（）
A. B.
C. D.
6.如图，F是的边上的点，Q是中点，连接并延长交于点E，连接与相交于点P，若，，则阴影部分的面积为（　　）．
A. 24 B. 17 C. 18 D. 10
7.若，且，，则的值为（ ）
A. B. 2 C. D. 1
8.如图，正方形的对角线、相交于点O，折叠正方形纸片，使落在上，点D恰好与上的点F重合，展开后折痕分别交，于点E、G，连结、，则下列结论错误的是（　　）
A. B.
C. 四边形是菱形 D.
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.从一副扑克牌中任意抽取1张，①这张牌是“Q”；②这张牌是“大王”；③这张牌是“红心”．将这些事件的序号按照发生的可能性从小到大的顺序排列： ．
10.分解因式：x2-= .
11.如图，矩形的边，，则的长为 ．
12.已知a,b,c为△ABC的三边，且满足a2-b2=ac-bc,则△ABC的形状是 三角形.
13.如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形，若，，则，两点间的距离为 ．
14.如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E，F在AC上，且AE=CF，添加一个适当的条件，使四边形BEDF是矩形，这个条件可以是 .（填一个条件即可）
15.如图，是的中线，E是的中点，延长交于点F，若，则的长为 ．
16.如图,在□ABCD中,B=,AB=3,BC=2,E为边AB上的一个动点,以EC、ED为邻边构造□CEDF,连接EF,则EF的最小值为 .
三、计算题：本大题共2小题，共20分。
17.因式分解：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
18.利用因式分解简便计算：
(1) ；
(2) ．
四、解答题：本题共7小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
【观察】；；；…
【发现】两个连续偶数的平方差是4的倍数；
【验证】
(1) 的结果是4的 倍；
(2) 设连续的两个偶数为2 n，（n为整数）．试说明：与2 n的平方差是4的倍数．
20.(本小题12分)
如图，地面上有一个不规则的封闭图形，为求得它的面积，小明设计了如下方法：
在此封闭图形内画出一个半径为米的圆．
在此封闭图形旁边闭上眼睛向封闭图形内掷小石子（可把小石子近似的看成点），记录如下：

掷小石子落在不规则图形内的总次数
小石子落在圆内（含圆上）的次数
小石子落在圆外的阴影部分（含外缘）的次数
(1) 通过以上信息，可以发现当投掷的次数很大时，的值越来越接近 （结果精确到）；
(2) 若以小石子所落的有效区域为总数（即），则随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在 附近（结果精确到）；
(3) 请你利用（）中所得频率的值，估计整个封闭图形的面积是多少平方米？（结果保留）
21.(本小题8分)
已知：如图，在 ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，且BE＝DF．
求证：AC、EF互相平分．
22.(本小题8分)
如图，四边形是平行四边形，点在上，请仅用无刻度直尺按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）．
(1) 在图1中，过点作直线将四边形的面积平分；
(2) 在图2中，，作的平分线．
23.(本小题10分)
如图，在菱形中，对角线交于点O，，，连接，交于点F．
(1) 求证：四边形是矩形；
(2) 若，，求菱形的面积．
24.(本小题12分)
综合阅读与实践跨学科探究：体育课上进行排球发球测试，已知排球发出后不计空气阻力时，距离地面的高度（单位：）与运动时间（单位：）满足函数关系，水平方向运动速度恒为．我们可以利用配方法结合完全平方式的非负性解决该场景下的最值问题，阅读以下材料完成题目：我们把多项式，叫做完全平方式，完全平方式具有非负性（即恒成立），因此可以将多项式部分因式分解为平方的形式，求解代数式的最大值或最小值．例如：，，，当时，该式取得最小值3．
(1) 知识再现：若将排球重力势能表达式标准化后为（单位为，为运动时间，单位为），当 时，的最小值为 ；
(2) 知识运用：求当排球运动几秒时，距离地面的高度最大，最大高度是多少？
(3) 知识拓展：若考虑空气阻力，排球的机械能（单位：）与运动时间满足关系式，求的最大值．
25.(本小题10分)
已知正方形，点是射线上一动点（不与、重合），连接并延长交直线于点，交于点，连接，过点作交直线于点．
(1) 若点 F在边上，如图1．
①证明：；
②猜想线段与的关系，并说明理由；
(2) 取中点，连结，若，正方形边长为8，求的长．
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】②①③
10.【答案】
11.【答案】8
12.【答案】等腰
13.【答案】2
14.【答案】∠BED=90°（答案不唯一）
15.【答案】
16.【答案】2
17.【答案】【小题1】
解：原式；
【小题2】
解：原式；
【小题3】
解：原式．

18.【答案】【小题1】
解：；
【小题2】
解：
．

19.【答案】【小题1】
13
【小题2】
证明：
n为整数，
也为整数，且是4的倍数
是4的倍数

20.【答案】【小题1】

【小题2】

【小题3】
解：设封闭图形的面积为，
根据题意得：，
解得：，
答：封闭图形的面积为平方米．

21.【答案】证明：连接AE、CF，

∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
又∵DF=BE，
∴AF=CE，
又∵AF∥CE，
∴四边形AECF为平行四边形，
∴AC、EF互相平分.
22.【答案】【小题1】
解：如图1，直线即为所作
【小题2】
解：如图2，射线即为所作

23.【答案】【小题1】
证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵在菱形中，，
∴，
∴四边形是矩形；
【小题2】
解：∵，四边形是矩形，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∴，
由勾股定理得，
∴，，
∴菱形的面积．

24.【答案】【小题1】

3
【小题2】
解：，
∵，
∴，
当且仅当时，等号成立，即当时，取得最大值为，
即当排球运动秒时，距离地面的高度最大，最大高度是米；
【小题3】
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
当且仅当时，等号成立，即当时，取得最大值为

25.【答案】【小题1】
证明：①四边形是正方形，
，，
在和中，
，
，
；
②结论：，理由如下：
，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
；
【小题2】
①如图1，当点在线段上时，连接．

，，，
，
，
，，
，
在中，，
；
②如图2，当点在线段的延长线上时，连接．

同法可知是的中位线，
，
在中，，
，
综上所述，的长为或．

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