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2025-2026学年山东省烟台市开发区八年级（下）期中数学试卷（五四学制）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列计算正确的是（　　）
A. B. C. a3 （-a）2=a4 D. （-a2）3=a6
2.如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与 A1B1C1相似的是（　　）
A. B. C. D.
3.已知1＜a＜3，那么化简代数式-的结果是（　　）
A. 5-2a B. 2a-5 C. -3 D. 3
4.如图，要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为12m的墙（图中阴影部分），另外三边用25m长的篱笆围成.为方便进出，在垂直于墙的一边留一个1m宽的木板门，设花圃与墙垂直的一边长为x m,若花圃的面积为80m2，所列方程正确的是（　　）
A. x（26-2x）=80 B. x（24-2x）=80
C. （x-1）（26-2x）=80 D. （x-1）（25-2x）=80
5.某商品连续两次降价，每次都降20%后的价格为m元，则原价是（　　）
A. 元 B. 1.2m元 C. 元 D. 0.82m元
6.一个不完整的算式“”，先在①处填上一种运算符号（在“+”“-”“×”或“÷”中选择），再在括号内的②处填上一个实数，使其运算结果为有理数，其中不符合要求的一组搭配是（　　）
A. × B. C. D.
7.若关于x的一元二次方程ax2+bx+2=0（a≠0）有一根为x=2022，则一元二次方程a（x-1）2+bx-b=-2必有一根为（　　）
A. 2020 B. 2021 C. 2022 D. 2023
8.如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，∠ACD＝∠B，若AD＝2BD，BC＝6，则线段CD的长为（ ）
A. 2 B. 3 C. 2 D. 5
9.已知关于x的一元二次方程x2+2x+m-2=0有两个实数根，m为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数m的和为（ ）
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
10.如图，菱形ABCD的边长为6，∠ADC=60°，过点D作DE⊥AB，交BA的延长线于点E，连接CE分别交BD，AD于点G，F，则FG的长为（　　）
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.已知x=+，那么x2-2x的值是 ．
12.已知关于x的一元二次方程（a+1）x2-2x+a2+a=0有一个根为x=0，则a的值为 .
13.如图，点C在∠AOB的内部，∠OCA=∠OCB，∠OCA与∠AOB互补．若AC=1.5，BC=2，则OC= ．
14.方程x2-2024x-2025=0的两个根分别是m、n,则（m2-2023m-2026）（n2-2023n-2026）= .
15.已知y=-x+5，当x分别取1，2，3，…，2020时，所对应y值的总和是 ．
16.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=16cm，AD为BC边上的高．动点P从点A出发，沿A→D方向以cm/s的速度向点D运动．设△ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，运动时间为t秒（0＜t＜8），则t=______秒时，S1=2S2．

三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题9分)
计算：
（1）×（2）；
（2）.
18.(本小题9分)
用适当的方法解下列方程：
（1）（2x-1）2=（2-x）2；
（2）4x2+11x-3=0；
（3）（x-4）2+（4x-3）2=（3x+1）2.
19.(本小题9分)
如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上且AE AB=AD AC，连接DE，BD.
（1）求证：△ADE∽△ABC.
（2）若点E为AB中点，AD：AE=6：5，若AB=20，求CD的长.
20.(本小题9分)
因为，即2，所以的整数部分为2，小数部分为（）.
（1）如果的整数部分为a,那a=______.如果，其中b是整数，且0＜c＜1，那么b=______，c=______.
（2）将（1）中的a、b作为直角三角形的两条边长，请你计算第三边的长度.
21.(本小题9分)
已知关于x的一元二次方程x2+（m-3）x-m+2=0．
（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个实数根；
（2）若等腰三角形一腰长为5，另外两边长度为该方程的两根，求等腰三角形的周长；
（3）若x1，x2是原方程的两根，且（x1-x2）2+2m+3=0，求m的值．
22.(本小题9分)
“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高.某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人.
（1）求该市参加健身运动人数的年均增长率；
（2）为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套装健身器材.该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元.但最低售价不得少于1000元.已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数.
23.(本小题9分)
（1）问题：如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°，求证：；
（2）探究：如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由．
（3）应用：请利用（1）（2）获得的经验解决问题：
如图3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5，点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出发，沿边AB向点B运动，且满足∠CPD=∠A，设点P的运动时间为t（秒），当DC=4BC时，求t的值．
24.(本小题9分)
如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm,AC=8cm.如果点P由B出发沿BA方向点A匀速运动，同时点Q从A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s.连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（0＜t＜4）解答下列问题：
（1）当t为何值时，△APQ与△ABC相似；
（2）是否存在某时刻，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由.
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】B
10.【答案】B
11.【答案】4
12.【答案】0
13.【答案】
14.【答案】-4048
15.【答案】2032
16.【答案】6
17.【答案】3 2-5
18.【答案】x1=1，x2=-1
19.【答案】证明：∵AE AB=AD AC，
∴，
又∵∠DAE=∠CAB，
∴△ADE∽△ABC；

20.【答案】5 4 -1
21.【答案】（1）证明：∵Δ=（m-3）2-4（-m+2）
=（m-1）2，
∵无论m取何值，（m-1）2≥0，
∴原方程总有两个实数根；
（2）解：∵等腰三角形一腰长为5，
∴等腰三角形另一腰长也为5，
∵两边长度为该方程的两根，
∴x=5是原方程的解，
由x2+（m-3）x-m+2=0得：52+（m-3）×5-m+2=0，
解得：m=-3，
原方程为x2-6x+5=0，
设x1，x2是原方程的两根，因此x1+x2=6，
则等腰三角形的周长为6+5=11；
（3）解：∵（x1-x2）2+2m+3=0，
∴（x1+x2）2-4x1x2+2m+3=0，
∵x1，x2是原方程的两根，
∴x1+x2=-（m+3），x1x2=-m+2，
∴[-（m+3）]2-4（-m+2）+2m+3=0，
解得m1=-8-2，m2=-8+2．
22.【答案】（1）25% （2）200套
23.【答案】解：（1）如图1，
∵∠DPC=∠A=∠B=90°，
∴∠ADP+∠APD=90°，
∠BPC+∠APD=90°，
∴∠ADP=∠BPC，
∴△ADP∽△BPC，
∴=，
∴；
（2）结论仍然成立．
理由：如图2，
∵∠BPD=∠DPC+∠BPC，∠BPD=∠A+∠ADP，
∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠ADP．
∵∠DPC=∠A=∠B=θ，
∴∠BPC=∠ADP，
∴△ADP∽△BPC，
∴=，
∴；
（3）如图3，
由题意可得：AP=t，BP=AB-AP=6-t,
∵DC=4BC，AD=BD=5，
∴DC=4，BC=1，
，由（1）、（2）的经验可知，
∴5×1=t（6-t），
解得：t1=1，t2=5，
∴t的值为1秒或5秒．
24.【答案】或 不存在某时刻，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分；理由如下：
假设存在某时刻，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分，
在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC=8cm，
由勾股定理得：，
如图，过P作PD⊥AC于点D，则PD∥BC，
∴△APD∽△ABC，
∴，即，
解得：，
∴，
∵线段PQ恰好把△ABC的面积平分，，
∴，即t2-5t+10=0，
此时Δ=（-5）2-4×1×10=-15＜0，
此方程无解，
∴不存在某时刻，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分
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