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福建宁德市福安市第六中学等校2025-2026学年第二学期阶段性训练高二数学
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知向量，则（ ）
A. B. C. D.
2.下列函数求导运算不正确的是（）
A. B. C. D.
3.已知，，则（ ）．
A. (0,34,10)　　　　　 B. (-3,19,7)
C. 44 D. 23
4.已知直线所在方向向量为，平面的一个法向量为，则直线和平面的位置关系是（ ）
A. 平行 B. 垂直 C. 相交但不垂直 D. 在面内或平行
5.函数（其中为自然对数的底数）的导函数的大致图像是（ ）
A. B.
C. D.
6.已知曲线在点处的切线斜率为，则实数的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7.下列命题正确的是（）
A. 若向量满足，则向量的夹角是钝角
B. 若向量是非零向量，则向量组是空间的一个基底
C. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线与平面所成角的余弦值为
D. 已知向量，则向量在向量上的投影向量是
8.已知的定义域是，是的导数，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知空间向量，则下列选项中正确的是（ ）
A. 当时， B. 当时，
C. 当时， D. 当时，
10.如图，在三棱柱中，底面为等边三角形，为的重心，，若，则（ ）
A. B.
C. D.
11.已知函数，则下列结论正确的是（）
A. 在定义域上单调递增 B. 有且仅有一个极小值点
C. 恒成立 D. 的图像关于点中心对称
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则的中点关于平面的对称点的坐标是
13.函数的极小值为 .
14.如图，在棱长为1的正方体中，，，若平面，则线段的长度的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数.
(1)求函数的极值；
(2)求函数在上的最值.
16.(本小题15分)
如图，正四棱柱中，为的中点，在线段上，为的中点.
(1)证明：；
(2)证明：平面.
17.(本小题15分)
已知函数的极值点分别为和.
(1)求函数的解析式，以及在处的切线方程；
(2)求的单调区间.
18.(本小题17分)
在四棱锥中，底面是矩形且，侧面是正三角形且垂直于底面在边内，且为的中点，求：
(1)点到平面的距离；
(2)二面角的余弦值.
19.(本小题17分)
已知（为自然对数底数，）.
(1)若在上单调递减，求的取值范围；
(2)若，当时，求证：在上恒成立；
(3)若存在两个极值点，求证：.
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】AC
10.【答案】ABD
11.【答案】BC
12.【答案】
13.【答案】 /
14.【答案】
15.【答案】解：（1）函数的定义域是
又，
令，得，令，得
故函数的单调递增区间为，单调递减区间为
所以函数的极小值为，无极大值；
（2）由（1）可知，在上单调递减，在上单调递增，
所以
又因为
所以函数在上的最大值为0，即
综上所述，函数在上的最大值为0，最小值为.

16.【答案】解：（1）如图，以D为原点，AD所在直线为轴，DC所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，
，
，
所以，
所以.
（2）方法一：
由（1）知，，
设平面的一个法向量为，
由且，
得，
令得，
所以，
可得：，
所以：平面.
方法二：
由（1）可知：，
有，
所以，
因为平面，平面，且，
所以平面.

17.【答案】解：（1），
由题意，有，
解得：，
检验：当时，，，
令得或，令得，
所以的增区间为，减区间为，
故和是函数的极值点，符合题意；
所以，则，，
即切点为，切线斜率为，
所以处的切线方程为，
整理得：；
（2）由（1）可得增区间为，减区间为.

18.【答案】解：（1）因为是正三角形，为的中点，
所以，又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
以为原点，为轴正方向，如图建立空间直角坐标系，
则
所以
设平面的法向量为.
则
令，则，所以
因为，所以点到平面的距离
（2）因为平面，所以是平面的一个法向量，
由于平面的法向量为，
设二面角的平面角为，
所以，
所以二面角的余弦值为.

19.【答案】解：（1）
由在上单调递减，则恒成立
方法一：
令，则
令得
0
极小值
所以函数在区间上单调递减，在区间单调递增，
方法二：令，则
令，得；令，得.
故在单调递增，在单调递减.
则
则.
（2）当时，，令，则
令得或（负值舍去）
0
极小值
函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
，即
（3）由存在两个极值点，
结合（1）知时时
则且为的两根，.
有，则.
则
记，则.
因为，即，所以，所以，所以

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