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安徽六安市独山中学2025-2026学年高二下学期4月月考数学试题
一、单选题
1．在等差数列{an}中，已知a1＝2，a2+a3＝13，则a4+a5+a6等于（ ）
A．40 B．42 C．43 D．45
2．记为等比数列的前n项和.若，，则（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
3．函数的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）

A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
4．函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．设，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．记为等比数列的前n项和，若，，则（ ）．
A．120 B．85 C． D．
7．函数存在3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．函数在下列区间上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．下列求导正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．在上单调递减
B．的极大值为2
C．有三个零点
D．曲线在处的切线斜率为
11．记为等比数列的前n项和，为的公比，若，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．已知等差数列的首项，公差，则该数列的前6项和为_________．
13．曲线在点处的切线方程为__________．
14．曲线在点处的切线方程为__________．
四、解答题
15．求下列函数的导数：
（1）
（2）
16．已知等差数列满足，前7项和为
（Ⅰ）求的通项公式
（Ⅱ）设数列满足，求的前项和.
17．设数列的前n项和为
(1)若数列是公比为2的等比数列，且是与的等差中项，求的通项公式及；
(2)若.求数列的通项公式；
18．已知是实数，函数.
（Ⅰ）若，求的值及曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求在区间[0，2]上的最大值．
19．已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若曲线上两点A、B处的切线都与y轴垂直，且线段与x轴有公共点，求实数a的取值范围．
参考答案
1．B
【详解】设等差数列的公差为，
因为，，所以，
则.
故选：B.
2．A
【详解】∵为等比数列的前n项和，，
∴，，成等比数列
∴，
∴，
∴.
故选：A.
3．A
【详解】由图象可知，
有两个不相等的正实数根，且在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以，
综上：，，，.
故选：A
4．A
【详解】从图形中可以看出，在开区间内有个零点，，
在处的两边左正、右负，取得极大值；
在处的两边左负、右正，取值极小值；
在处的两边都为正，没有极值；
在处的两边左正、右负，取值极大值．
因此函数在开区间内的极小值点只有一个．
故选：A．
5．B
【详解】由，得，
故由，得，
故选：B
6．C
【详解】方法一：设等比数列的公比为，首项为，
若，则，与题意不符，所以；
若，则，与题意不符，所以；
由，可得，，①，
由①可得，，解得：，
所以．
故选：C．
方法二：设等比数列的公比为，
因为，，所以，否则，
从而，成等比数列，
所以有，，解得：或，
当时，，即为，
易知，，即；
当时，，
与矛盾，舍去．
故选：C．
7．B
【详解】，则，
若要存在3个零点，则要存在极大值和极小值，则，
令，解得或，
且当时，，
当，，
上单调递增，
在上单调递减，
故的极大值为，极小值为，
若要存在3个零点，则，即，解得，
故选：B.
8．B
【详解】由，则，
对于选项A，当时，，此时，
当时，，此时，
所以该函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以该函数在区间上不是单调递增，故A错误；
对于选项B，当时，，此时，
所以该函数在区间上单调递增，故B正确；
对于选项C，当时，，此时，
当时，，此时，
所以该函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以该函数在区间上不是单调递增，故C错误；
对于选项D，当时，，此时，
所以该函数在区间上单调递减，故D错误．
故选：B．
9．AD
【详解】对A：若，则，故A正确；
对B：若，则，故B错误；
对C：若，则，故C错误；
对D：若，则
，故D正确.
10．ABCD
【详解】由题设，则，D对，
当或时，，当时，，
所以在、上单调递增，在上单调递减，A对，
所以极大值为，极小值为，时，时，
所以在、、上各有一个零点，共有3个零点，B、C对.
故选：ABCD
11．AD
【详解】对A，由题意得，结合，解得或（舍去），故A正确；
对B，则，故B错误；
对C，，故C错误；
对D，，，
则，故D正确；
故选：AD.
12．
【详解】根据等差数列的求和公式，.
故答案为：
13．
【详解】由，得，
则曲线在点处的切线的斜率为，
则所求切线方程为，即.
14．
【详解】
15．（1）；（2）.
【详解】（1）令，，则，
而，，故.
（2）令，，则，
而，，故，
化简得到.
【点睛】本题考查复合函数的导数，此类问题一般是先把函数分解为简单函数的复合，再根据复合函数的求导法则可得所求的导数，本题属于容易题.
16．(1)
(2) .
解析：
（Ⅰ）由，得
因为所以
（Ⅱ）
17．(1)，
(2)
【详解】（1）设数列是公比为，
因为是与的等差中项，
则，即，
又因为，则，解得，
所以，.
（2）因为，
当时，，则.
当时，，
两式相减得，即，
可知是首项为1，公比为2的等比数列，
所以.
18．（Ⅰ），(Ⅱ)
【详解】本题主要考查基本性质、导数的应用等基础知识，以及综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力．满分15分．
（I）．
因为，
所以 ．
又当时，，
所以曲线处的切线方程为 ．
（II）解：令，解得．
当，即a≤0时，在[0，2]上单调递增，从而
．
当时，即a≥3时，在[0，2]上单调递减，从而
．
当，即，在上单调递减，在上单调递增，从而
综上所述，
19．(1)见解析；
(2).
【详解】（1）由题意得，，
令，得或，
①当时，当或时，，当时，，
所以在或上递增，在上递减，
②当时，当或时，，当时，，
所以在或上递减，在上递增，
综上，当时，在和上递增，在上递减；当时，在和上递减，在上递增；
（2）由（1）可知曲线上的两点的纵坐标为函数的极值，
且函数在，处分别取得极值，
，
因为线段与x轴有公共点，
所以，
所以，
，
所以，且，
解得或，
所以实数a的取值范围为.

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