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四川省成都市2026届高三三诊数学试题
本卷满分150分，练习时间120分钟。
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在本卷上答题无效。
5.定时练习结束后，只将答题卡交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合A={0,1,2},B={x|2 ＜3},则A∩B=
A. {0} B. {1} C. {0,1} D. {0,1,2}
2. 若复数z满足z(1+i)=2,则|z|=
A. B. C. 1 D. 2
3. 已知点 为函数f(x)= cos(ωx+φ)图象上的两个相邻对称中心,则f(x)的最小正周期为
A. B. π C. D. 2π
4. 某校高三年级有男生300人，女生200人，按性别进行分层，用分层抽样的方法从该校全体高三学生中抽取一个容量为100的样本，如果样本按比例分配，得到男生、女生的平均身高分别为175 cm和165 cm，则估计该校高三年级学生的平均身高为
A. 169 cm B. 170 cm C. 171 cm D. 172 cm
5.已知数列{an}满足 则a =
A. B. C. D.
6. 若圆C过点M(0，2)，且与x轴相切，则圆心C的轨迹方程为
7. 已知 则cos2α=
A. B. C. D.
8.若函数 在区间(-7，7)上有最大值，则正整数m的值有
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 已知平面向量a=(1,1),b=(1,-1),则
A. |a+b|=2 B. (a+b)⊥(a-b)
C. (2a+b)∥(a-2b) D.
10.已知双曲线 的左、右焦点分别为 F ，F ，P为双曲线上一点，若A(3,2),B(2,3),C(-2,3),D(-2,-3)中有且仅有3个点在双曲线上,则
A. 双曲线的渐近线斜率为± B.
C. △BDF 的面积为6 D. 的最小值为
11.若定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(x+4)=0,f(2x+2)是偶函数,f(1)=1,则
A. f(-3)=-1
B. f(x)是奇函数
C. f(x)的图象关于直线x=1对称
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知a,b,c成等比数列,且a＜b＜c,若a+b+c=14, abc=64,则a= .
13.已知圆台的底面半径分别为1和2，高为 ，底面圆周均在球O的球面上，则球O的表面积为 .
14.已知集合A={1,2,3,4,5},B={1,2,3,4},若函数 f:A→B 满足: 都有 则符合条件的函数共有 个.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(本小题满分13分)
在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a cosB+b cosA=2ccosC.
(1)求C;
(2)若 求△ABC 的面积.
16.(本小题满分15分)
2025年，我国能源安全保障能力再上新台阶，全口径发电量占全球总发电量的30.4%，稳居世界第一，为智能算力的爆发性电力需求持续提供稳定保障.某学习小组收集了2021年至2025年我国全口径发电量相关数据，根据数据制作了如下数据表格和散点图.
年 份 2021 2022 2023 2024 2025
年份代码x 1 2 3 4 5
我国全口径发电量y (单位：万亿千瓦时) 8.52 8.85 9.46 10.09 10.58
(1)由散点图看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明；
(2)建立y关于x的经验回归方程，并预测2026年我国全口径发电量.
参考数据：
参考公式：回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
相关系数
17.(本小题满分15分)
如图,在菱形 ABCD 中,∠BAD=60°,AB=2,将△ABC 沿AC 翻折至 连接PD,PB 构成四棱锥P-ABCD.
(1)证明:AC⊥平面 PBD;
(2)若二面角 P-AC-B 的余弦值为
①求 PB 的长;
②设 P 在平面ABCD 上的射影为Q,直线CQ与AD 交于E点,F 为PB 的中点,证明:EF∥平面 PCD.
18.(本小题满分17分)
已知椭圆 的左焦点为 F.
(1)求C 的离心率;
(2)P(x ,y )(y ≠0)为C上一点,C在P 处的切线为l.
①证明：l的方程为
②设C的右顶点为A,l交直线m:x=2于点Q,PA与FQ交于点R,O为坐标原点,求|OR|的最小值.
19. (本小题满分17分)
设函数 f(x)= sinx.
(1)当x＞0时,证明:f(x)＜x;
(2)已知函数 在区间(0，)内存在极值点α.
①求k 的取值范围；
②是否存在β∈(0,π),使g(β)=0 若存在,比较β与2α的大小;若不存在,请说明理由.
数学试题参考答案及评分意见
一、选择题：(每小题5分，共40分)
1. C; 2. B; 3. B; 4. C; 5. C; 6. D; 7. A; 8. C.
二、选择题：(每小题6分，共18分)
9. ABD; 10. ACD; 11. ABD.
三、填空题：(每小题5分，共15分)
12.2; 13.16π; 14. 454.
四、解答题：(共77分)
15. 解:(1)由正弦定理a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,
且acosB+bcosA=2ccosC,
所以 sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC. 3分
即 sin(A+B)=2sinCcosC,由于 sin(A+B)=sinC＞0,
故 因为C∈(0,π),所以 6 分
(2)由(1)知: 因为 由余弦定理得
9分
即b =1,b=1,故a=2b=2. 11分
所以△ABC的面积 13 分
16. 解:(1)由题知
). 2分
4分
所以 7分
因为y与x的相关系数近似为0.99，说明y与x的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与x的关系. 8分
10分
=9.5-0.536×3=7.892. 12分
所以y关于x的回归方程为 13分
将2026年对应的年份代码x=6代入回归方程得y=0.536×6+7.892=11.108(万亿千瓦时).
所以预测2026年全国全口径发电量为11.108万亿千瓦时. 15分
17.解:(1)连接BD交AC 于点O,因为四边形ABCD 为菱形,所以对角线AC⊥BD,故AC⊥OB,AC⊥OP. 2分
又因为OB,OP 平面 PBD,OB∩OP=O,所以AC⊥平面 PBD; 4分
(2)①由(1)知,AC⊥OB,AC⊥OP,OB 平面ABC,OP 平面 PAC,
故二面角 P-AC-B 的平面角为∠POB,故 6分
因为在菱形ABCD 中,∠BAD=60°,AB=2,OB=1,所以在△BOP 中,OB=1,OP=1.
故 即 8分
②由①知,AC⊥平面BDP,因为AC 平面ABCD,所以平面ABCD⊥平面BDP,又因为 P 在平面ABCD 上的射影为Q,平面ABCD∩平面BDP=BD,所以Q∈BD.
10分
由①知， 故OQ= 从而
又因为△CQB 与△EQD 相似,所以 DE 即 E 为AD 的中点.
……12分
又因为O为BD的中点,所以OE∥CD;又因为CD 平面 PCD,OE 平面 PCD,所以OE∥平面 PCD.
因为 F为PB的中点,所以OF∥PD;又因为 PD 平面 PCD,OF 平面 PCD,所以OF∥平面 PCD. 14分
由于OE,OF 平面OEF,OE∩OF=O,故平面OEF∥平面 PCD,因为EF 平面OEF,所以EF∥平面 PCD. 15分
18.解:(1)由椭圆 知 2分
故 所以C 的离心率 3分
(2)由 P∈C,得 所以 P 满足方程 5分
联立 得
即
即
由 即 8分
因为
所以l为C在P 处的切线. 10分
②由①知，l的方程为 当x=2时 12分
由于 F(-1,0),故直线 FQ 的斜率
由于A(2,0),故直线 AP 的斜率
所以
设R(x,y),则
化简得 R 的轨迹方程为 14分
16分
所以当 即 或 时，
|OR|取得最小值 17分
19.解:(1)设函数h(x)= sinx-x,x∈(0,+∞), 1分
则 故h(x)在(0,+∞)上单调递减. 2分
所以h(x)＜h(0)=0,即当x∈(0,+∞)时,f(x)= sinx＜x. 3分
(2)①因为 所以 4分
当k≤0时, 在 上恒成立，故g(x)在区间( 上单调递减，所以g(x)无极值; 5分
当k＞0时,令 则
在 上恒成立,故τ(x)在 上单调递减.
若0＜k≤2,τ(x)＜τ(0)=k-2≤0,即 g'(x)＜0,故g(x)在区间( 上单调递减，所以g(x)无极值； 7分
若k＞2,因为 所以存在 使得τ(α)=0,且当x∈(0,α)时, g(x)在区间(0,α)上单调递增;当 时， g(x)在区间( 上单调递减.故g(x)在x=α处取得极大值，无极小值. 9分
综上所述，k的取值范围是(2，+∞). 10分
②由①知,k＞2,且g(x)在区间(0,α)上单调递增,在区间( 上单调递减.
当 时， 故g(x)在[α,π)上单调递减.
11分
因为
由零点存在定理知，存在唯一β∈(0，π)，使g(β)=0. 12分
由 得
所以 13分
由(1)知,sinα＜α,且 故 14分
令 则
故m(x)在(0,π/2)上单调递减,从而m(x)＜m(0)=0,即
15分
令 则 故n(x)在( 上单调递增,所以n(x)＞n(0)=0,即(
16分
故g(2α)＜0=g(β).由于g(x)在[α,π)上单调递减,所以β＜2α. 17分

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