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湖北省武汉市2026届高三年级四月供题数学试题
本卷共4页，19题，全卷满分150分。用时120分钟。
注意事项：
1.选择题的作答：每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
2.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1.若a,b为实数,且 则a+b=
A. 7 B. 5 C. -5 D. -7
2.若集合A={x|log2x<2},B={x|x2-2x-3≤0},则A∩B=
A. (0,3] B. (0,3) C. [-1,3] D. [-1,3)
3.在△ABC中,若AB=8,AC=5,BC=7,则cosC=
A. 0 B. C. D.
4.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知A(2,0),B(0,1)是两定点,OC⊥AB于C,且 则λ-μ=
A. -1 B. - C. D. 1
5.某科技馆“人造太阳”模型外观为圆台形，上底面半径为0.8m，下底面半径为1.2m，圆台母线长为1.5m，模型外侧面需要喷漆，则喷漆面积为
A.
C. D.
6.在 的展开式中，含x 项的系数为
A. 240 B. -240 C. 80 D. -80
7.在科技下乡的大趋势下，某果园使用一种智能水果分选机筛选某种水果，将该种水果分为大果和小果两类，该分选机把大果错误筛选为小果以及把小果错误筛选为大果的概率均为0.1，经过分选机筛选分类之后大果所占比例为0.58，则可推测该果园中这种水果里的大果所占的真实比例为
A. 0.55 B. 0.6 C. 0.65 D. 0.7
8.若数列{an}中, 则
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分.
9.某工厂生产的零件质量指标X~N(μ,σ ).从生产的众多零件中随机抽取 n个零件，其中次品数Y~B(n，p)，则
A. 当P(X≤μ-a)=P(X≥μ+a)
B.
C. P(Y=k)=P(Y=n-k)(其中k=0,1,2,…,n)
D. 当 时，
10.已知函数 则
A. x=1是f(x)的极小值点 B. 当1＜x＜2时,
C. 当0＜x＜1时,f(x)＜f(2x) D. 当-1＜x＜0时,f(x)＞f(4-x)
11.已知曲线 则
A. 曲线 C上任一点到原点的距离的最小值为
B. 曲线 C恰有八条对称轴
C. 过点(0，1)的任意一条直线与曲线C的公共点个数均为偶数
D. 曲线 C所围成的封闭图形的面积S满足2π＜S＜8
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知数列 为公比为3的等比数列，且 则
13.已知双曲线 （a＞b＞0）右焦点 F 也是抛物线 的焦点，两曲线在第一象限的公共点为M，且MF垂直于x轴，则双曲线的离心率为 .
14.在三棱椎P-ABC中,直线BC⊥平面PAB,BC=2AB=2,∠APB=60°.设直线PC 与平面PAB 所成的角为θ,则 tanθ的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)
已知函数 的图象关于点 中心对称.
(1)求m,n;
(2)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若 且 求角 C.
16.(15分)
如图三棱锥A-BCD中,AB=BC=CA=2,平面DAB⊥平面ABC,平面DAC⊥平面ABC.
(1)证明:DA⊥平面ABC;
(2)若二面角A-CD-B的正切值为2,求三棱锥A-BCD 的体积.
17.(15分)
已知函数 其中a≥0.
(1)当a=0时,
(i)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(ii)求函数f(x)的单调区间;
(2)若f(x)≥0,求a的取值范围.
18.(17分)
在平面直角坐标系xOy中，A(-2，0)，B(2，0)是两定点，动点T与A、B连线的斜率之积为
(1)求动点T的轨迹方程；
(2)过点F(1,0)的直线l与T的轨迹相交于点P,Q,直线AP,AQ与直线x=4分别交于点 M,N.
(i)证明:MF⊥NF;
(ii)记△PFM,△QFN,△MFN的面积分别为S ,S ,S ,且 求直线l的方程.
19.(17分)
某气象观测网在沿海某干线上部署了n(n≥3，n∈Z)个自动气象站，按照自南向北依次编号为1，2，…，n.为测试数据回传系统，控制中心下发了两次数据抽取指令.每次指令均从这n个气象站中随机选中一个作为目标(每次指令的目标相互独立).记第一次指令选中的气象站的编号为X，第二次指令选中的气象站编号为Y.
(1)若两次指令选中同一个气象站，则会引发“数据重载”；若第一次指令选中的气象站位于第二次指令选中气象站的南侧，则称为“顺向传输”.请分别计算触发“数据重载”与“顺向传输”的概率；
(2)为评估两次指令在整条观测线上的空间分布情况，将X与Y中的较大值记为U(即相对偏北的站点编号)，将X与Y中的较小值记为V(即相对偏南的站点编号).
(i)记两次指令的选中编号之和为S，即S=U+V，求E(S)；
(ii)定义两次指令的空间跨度D=U-V，证明：
(参考公式：
武汉市2026届高三年级四月模拟训练试题
数学试卷参考答案及评分标准
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A A B B C D B D ABD AD ABD
12.729 14.
15.解:(1)由题f(x)=sin x+cos x+msin4x+n=(sin x+cos x) -2sin xcos x+msin4x+n
又且函数f(x)的图象关于点 中心对称.所以
(2) 由(1) 知
又 所以 即 sinA+sinBcosA = sinAcosB+ cosAsinB,所以 又sinA≠0, 所以( 又B∈(0,π),所以
又ff(A)= sin(4A+π/3)=-
又 所以 所以 或 π/ ,
或π/3, 又 所以 或π/3 13 分
16.(1) 证明: 在△ABC内任取一点P, 过点P作PM⊥AC于M,因为平面DAC⊥平面ABC,平面DACn平面 ABC=AC,所以PM⊥平面DAC,又 DA 平面DAC,所以PM⊥DA.
过P作PN⊥AB 于N, 同理可得 PN⊥DA. ,又 PM 平面 ABC,PN 平面 ABC,PM∩PN=P所以DA⊥平面ABC.
(2)解: 过点B 做BE⊥AC于 E, 由平面DAC⊥平面ABC,平面DAC∩平面ABC=AC知BE⊥平面DAC.
又DC 平面DAC,所以 BE⊥DC
再过点E作EH⊥DC于H,连接BH,则CD⊥平面BEH,所以∠BHE即二面角 A-CD-B 的平面角.
所以tan∠BHE =2
又AB=BC=CA=2,所以 又 BE= EH·tan∠BHE = 2EH, 所以.
又Rt△EHC 中, EC=1, 所以 所以
所以三棱锥A-BCD的体积 15分
17.解:(1)当a=0时, f(x)= xlnx, f'(x)=1+ lnx
(i)因f'(1)=1, f(1)=0,所以切线方程为y=x-1. 3分
(ii)又由f'(x)＞0得 由f'(x)＜0得 所以f(x)在(0, )上单调递减，在( 上单调递增. …………………………………………………………………7分
(2)当a=0时, 不满足题意.
所以a＞0，此时
显然f'(x)是(0,+∞)上的增函数,且x→0时, f'(x)→-∞; x→+∞时, f'(x)→+∞
所以存在唯一正实数x 使得. 即
此时f(x)在(0,x )递减,在(x ,+∞)递增.
由题意
将 代入上式整理得： 解得：
此时 代入后
化简得： 解得：
代入 令g(x)=(1+ lnx)x,其中
g'(x)=2+ lnx＞0,所以g(x)是区间 上的增函数.
所以 代入得到a的取值范围是 15分
18.解: (1)设点T(x,y),由 知， 化简得 所以动点T的轨迹方程为 3分
(2)(i)可设直线l方程为x= ty+1,点P(x ,y ), Q(x ,y )
联立 得， 则
又直线AP、AQ方程分别为
分别与x=4联立，得
所以, FM⊥FN. 9分
(ii)先证明：在任意三角形OST中，若
三角形OST 的面积S
由(i)知
同理
又
由 知， 解得
所以直线l 的方程为 或者 17分
19.(1)根据题意，X与Y均服从集合{1，2，…，n}上的离散型均匀分布.由于两次指令独立且等概率随机选择，因此组合(X，Y)的所有可能结果共有 种，且每种结果发生的概率相同.设事件A为“数据重载”,即X=Y。此时(X,Y)可以是(1,1),(2,2),…,(n,n),共n种情况.
故
设事件B为“顺向传输”，即X＜Y。在n 种总情况中，除去X=Y的n种情况，剩下的 种情况分布在X＜Y与X＞Y两个对立且对称的事件中.由对称性可知,包含的情况数均为. 4分
(2)(i)由于U= max(X,Y)且V= min(X,Y),对于任意一对实数,其最大值与最小值之和永远等于这两数之和，因此恒等式U+V=X+Y成立，即S=X+Y.根据题干中已知随机变量期望的线性可加性，有：E(S)=E(X+Y)=E(X)+E(Y).对于离散型均匀分布的随机变量X和Y，其可能的取值为1，2，…，n，对应的概率均为
故
因此， 10分
(ii)证明:依题意, D=U-V=|X-Y|。D所有可能的取值为0,1,2,…,n-1。当k=0时, D=0对应X=Y，概率为 .当k∈{1,2,…,n-1}时,满足|X-Y|=k的站点对(X,Y)有两类组合方式:
第一类X-Y=-k,此时(X,Y)为(1,1+k),(2,2+k),…,(n-k,n),共n-k种;
第二类X-Y=k,此时(X,Y)为(1+k,1),(2+k,2),…,(n,n-k),共n-k种;
即有2(n-k)种基本事件组合.所以，
而 因为n≥3且n∈Z,显然
所以， 17分

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