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2009-2010年度 禅城区南庄中学
——（北师大版）七年级数学下册
姓 名
班 别
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第一章《整式的运算》基本知识回顾
温馨提示：本资料中 ※ 表示重点部分；
一、整式的概念： ¤ 表示了解部分；◎ 表示仅供参阅部分。
※1、单项式
① 由数与字母的积组成的代数式叫做单项式。单独一个数或字母也是单项式。
② 单项式的系数是这个单项式的数字因数，作为单项式的系数，必须连同数字前面的性质符号，如果一个单项式只是字母的积，并非没有系数。
③ 一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。
※2、多项式
① 几个单项式的和叫做多项式。在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。其中，不含字母的项叫做常数项。一个多项式中，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。
② 单项式和多项式都有次数，含有字母的单项式有系数，多项式没有系数。多项式的每一项都是单项式，一个多项式的项数就是这个多项式作为加数的单项式的个数。多项式中每一项都有它们各自的次数，但是它们的次数不可能都作是为这个多项式的次数，一个多项式的次数只有一个，它是所含各项的次数中最高的那一项次数。
※3、整式单项式和多项式统称为整式。
二、整式的加减：
¤1. 整式的加减实质上就是去括号后，合并同类项，运算结果是一个多项式或是单项式.
¤2. 括号前面是“－”号，去括号时，括号内各项要变号，一个数与多项式相乘时，这个数与括号内各项都要相乘.
三、同底数幂的乘法
※同底数幂的乘法法则: (m，n都是正数)是幂的运算中最基本的法则，在应用法则运算时，要注意以下几点:
① 法则使用的前提条件是：幂的底数相同而且是相乘时，底数a可以是一个具体的数字式字母，也可以是一个单项或多项式；
② 指数是1时，不要误以为没有指数；
③ 不要将同底数幂的乘法与整式的加法相混淆，对乘法，只要底数相同指数就可以相加；而对于加法，不仅底数相同，还要求指数相同才能相加；
④ 当三个或三个以上同底数幂相乘时，法则可推广为（其中m、n、p均为正数）；
⑤ 公式还可以逆用：（m，n均为正整数）
四、幂的乘方与积的乘方
※1、幂的乘方法则：(m，n都是正数)是幂的乘法法则为基础推导出来的，但两者不能混淆。
※2、(m，n都是正数)。
※3、底数有负号时，运算时要注意，底数是a与(-a)时不是同底，但可以利用乘方法则化成同底，
如将（-a）3化成-a3
※4、底数有时形式不同，但可以化成相同。
※5、要注意区别（ab）n与（a+b）n意义是不同的，不要误以为（a、b均不为零）。
※6、积的乘方法则：积的乘方，等于把积每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即（n为正整数）。
※7、幂的乘方与积乘方法则均可逆向运用。
五、同底数幂的除法
※1、同底数幂的除法法则:同底数幂相除，底数不变，指数相减，即 (a≠0，m、n都是正数，且m>n).
※2、在应用时需要注意以下几点:
① 法则使用的前提条件是“同底数幂相除”而且0不能做除数，所以法则中a≠0。
② 任何不等于0的数的0次幂等于1，即，如，，注意无意义。
③ 任何不等于0的数的次幂(是正整数)，等于这个数的次幂的倒数，即(，是正整数)， 注意，都是无意义的;当时，的值一定是正的; 当时， 的值可能是正也可能是负的，如：，，，。
④ 运算要注意运算顺序。
六、整式的乘法
※1. 单项式乘法法则:单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。
单项式乘法法则在运用时要注意以下几点：
①积的系数等于各因式系数积，先确定符号，再计算绝对值。这时容易出现的错误的是，将系数相乘与指数相加混淆；
②相同字母相乘，运用同底数的乘法法则；
③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式；
④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用；
⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。
※2．单项式与多项式相乘
单项式乘以多项式，是通过乘法对加法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
单项式与多项式相乘时要注意以下几点：
① 单项式与多项式相乘，积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同；
② 运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号；
③ 在混合运算时，要注意运算顺序。
※3．多项式与多项式相乘
多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
多项式与多项式相乘时要注意以下几点：
① 多项式与多项式相乘要防止漏项，检查的方法是：在没有合并同类项之前，积的项数应等于原两个多项式项数的积；
② 多项式相乘的结果应注意合并同类项；
③ 对含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘，其二次项系数为1，一次项系数等于两个因式中常数项的和，常数项是两个因式中常数项的积。
例如：
对于一次项系数不为1的两个一次二项式和相乘可以得到
七、平方差公式
¤1、平方差公式：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差，
※即
¤其结构特征是：
①公式左边是两个二项式相乘，两个二项式中第一项相同，第二项互为相反数；
②公式右边是两项的平方差，即相同项的平方与相反项的平方之差。
八、完全平方公式
¤1、完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍，
¤即；¤口决：首平方，尾平方，2倍乘积在中央；
¤2、结构特征：
① 公式左边是二项式的完全平方；
② 公式右边共有三项，是二项式中二项的平方和，再加上或减去这两项乘积的2倍。
¤3 在运用完全平方公式时，要注意公式右边中间项的符号，以及避免出现这样的错误。
九、整式的除法
¤1、单项式除法单项式
单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式；
¤2、多项式除以单项式
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加，其特点是把多项式除以单项式转化成单项式除以单项式，所得商的项数与原多项式的项数相同，另外还要特别注意符号。
十、公式的常见变化
※完全平方公式的常见变形：
① ②
③ ④
¤平方差公式的常见变化：
① 位置变化：
② 符号变化：
③ 系数变化：
④ 指数变化：
⑤ 增项变化：
⑥ 连用变化：
⑦ 换式变化：
⑧ 逆向变化：
第二章《平行线与相交线》基本知识回顾
余角
余角补角
补角
　 　角 两线相交 对顶角
同位角
“三线八角” 内错角
同旁内角
平行线的判定
　平行线
平行线的性质
尺规作图
一、台球桌面上的角
※1、互为余角和互为补角的有关概念与性质
如果两个角的和为90°（或直角），那么这两个角互为余角；
如果两个角的和为180°（或平角），那么这两个角互为补角；
注意：这两个概念都是对于两个角而言的，而且两个概念强调的是两个角的数量关系，与两个角的相互位置没有关系。
它们的主要性质：同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等。
例：如图，∵ （平角定义）
（直角三角形两锐角互余）
∴ （等角的余角相等）
二、探索直线平行的条件
※“三线八角”：如图，直线a、b被直线l所截：
① ∠1与∠5在截线l的同侧，同在被截直线a、b的上方，
叫做 同位角 。（位置相同，形如字母“ F ”）
② ∠5与∠3在截线l的两旁（交错），在被截直线a、b的
之间（内），叫做 内错角 。（形如字母“ Z ”）
③ ∠4与∠5在截线l的同侧，在被截直线a、b的之间（内），
叫做 同旁内角 。（形如字母“ U ”）
※两条直线互相平行的条件即两条直线互相平行的判定定理，共有三条：
① 两直线平行，同位角相等。如图，∥，则
② 两直线平行，内错角相等。如图，∥，则
③ 两直线平行，同旁内角互补。如图，∥，则
※判断两条直线平行的特殊方法还有：
① 利用平行线的定义：没有公共点的两直线互相平行。
② 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行；
即若a∥b，b∥c，那么a∥c。（如右上图）
③ 如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行；
即若a⊥c，b⊥c，那么a∥b。（如右下图）
三、平行线的特征
※平行线的特征即平行线的性质定理，共有三条：
① 两直线平行，同位角相等。如图，，则∥
② 两直线平行，内错角相等。如图，，则∥
③ 两直线平行，同旁内角互补。如图，，则∥
四、用尺规作线段和角
※1、关于尺规作图
尺规作图是指只用圆规和没有刻度的直尺来作图。
※2、关于尺规的功能
直尺的功能是：在两点间连接一条线段；将线段向两方向延长。
圆规的功能是：以任意一点为圆心，任意长度为半径作一个圆；以任意一点为圆心，任意长度为半径画一段弧。
※用尺规可以：① 作一条线段等于已知线段；② 作一个角等于已知角。利用这两种基本作图可以作出两条线段的和或差，可以作出两个角的和或差。

第三章《生活中的数据》基本知识回顾
一、认识“百万分之一”有多小
百万分之一大小的数是客观存在的，这可借助我们熟悉的事物，从不同的角度进行感受。比如，世界第一高峰珠穆朗玛峰高度约8844米，它的海拨高度的百万分之一约为0.88cm，竟然事足一厘米；再如，天安门广场面积约44万平方米，它的百万分之一约为0.44m2，还不如你的课桌面积大呢。
为了表示“百万分之一”这样较小的数，原有的长度单位（米、分米、厘米、毫米）已经不够用了。为了方便，把百万分之一米（10-6米）称为1微米，比微米还小的长度单位是纳米。
¤即：1微米＝10-6米 1纳米＝10-9米
1毫米＝103微米 1微米＝103纳米 1米＝106微米＝109纳米
二、会用科学记数法表示绝对值较小的数
和七年级（上）学过的科学记数法类似，也可以把绝对值非常小的数写成 a×10-n 的形式，其中 1≤a＜10 （只有一位整数的数），n是小数点向右移动的位数，小数点向右移动了多少位，n就是多少。比如，最薄的金箔的厚度大约为0.000 000 091米，小数点向左移动了8位得到a＝9.1 ，所以n＝8 ，即0.000 000 091米＝9.1×10-8米。
※三、理解近似数与有效数字
生活中非常大和非常小的正数一般都不是精确数（精确数即与实际完全符合的数），大多是与精确数非常接近但一完全相等的数，这样的数就是近似数。近似数能在一定程度上反映被考查量的大小，所有测量得到的结果都是近似的。合理地取近似数，也能从很大程度上方便人们的生活需要。
利用四舍五入法取一个数的近似数时，四舍五入到哪一位，我们就说这个数精确到哪一位。
对于一个近似数，从左边第一个 不为0 的数字起，到精确到的数位止，所有的数字都叫做这个数的 有效数字 。写出一个近似数的有效数字，关键是确定好“左边第一个不为0的数字”和“精确到的数位”。例如，近似数0.002 601从左第一个不是0的数字“2”开始，到精确到的百万分位上的数字“1”都是有效数字，即0.002 601有四个有效数字，分别是2、6、0、1。
¤四、象形统计图：直观、形象。我们要会读象形统计图。
“世界新生儿图”是一类新颖的象形统计图，在报纸、杂志上也常见到这类统计图。这类统计图的实质与条形统计图、扇形统计图是一致的，但它比条形统计图、扇形统计图更直观形象、更容易使人们了解其中所表达的信息。“世界新生儿图”是用各个国家的面积大小表示这个国家某年的新生儿数，利用图示告诉的面积比例，就可以估计出中国、美国、印度、澳大利亚这一年的新生儿数。
¤五、统计工作包括：
①设定目标；②收集数据；③整理数据；④表达与描述数据；⑤分析结果。
第四章《概率》基本知识回顾
一、正确认识事件发生的可能性
※生活中的事情有三种：① 必然事件 ；② 不可能事件 ；③ 不确定事件 。一定发生的事件叫做必然事件，一定不会发生的事件叫做不可能事件。
必然事件与不可能事件的发生情况都是确定的。还有许多事情，我们事先无法肯定它会不会发生，这样的事情叫做不确定事件。
对于必然事件和不可能事件同学们易于掌握，而不确定事件是比较抽象的，为了深入研究不确定事件发生的具体情况，我们引入了可能性这个概念。
可能性 是介于 0和1 之间的一个具体数字。
※人们通常规定：必然事件发生的可能性为1（或100%），不可能事件发生的可能性为0。显然，不确定事件发生的可能性大于0而小于1。
我们可以用下面的图来表示事件发生的可能性：
那么，所有不可能发生的
事件的机会都指向0，所在必
然发生的事件的机会都指向1。
二、深入理解概率的意义
概率是不确定事件发生的可能性的结果与总数的比值，用符号P（现象）表示。
不确定事件发生的概率是一个介于0与1之间的数，也就是说如果A是可能事件，
则0＜P＜1；而必然事件发生的概率为1；不可能事件发生的概率为0。如：盒子里放入若干个红球，随意摸出一个红球，则P（摸出红球）＝１，摸出黄球的概率P（摸出黄球）＝0。
三、进行简单的概率计算
概率的计算就是要求用分数来表示事件发生的可能性的大小。从概率的意义来看，要求某一事件发生的概率，必须且只需弄清两个数：操作过程中所有可能发生的 结果总数 和该 事件发生的结果数 。
¤概率是一个用以表示事件发生的可能性大小的数值，常见的概率方面的计算问题有如下的类型：
① 古典型概率计算：求一事件的发生概率，需先求出所有可能的情形数n，再求出符合要求的情形数m，则该事件发生的概率为 。
② 几何型概率的计算：事件发生的概率等于此事件所有可能结果所组成的图形的面积除以所有可能结果组成的图形的面积。
③ 概率的实际应用：按具体事件发生的概率要求，利用数量关系建立概率模型，解决实际问题。
四、根据概率大小作出合理的决策
了解不确定事件发生的概率，有得于决策者对问题的解决作出合理的选择。解决这类问题的一般方法是：从实际问题中抽象出概率模型，通过计算概率，然后根据概率的大小作出合理的决策。
几个人玩一种游戏，对所有的人是否公平，主要从两个方面来检测，一是判断游戏双方操纵方式的是否是 相同 ，二是两事件发生的概率是否 相等 。
¤理解游戏是否公平应注意的问题：
①应理解含义：游戏不具有公平性，游戏的结果就失去了意义，要使游戏对双方公平，首先是游戏的操作方式，程序、规则等条件必须相同，另一个重要的方面是对双方获胜的可能性要相等。我们在按题意设计游戏时，要注意这一点。
②在设计转盘游戏中，一般要将转盘均匀分成若干份，从而保证指针落在各个区域的可能性都相同，特别要注意这一点。
第五章《三角形》基本知识回顾
一、认识三角形
1、由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫三角形。
① 组成三角形的三条线段要“不在同一直线上”；如果在同一直线上，三角形就不存在；
② 三条线段“首尾是顺次相接”，是指三条线段两两之间有一个公共端点，这个公共端点就是三角形的顶点。
※2、三角形三边的关系：两边之 和大于 第三边；两边之 差小于 第三边。
已知三条线段确定能否组成三角形：小 ＋ 小 ＞ 大而且大 － 大 ＜ 小
已知两边、（其中），则第三边c的取值范围是
※3、三角形的内角和定理：三角形的 内角和是180° ；直角三角形的 两锐角互余 。
锐角三角形 （三个角都是锐角）
※4、三角形按角分类： 直角三角形 （有一个角是直角）
钝角三角形 （有一个角是钝角）
※5、三角形的特殊线段：（也叫三角形的“三”线段）
① 三角形的中线：连结顶点与对边中点的线段。（分成的两个三角形面积相等）
② 三角形的角平分线：内角平分线与对边的交点到内角所在的顶点的线段。
三角形的两个内角的平分线的夹角与第三个内角的关系：
如图，在⊿ABC中，BE和CF分别是∠ABC和∠ACB的平分线，
BE和CF相交于点O，则

（此结论可以不记住，但结论的推导说理过程自己要会组织）
三角形的高：顶点到对边的垂线段。（会看图找出相应边上的高，会作出每一种三角形每条边上的高）
6、三角形具有 稳定性 ，要知道在日常生活中的应用例子。例如：生活中，我们经常会看到如图所示的情况，在电线杆上拉两条钢筋，来加固电线杆，这是利用了三角形的 稳定性 。又例如：如图，为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条，这样做的道理是 三角形具有稳定性 。
二、全等三角形：
1、全等三角形：能够重合的两个三角形。
※2、全等三角形的性质：全等三角形的对应边、对应角相等。
如图，如果 △ABC≌△DEF，那么根据三角形全等的性质定理有：
∵ △ABC≌△DEF （ 已 知 ）
∴ AB=DE，AC=DF，BC=EF ( 全等三角形对应边相等 )
∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F ( 全等三角形对应角相等 )
※3、全等三角形的判定：
判 定 方 法
内 容
简 称
边边边
三边对应相等的两个三角形全等
SSS
边角边
两边与这两边的夹角对应相等的两个三角形全等
SAS
角边角
两角与这两角的夹边对应相等的两个三角形全等
ASA
角角边
两角与其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等
AAS
斜边直角边
斜边与一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
H L
注意：三个角对应相等的两个三角形不能判定两个三角形全等；没有AAA。
两条边与其中一条边的对角对应相等的两个三角形不能判定两个三角形全等；没有SSA。
※4、全等三角形的证明思路：
条 件
下一步的思路
运用的判定方法
已经两边对应相等
找它们的夹角
SAS
找第三边
SSS
已经两角对应相等
找它们的夹边
ASA
找其中一个角的对边
AAS
已经一角一边
找另一个角
ASA或AAS
找另一边
SAS
※三、用尺规作图作三角形（作图验证全等三角形）
1、已知三边作三角形（SSS）
2、已知两边与它们的夹角作三角形（SAS）
3、已知两角与它们的夹边作三角形（ASA）
已知两角与其中一角的对边转化成这种情况（AAS）
4、已知斜边与一条直角边作直角三角形（H L）
¤四、测量距离的常用方案：
方案1：如图1所示，要测量A、B间的距离，先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接AC并延长到D，使CA=CD，连接BC并延长到E，使CB=CE，连接DE并测量出它的长度，DE的长度就是A、B间的距离。（证明时用SAS证明，与课本P174想一想相同）
方案2：如图2所示，要测量A、B间的距离，可以在AB的垂线BD上取两点E，使EB=ED，再过D点作出BD的垂线CD，使A，C，E在一条直线上，这时测得的CD的长就是A、B间的距离。（证明时用ASA或AAS证明，与课本P176数学理解第2题相同）
第六章《生活中的变量》基本知识回顾
¤一、变量、自变量与因变量
在一个变化过程中，数值发生变化的量叫做 变量 。
在一个变化过程中，有两个变量，如果一个变量随着另一个变量的改变而改变，那么是 自变量 （先变的量），是 因变量 （后变的量）。
※二、变量之间的表示方法：
① 列表法： 如，一根原长为10厘米的弹簧，其长度与所挂物品的质量之间有如下的关系：
物品的质量／千克
1
2
3
4
5
弹簧的长度／厘米
10.5
11.0
11.5
12.0
12.5
其中，物品的质量是自变量，弹簧的长度是因变量；当物品的质量是6千克时，弹簧的长度是13厘米。
② 关系式法（解析式法）：能精确地反映自变量与因变量之间数值的对应关系。上述问题中因变量弹簧的长度与自变量物品的质量之间的关系式为：
③ 图象法： 用水平方向的数轴（横轴）上的点表示自
变量，用坚直方向的数轴（纵轴）表示因变量。如图
中的折线ABCDE描述的是汽车行驶过程中，离开出发
地的距离s（千米）和行驶时间t（小时）之间的关
系。其中，汽车行驶的时间是自变量，汽车行驶离出
发地的距离因变量，当t=1.5小时时，s=80千米；
t=4.5小时时，s=0千米。
¤三、几种特殊的变量之间的图象：
1、速度与时间
2、路程与速度
3、甲乙两人追逐与先后出发问题
4、日常生活中的常见问题的变量之间的图象


一杯越晾越凉的水 足球守门员大脚开出去的球 匀速行驶的汽车 一面冉冉上升的旗子
(温度与时间的关系) (高度与时间的关系) (速度与时间的关系) （高度与时间的关系)
第七章《生活中的轴对称》基本知识回顾
¤一、轴对称图形与轴对称
① 如果一个图形沿某一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形。这条直线叫做对称轴。
② 两个图形沿某一条直线折叠，这两个图形能完全重合，就说这两个图形关于这条直线成轴对称。这条直线叫做对称轴。
③ 常见的轴对称图形：线段（两条对称轴），角，长方形，正方形，等腰三角形，等边三角形，等腰梯形，圆，扇形；还要知道哪些数字、汉字、英文字母、国家国旗是轴对称图形。并且会把轴对称图形的所有对称轴都找出来。例如：请在下面这一组图形符号中找出它们所蕴含的内在规律，然后在横线上的空白处填上恰当的图形。
※二、角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。
∵ OP平分∠AOB PB⊥OB PA⊥OA
∴ PB=PA （角平分线上的点到角两边的距离相等）
※三、线段垂直平分线（简称中垂线）：
① 概念：垂直且平分线段的直线叫做这条线段的垂直平分线。
② 性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。
∵ OA=OB PC⊥AB于O
∴ PA=PB （线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）
※四、等腰三角形性质：（有两条边相等的三角形叫做等腰三角形）
①等腰三角形是轴对称图形； （仅有一条对称轴）
②等腰三角形底边上中线，底边上的高，顶角的平分线重合； （也称“三线合一”）
应用“三线合一”性质时的几何语言要按以下的组织过程书写
∵
∴ （三角形底边上的高与中线重合）
（三角形底边上的高与顶角平分线重合）
③等腰三角形的两个底角相等。 简称：等边对等角）
∵ ( 已知 ) ∴( 等边对等角 ）
※五、等角对等边：在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它所对的两条边也相等。
（简称：等角对等边）
∵( 已知 ) ∴( 等角对等边）
（ 温馨提示 ：等边对等角和等角对等边 只能在三角形中使用 。）
六、等边三角形的性质：等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的所有性质。
等边三角形的三条边相等，三个角都等于60度；
等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴；
等边三角形边上的中线、高和这条边的对角的平分线重合；（每边上都有“三线合一”）
¤七、轴对称的性质：
① 关于某条直线对称的两个图形是全等图形； ② 对应点的连线被对称轴垂直且平分；
③ 如果对应线段所在的直线相交，那么交点在对称轴上；④ 对应线段相等、对应角相等。
※八、会用轴对称的性质进行作轴对称图形的另一半：
请分别补充下列轴对称图形的另一部分。(虚线为对称轴)

⑴ ⑵ ⑶
¤九、镜子改变了什么：
1、镜子不改变我们物体的形状和大小，但改变了镜子内外图像的左右位置，使物体与所成的像成轴对称（叫做镜面对称）。
2、常见的问题：①物体成像问题；②数字与字母成像问题；③时钟成像问题等。要会把看到的像转变为实际图形。例如：小明照镜子的时候，发现T恤上的英文单词在镜子中呈现“ ”的样子，我们可以判断这个英文单词是（ ）
十、镶边与剪纸普遍具有两个特性：重复性和对称性。
※十一、轴对称的应用：
如图所示，要在街道旁修建一个牛奶站，
向居民区A、B提供牛奶，牛奶站应建在什
么地方，才能使A、B到它的距离之和最短？
（此题的数学思想在好多类型的题目中应用）

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