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江西奉新县第四中学2025-2026学年高一年级下学期第一次教学质量检测数学试卷
一、单选题
1．是第（ ）象限角
A．一 B．二 C．三 D．四
2．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
3．如图所示，已知在中，是线段上的靠近A的三等分点，则（ ）
A． B． C． D．
4．甲、乙两名同学做同一道数学题，甲做对的概率为，乙做对的概率为，两人做题互不影响，下列说法错误的是（ ）
A．两人都做对的概率是 B．恰好有一人做对的概率是
C．两人都做错的概率是 D．至少有一人做对的概率是
5．一组从小到大排列的数据：，，，，，，，，，若它们的百分位数是中位数的两倍，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
6．关于函数，有以下命题，正确的是（ ）
A．函数的对称中心是，
B．函数的定义域是
C．直线与函数的图像的相邻两个交点间的距离为定值
D．的一个单调递增区间为
三、单选题
7．已知函数，.由于这两个函数与正弦、余弦函数有着诸多相似的性质，故分别称其为“双曲正弦函数”，“双曲余弦函数”.下列关于的描述错误的是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数在区间上恰有3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
四、多选题
9．在平行四边形中，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数的部分图象如图所示，且阴影部分的面积为，则下列说法正确的有（ ）
A．函数的最小正周期为
B．为函数的一个对称中心
C．函数在区间上单调递增
D．要得到函数，需将函数向右平移个单位长度
11．如图，先作等边三角形ABC，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，得到的图形称为“莱洛三角形”．若一个莱洛三角形的周长为，下列结论正确有（ ）
A．
B．此莱洛三角形的面积为
C．若点在上运动，
D．若点在莱洛三角形的边界上运动，则为定值
五、填空题
12．函数的最小值为_______．
13．给出下列命题：
①若，则或；
②向量的模一定是正数；
③起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；
④向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在同一直线上．
其中正确命题的序号是___________．
14．用表示不超过实数的最大整数，如，.则的值为_______________
六、解答题
15．某人在静水中游泳，速度为千米/小时，现在他在水流速度为4千米/小时的河中游泳．
(1)若他沿垂直于岸边的方向游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度大小为多少？
(2)他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？
16．已知函数．
(1)若，用“五点法”在给定的坐标系中，画出函数在上的图象；
(2)若为偶函数，将函数的图象向左平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求的单调递增区间．
17．为选拔运动员参加第十五届全运会，某省对名青年选手进行专项成绩考核（满分分），考核成绩的频率分布直方图如图所示．
(1)从得分在中，按，分层，采用分层随机抽样的方法抽取人，再从人中随机抽取人进行考核，求至少有人分数低于分的概率；
(2)现通过两项考核选拔参赛运动员，每项的结果分为三个等级．若在两项考核中，至少一项为级，且另一项不低于级，则获得参赛资格．已知甲、乙的考核结果互相不受影响，且甲在每项考核中取得等级的概率分别是；乙在每项考核中取得等级的概率分别是．求甲、乙能同时获得参赛资格的概率．
18．某摩天轮的直径为米，最高点距离地面达110米，共有个座舱（图为摩天轮示意图）．摩天轮开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周需要分钟．游客甲在座舱转到距离地面最近的位置点进舱，分钟后距离地面的高度为（单位：米），.求
(1)的解析式；
(2)甲进舱分钟后距离地面的高度是多少米？
(3)游客乙在甲后的第个座舱进舱，乙进舱后多少分钟甲、乙两人第一次距离地面高度相等？
19．设函数．
(1)当时，求解下列问题．
（ⅰ）若存在实数，对任意的（是函数的定义域的子集），都有，且存在，使得，则称为函数在区间上的最大值，称为最大值点，讨论在上最大值点的个数；
（ⅱ）小明利用函数进行一个棋盘游戏：有一个的正方形棋盘，小明将一棋子开始时置于左下角（棋盘最左边的边界线与最下边的边界线的交点），每下一步移动1格，且在第步时，若，则将棋子向上前进一步，否则将棋子向右前进一步，棋子走到棋盘最右边的边界线或最上边的边界线时停止，若棋子停在棋盘最上边的边界线，求的取值范围．
(2)若，的最小正周期，且曲线与直线在区间上有且仅有1个交点，求的取值范围．
参考答案
1．C
【详解】，
与终边相同，
是第三象限角，是第三象限角.
故选：C.
2．B
【详解】因为，所以，
因为，所以.
3．B
【详解】因是线段上的靠近A的三等分点，则.
4．C
【详解】设事件A表示“甲做对”，事件B表示“乙做对”，则，.
对于A，两人都做对的概率为，故A正确；
对于B，恰好有一人做对的概率为，故B正确；
对于C，两人都做错的概率为，故C错误；
对于D，至少有一人做对的概率为，故D正确．
5．A
【详解】数据，，，，，，，，，已是由小到大的排列，数据共个，
中位数为第个与第个数据的平均值即中位数为，
由，因此百分位数为第个与第个数据的平均值即，
得，
解得，
故选：A．
6．CD
【详解】对于A，由，，可得，，故对称中心为，，A错误；
对于B，由，可得，，故函数的定义域是，B错误；
对于C，令，则，，则，，
故相邻两个交点间的横坐标之差为，所以距离为定值，C正确；
对于D，，，可得，，故单调递增区间为，，
当时，递增区间为，故D正确．
7．B
【详解】函数，，定义域都是R，
对于A，，，A选项正确；
对于B，是奇函数，函数和都在R上单调递增，
则在R上单调递增，故，
是偶函数且在上单调递增，，B选项错误；
对于C，，，C选项正确；
对于D，，D选项正确．
8．C
【详解】因为，，其中，解得：，
则，要想保证函数在恰有三个零点，
满足①，，令，解得：；
或要满足②，，令，解得：；
经检验，满足题意，其他情况均不满足条件，
综上：的取值范围是.
故选：C.
9．ABD
【详解】对于A选项，因为，所以，所以，故A正确；
对于B选项，，故B正确
对于C选项，，故C错误；
对于D选项，因为，所以，所以，故D正确.
10．ACD
【详解】
A选项，如图，，由割补法可知，阴影部分的面积等于矩形的面积，
即，即，函数的最小正周期为，所以A正确；
B选项，．又函数过点，即，
即．由，结合图象得，故．
由于，故不是函数的对称中心，所以B错误；
C选项，由，有，因为在上单调递增，
故在区间上单调递增，所以C正确；
D选项，向右平移个单位长度后为
，所以D正确．
11．AC
【详解】由题意，弧长为，所对圆心角，可得，故A正确；
莱洛三角形的面积可视为3个全等的扇形面积减去2个的面积，
即为，故B错误；
易知对应的圆心角为，所以对应的圆周角为，
当点位于上时，即为对应圆周角的补角，所以，故C正确；
取的中心为，如下图：
则，因此,
当点在莱洛三角形的边界上运动时，因为的圆心不是，
所以在点从运动到的过程中，会发生变化，因此不是定值，D错误．
12．5
【详解】令，则，可得，
由对勾函数的性质，易知函数在上单调递减，则，
所以函数的最小值为5.
故答案为：5.
13．③
【详解】①错误．由仅说明与模相等，但不能说明它们方向的关系．
②错误．的模为零．
③正确．对于一个向量，只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的．
④错误．共线向量即平行向量，只要方向相同或相反即可，并不要求两个向量，必须在同一直线上．
故答案为：③
14．
【详解】根据正弦函数的周期为，在一个周期内有，，，
当时，，当时，，
所以，
根据三角函数的周期性可知
．
15．(1)此人沿与河岸成的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8千米/小时
(2)此人沿向量的方向逆着水流且与河岸所成夹角的余弦值为方向游，实际前进的速度大小为千米/小时
【详解】（1）如图，
设此人游泳的速度为，水流的速度为，
以为邻边作，则此人的实际速度为，
由勾股定理知，且在中，，即，
故此人沿与河岸成的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8千米/小时．
（2）如图，设此人的实际速度为，水流速度为，则游速为，
在中，，则，
故此人沿向量的方向逆着水流且与河岸所成夹角的余弦值为方向游，
实际前进的速度大小为千米/小时．
16．(1)
(2)
【详解】（1）当时，，列表：
x 0
y 2 0 0
则函数在区间上的图象是：
（2）为偶函数，，，
，
将向左平移个单位，再将横坐标变为原来的2倍，得到：
令，，
解得：，
的单调递增区间为
17．(1)
(2)
【详解】（1）由题意得，，
解得．
因为按、分2层，采用分层随机抽样的方法抽取5人，
所以从成绩在中抽出的人数为，分别记为M、N、Q，
从成绩在中抽出的人数为：，分别记为m、n，
从5人中抽取2人进行考核，样本空间为，
则，记“至少有1人分数低于80分”为事件R，
则．
即，因此．
故5人中至少有1人分数低于80分的概率为．
（2）记甲获得参赛资格的概率为，乙获得参赛资格的概率为，
由题意可得，，
．
由于甲、乙的考核结果互相不受影响，所以甲获得参赛资格与乙获得参赛资格相互独立．
则甲、乙能同时获得参赛资格的概率为．
18．(1)
(2)85
(3)
【详解】（1）摩天轮转动t分钟时游客的高度，
摩天轮旋转一周需要30分钟，即周期，
则，所以，
由题意可得，，，
所以，解得，
当时，，即，可取，
所以，
（2）由（1）知，当时，；
（3）甲、乙两人的位置分别用点A、B表示，则，
经过后，乙距离地面的高度，
点B相对于A始终落后，甲距离地面的高度为，
令，，
即，，
由，可得：，经验证成立，
所以乙进舱后分钟甲、乙两人距离地面高度相等．
19．(1)（ⅰ）答案见解析；（ⅱ）
(2)
【详解】（1）（i），则，
当时，在上有两个最大值点，，
故在上有2个最大值点；同理当时，在上有1个最大值点；
（ii），棋子移动的周期为3，
若棋子停在棋盘最上边的边界线，则，中至少有两个大于或等于，
因为，，
由正弦函数的单调性得，
故，
则或，
故的取值范围是；
（2）曲线与直线在上有且仅有1个交点，
即方程在上有且仅有1个根，
由，可知，
又因为，即，
所以，
故，
则只需令，
解得，
即的取值范围为．

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