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江西奉新县第四中学2025-2026学年高二年级下学期第一次教学质量检测数学试卷
一、单选题
1．数列1，，4，，的一个通项公式（ ）
A． B． C． D．
2．已知抛物线上的一点的纵坐标为，则点到焦点的距离为（ ）
A． B． C． D．
3．已知数列，则（ ）
A． B． C． D．
4．在数列中，若，则（ ）
A．2 B． C． D．1
5．已知数列的前项的乘积为，其中为常数，，若，则( )
A．4 B．3 C．2 D．1
6．如图所示，5颗串珠用一根细线串起，现将它们依次取出（只允许从两边取出），一次取一颗，两颗☆☆串珠被连续取出的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．数列的通项公式为满足：，则数列的最大项是第（ ）项．
A．6 B．7 C．8 D．9
8．今年某企业投产高新设备，合格品全部销售完毕，预设第个月将实现销量倍增的目标．已知每月产量在前一个月的基础上提高，第个月产品合格率为，前个月合格率每月增加，之后合格率保持不变．则的值为（ ）（且，参考数据：，）
A． B． C． D．
二、多选题
9．数列的前项和，则（ ）
A．
B．
C．当或6时，数列有最小项
D．是等差数列
10．在棱长为2的正方体中，为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．直线与所成的角是
B．当时，点到平面的距离为
C．三棱锥的体积不变
D．若，则二面角的平面角的正弦值为
11．已知数列满足，则下列说法中，正确的是（ ）
A．；
B．是等差数列；
C．是等比数列；
D．数列前项和为.
三、填空题
12．2和9的等比中项是____________.
13．已知双曲线的左焦点为，离心率e为，圆与E在第一象限的交点为A，且，则__________．
14．已知数列满足，数列满足，在任意的之间插入数列的项（，从到），从而构成一个新数列，设的前n项和为，则_______（请用数字作答）.
四、解答题
15．等差数列中，已知
(1)求数列的通项公式及前项和；
(2)若分别为等比数列的第项和第项，且，求数列的通项公式．
16．如图，四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，且平面平面，.
(1)证明：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
17．已知和为椭圆上两点．
(1)求C的标准方程；
(2)若过点A的直线l交C于另一点B，的面积为24，且的外接圆圆心在y轴上，求直线l的方程；
18．已知数列的前项和为，且．
(1)证明：数列是等差数列，并求出数列的通项公式；
(2)求数列的前项和；
(3)若数列满足，求数列的前项和．
19．为倡导节能环保，实现废旧资源再利用，小明与小亮两位小朋友打算将自己家中的闲置玩具进行交换，其中小明家有1台玩具车和2个不同的玩偶，小亮家也有与小明家不同的1台玩具车和2个不同的玩偶，他们每次等可能的各取一件玩具进行交换．
(1)两人进行一次交换后，设小明手中玩具车的台数为，求的分布列及数学期望；
(2)两人进行次交换后，记小明手中恰有1个玩具车的概率为．
①求；
②求．
参考答案
1．C
【详解】数列1，，4，，中，
，
，
，
，
，
……，
故选：.
2．B
【详解】设点，将其代入抛物线方程可得，解得，
易知抛物线的准线方程为，
故点到焦点的距离为.
3．D
【详解】由题得，
所以
.
4．A
【详解】数列中，已知，，
则，
，
，
，
所以数列的周期为3，
故．
故选：A
5．A
【详解】由于数列的前项的乘积为，
因此，即，解得.
故选：A
6．D
【详解】依题意，前4次取珠，每次可取左或取右两种选择，最后1次取只有1种情况，因此不同取法种数为，
第1，2次取“☆☆”，再取另3颗珠有4种方法；
第2，3次取“☆☆”，则第1次取右起第一颗，共有2种方法；
第3，4次取“☆☆”，则第1，2次取右起两颗，有1种取法；
第4，5次取“☆☆”，则第1，2，3次取右起三颗，有2种取法，
因此两颗☆☆串珠被连续取出的方法种数是，
所以所求概率为.
故选：D
7．A
【详解】设数列的最大项为.则，即，
化简得，解得，
所以，又，所以，
即数列的最大项是第项.
故选：A.
8．B
【详解】设第个月的产量和合格率分别构成数列、，
不妨设，则数列是首项为，公比为的等比数列，故，
的前项构成以为首项，公差为的等差数列，
故当时，，
由题意可知当时，，
则该公司第个月的销量为，
当时，，
当时，，，则，
故数列为递增数列，且，
因为，，
当时，，此时数列单调递增，
此时，不合乎题意，故.
故选：B.
9．ABD
【详解】对于A：因为，当时，故A正确；
对于B：当时，
所以，
经检验时也成立，所以，故B正确；
对于C：因为，所以当或时取得最大值，且，即数列有最大项，故C错误；
对于D：因为，则，又，
所以是首项为，公差为的等差数列，故D正确.
故选：ABD
10．BC
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，．
A（×），，设，
依据共线向量设坐标
故，．
若直线与所成的角是，则，
整理得，即，解得，
注意范围的限制
故直线与所成的角不可能是．
B（√）当时，结合A中分析可得，故，故，而，
设平面的法向量为，则即
取，得为平面的一个法向量，
又，故到平面的距离为．
C（√）因为，平面，平面，所以平面，所以为定值．
D（×）当时，结合B的分析可得，此时，故，而，
设此时平面的法向量为，则即
取，得为平面的一个法向量，又，，
设平面的法向量为，则即
取，得为平面的一个法向量，
故，故二面角的平面角的正弦值为．
故选：BC
11．ACD
【详解】对于A，由，且，则，
，，，，
，故A正确；
对于B，由，
即，则数列为等比数列，故B错误；
对于C，由，
则数列为等比数列，故C正确；
对于D，由，则等比数列的首项为，公比为；
由，则等比数列的首项为，公比为.
，故D正确.
故选：ACD.
12．
【详解】令等比中项为，则.
13．4
【详解】设双曲线的右焦点为，半焦距为c，
因为圆与E在第一象限的交点为A，所以，
由双曲线的定义得，
由，得，
即，
解得，(舍去)．
故答案为：.
14．2350
【详解】根据题意，，时，新数列中前共有数列的前项，
所以为新数列的第项，即第项，
当时，，即为新数列的第43项，
且与之间插入了，，，……，共13项，
则.
15．(1)；
(2)
【详解】（1）由题知，令等差数列的公差为，
由，解得，
所以数列的通项公式，
前项和.
（2）令等比数列的公比为，
则，解得，
因为，所以，
所以数列的通项公式.
16．(1)证明见解析；
(2)
【详解】（1）因为，所以为中点，
因为侧面是正三角形，所以，
因为底面是正方形，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，
所以，又，，平面，
所以平面，又平面，
所以
（2）根据题意，如图建立空间直角坐标系，
设正方形的边长为，则 ，
因为，
所以，
，，
设平面的一个法向量为，
则，即， 故可取，
设直线与平面所成角为，
则
所以直线与平面所成角的正弦值为
17．(1)
(2)直线l的方程为
【详解】（1）将和代入椭圆方程可得，解，
所以C的标准方程为.
（2）由题意，则AP的垂直平分线的斜率，
由的中点坐标为，即为，
所以AP的垂直平分线方程为，即，
令，可得，即的外接圆圆心为，
所以的外接圆的半径，
设点B坐标为，由题意得，
所以，解得或4，
当时，代入可得或6（舍，与P点重合），则，
当时，代入可得或2（舍，与A点重合），则，
当时，的面积，不符合题意，故舍去；
当时，的面积，符合题意，
所以，所以直线l的方程为，即.
18．(1)证明见解析，；
(2)
(3)
【详解】（1）因为，，
所以，即，
所以数列 为等差数列，故，
所以；
（2）由（1）可得，
由，可得，
所以当时，，
当时，，
综上，；
（3）由（1），
所以①，
则②，
①②得，
，
19．(1)分布列见解析，数学期望为；
(2)①；②；
【详解】（1）由题意知X的可能取值为0，1，2
，
，
X 0 1 2
P
所以．
（2）①若两次都交换玩具车，则概率为，
若两次都交换玩偶，则概率为，
若一次交换玩具车，一次交换玩偶，
情况1：每次互换的玩具相同，则概率为，
情况2：每次互换的玩具不同，则概率为，
则.
②重复n复这样的操作后，记小明手中恰有0个玩具车的概率为，
则小明手中恰有2个玩具车的概率为，
根据全概率公式可得，当时，，
∴，
由（1）是，∴，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，故，
所以，即 ．

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