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(共15张PPT)
矩形的性质和判定方法
性质
判定
矩形的性质定理 1：
矩形的四个角都是直角.
矩形的性质定理 2：
矩形的对角线相等.
矩形具有平行四边形的一般性质
定义法：
有一个角是直角的平行四边形是矩形
矩形的判定定理 1：
有三个角是直角的四边形是矩形.
矩形的判定定理 2：
对角线相等的平行四边形是矩形.
18.1.2 第2课时 矩形性质与判定的综合运用
1.进一步掌握矩形的判定定理，能综合应用矩形的判定定理和性质定理解决证明和计算问题.
例 1 如图，四边形 ABCD 是由两个全等的正三角形 ABD 和 BCD 组成的，M、N 分别为 BC、AD的中点. 求证：四边形 BMDN 是矩形.
A
B
C
D
M
N
分析：由已知条件，可知 BN ⊥ AD，DM ⊥ BC，
因此，在四边形 BMDN 中，已有两个角是直角，只需再证明另一个角也是直角即可得到它是一个矩形.
证明：∵△ABD 和△BCD 是全等的正三角形，
∴∠ADB = ∠CDB = 60°.
又∵M、N分别为BC、AD的中点，
∴ BN⊥AD，DM⊥BC，∠BDM=∠BDC=30°.
∴∠DNB = ∠DMB = 90°,
∠MDN = ∠ADB + ∠BDM = 90°.
∴四边形 BMDN 是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形.
例 2 如图，在 △ABC 中，AB = AC，AD ⊥ BC，垂足
为点 D，AG是△ABC的外角∠FAC的平分线，DE//AB，
交 AG 于点 E. 求证：四边形 ADCE 是矩形.
分析：根据已知条件 AB = AC，我们可以先通过证明四边形 ABDE 是平行四边形，得到 DE=AB=AC.
因此可以利用“对角线相等的平行四边形是矩形”这一判定定理.
A
B
C
D
E
G
F
证明：∵AB = AC， AD ⊥ BC，
∴∠B = ∠ACB， BD = DC.
又∵AE 是△ABC 的外角 ∠CAF 的平分线，
∴∠FAE = ∠CAF = (∠B + ∠ACB) = ∠B.
又∵DE // AB，
∴AE // BC.
∴四边形 ABDE 是平行四边形.
∴AE = BD，AB = DE.
∴AC = DE， AE = DC.
∴四边形 ADCE 是平行四边形.
∴四边形 ADCE 是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）.
要获取足够证明一个四边形为矩形的条件,往往需要结合图形中的其他条件,进行相关的推理.应根据已知条件,猜测最可能获取到的条件,从而选择合适的判定方法.
1.如图，△ABC中，AB＝AC，点F在CA的延长线上，AD，AE分别是∠BAC和∠BAF的平分线，BE⊥AE于点E.
(1)求证：DA⊥AE；(2)试判断AB与DE是否相等，并说明理由．
解：(1)∵AD平分∠BAC，AE平分∠BAF，
∴∠BAD＋∠BAE＝(∠BAC＋∠BAF)＝90°，
∴DA⊥AE；
(2)AB＝DE.
理由：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，
∵BE⊥AE，DA⊥AE，∴∠ADB＝∠BEA＝∠DAE＝90°，
∴四边形ADBE是矩形，∴AB＝DE.
解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA= OC,OB = OD.
又∵△ABO是等边三角形，∴OA= OB=AB= 4,∠BAC=60°.
∴AC= BD= 2OA = 2×4 = 8.
A
B
C
D
O
2.如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O ，△ABO是等边三角形， AB=4，求□ABCD的面积.
∴□ABCD是矩形 （对角线相等的平行四边形是矩形），
∴∠ABC=90°（矩形的四个角都是直角） .
在Rt△ABC中,由勾股定理,得AB2 + BC2 =AC2 ,
∴BC= .
∴S□ ABCD=AB·BC=4× =
矩形具有平行四边形的一般性质
性质定理 1：矩形的四个角都是直角
性质定理 2：矩形的对角线相等
定义法：有一个角是直角的平行四边形是矩形
判定定理 1：有三个角是直角的四边形是矩形判定定理 2：对角线相等的平行四边形是矩形
矩形性质和判定的综合应用
性质
判定
灵活用定理进行计算和证明
D
E
F
M
N
Q
P
A
B
C
1.如图，直线EF∥MN,PQ交EF、MN于A、C两点，AB、CB、CD、AD分别是∠EAC、 ∠MCA、 ∠ ACN、∠CAF的平分线，则四边形ABCD是（ ）
A.梯形 B.平行四边形 C.矩形 D.不能确定
C
2.如图，在△ABC中，AB＝AC，将△ABC绕点C旋转180°得到△FEC，连结AE，BF．当∠ACB＝________时，四边形ABFE为矩形．
60°
3.如图，在 ABCD 中，过点 B 作 BE ⊥ CD 于点 E，点 F 在边 AB 上，AF ＝CE，连结 DF、CF.
(1)求证: 四边形 DFBE 是矩形；
(2)当 CF 平分∠DCB 时，若 CE ＝ 3，BE ＝ 4，求 CD 的长.
A
B
C
D
E
F
(1)证明: ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形.
∴ AB∥CD，AB ＝CD.
∵ AF ＝CE，
∴ AB－AF ＝CD－CE，即 BF ＝DE，
∴ 四边形 DFBE 是平行四边形.
∵ BE ⊥ CD，∴ ∠BED ＝90°，
∴ DFBE 是矩形.
(2)在Rt△BEC 中，∵ BE ＝4，CE ＝3，
∴ CB ＝ ＝ ＝ 5.
∵ CF 平分∠DCB，∴ ∠DCF ＝∠BCF.
∵ AB∥CD，∴ ∠DCF ＝∠CFB，
∴ ∠BCF ＝∠CFB，
∴ CB ＝BF. ∴ DE ＝BF ＝CB ＝ 5，
∴ CD ＝CE + DE ＝3 + 5＝ 8.
如图，AD、AE 分别是△ABC 的内角∠BAC 和外角∠BAF 的平分线，BE ⊥ AE，DA ⊥ BC，求证：四边形 AEBD 是矩形.
A
C
F
B
D
E
提示：已知有两个直角，再找出一个直角，就能运用判定定理 1.
∵ BE ⊥ AE，DA ⊥ BC，
∴ ∠AEB ＝∠ADB ＝∠DAE ＝90°.
∴ 四边形AEBD 是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形).
即∠DAE ＝90°.
证明: ∵AD、AE 分别是∠BAC 和∠BAF 的平分线，
∴∠DAB ＝ ∠BAC，∠BAE ＝ ∠BAF.
∵∠BAC＝∠BAF＝180°，
∴∠DAB+∠BAE＝ (∠BAC+∠BAF)＝ ×180°＝90°.
【选自教材练习 第1题】
2. 一个四边形满足：它的每个顶点到其他三个顶点的距离之和相等，试证明该四边形为矩形.
已知: 在四边形ABCD中，AB+AC+AD＝BA+BC+BD＝CA+CD+CB＝DA+DB+DC.
求证: 四边形 ABCD 是矩形.
A
B
D
C
证明: ∵ AB + AC + AD ＝ CA + CD + CB，
∴ AB + AD ＝CD + CB ①.
∵ BA + BC + BD ＝DA + DB + DC，
∴ BA + BC ＝DA + DC ②.
①＋②，得 2AB + AD + BC ＝2CD + AD + BC，
即 AB ＝CD.
∵ AB + AD ＝CD + BC，∴ AD ＝BC.
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形).
∵ AB + AC + AD ＝BA + BC + BD，∴ AC ＝BD，
∴ 四边形 ABCD 是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形).
【选自教材练习 第2题】
3. 如图，将□ ABCD的边 DC 延长到点 E，使 CE = DC
，连结AE，交BC于点 F，∠AFC=2∠D，连结AC、BE.求证：四边形 ABEC 是矩形.
A
B
C
D
E
F
1
2
证明: 如图，
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AB∥CD，AB＝CD，AD∥BC.
∵ CD ＝CE，∴ AB ＝CE，
∴ 四边形 ABEC 是平行四边形.
∴ AE ＝2EF，BC ＝2CF.
∵ AD∥BC，∴ ∠D ＝∠2.
∵ ∠AEC ＝∠1 + ∠2，∠AFC ＝2∠D，
∴ 2∠D ＝∠1 + ∠2，∴ 2∠2＝∠1 + ∠2，
∴ ∠１＝∠2，∴ EF ＝CF.
∴ AE＝BC，∴ 四边形ABEC 是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形).
【选自教材练习 第3题】

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