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18.1.2 第1课时 矩形的判定
1.理解并掌握矩形的判定定理，能初步应用其解决证明和计算问题.
矩形的定义是什么？有哪些性质？它与平行四边形有什么关系？
矩形是特殊的平行四边形，所以矩形具有平行四边形的一切性质，但平行四边形不具备矩形的一些特殊性质．
除了用定义判定矩形外，类比平行四边形的判定方法，矩形的性质的逆命题是否成立
矩形的特殊性质 角 四个角都是直角
对角线 对角线相等
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
我们知道矩形的四个角都是直角，它的逆命题是什么？成立吗？
逆命题：四个角是直角的四边形是矩形.
成立
有一个角是直角的四边形是矩形吗？有两个角是直角的四边形是矩形吗？
A
B
D
C
(有一个角是直角)
A
B
D
C
(有二个角是直角)
×
×
那有三个角是直角的四边形是矩形吗？
试一试：作一个三个角都是直角的四边形.
1. 任意作两条互相垂直的线段 AB、AD；
2. 过点 B 作垂直于 AB 的直线 l；
3. 过点 D 作垂直于AD 的直线 m，
与直线l相交于点C.
四边形 ABCD 即为所要求作的四边形.
A
B
D
C
l
m
观察你所作的图形，它是一个矩形吗？
猜测：有三个角是直角的四边形是矩形.
怎么证明？
已知：如图，在四边形 ABCD 中，∠A = ∠B = ∠C = 90°.
求证：四边形 ABCD 是矩形.
证明：∵ ∠A =∠B =∠C = 90°，
∴∠A +∠B = 180°，∠B +∠C = 180°.
∴ AD∥BC，AB∥CD.
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
∴ 四边形 ABCD 是矩形.
A
B
C
D
几何语言：
矩形的判定定理 1：
有三个角是直角的四边形是矩形.
∵在四边形 ABCD 中，∠A = ∠B = ∠C = 90°，
∴四边形ABCD 是矩形.
思考：一个木匠要制作矩形的踏板．他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次，就能得到矩形踏板．为什么？
有三个角是直角的四边形是矩形.
1.如图，∠AOB 是一个直角，任意一点 P 到这个角的两边的距离之和为 6，则图中四边形的周长为______．
12
思 考：对角线相等的四边形是矩形吗？
不一定，等腰梯形的对角线也相等.
需要添加什么条件才能使对角线相等的四边形是矩形吗？
猜想：对角线相等的平行四边形是矩形.
试一试：作一个对角线相等的平行四边形.
作法：
1.任意作两条相交的直线，交点记为 O；
O
A
B
C
D
2.以点 O 为圆心、适当长为半径画弧，
在两条直线上分别截取相等的四条线段
OA、OB、OC、OD；
3.顺次连结所得的四点.
四边形 ABCD 的两条对角线相等且互相平分，即为所要求作的四边形.
如何证明呢？
已知: 四边形 ABCD 是平行四边形，AC = DB.
求证: 四边形 ABCD 是矩形.
D
A
B
C
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB = DC.
又∵AC = DB，BC = CB， ∴△ABC ≌△DCB，
∴∠ABC = ∠DCB.
∵AB∥CD，∴∠ABC + ∠DCB = 180°.
∴∠ABC =∠DCB = 90°.
∴四边形 ABCD 是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形).
几何语言：
矩形的判定定理 2：
对角线相等的平行四边形是矩形.
∵四边形 ABCD 是平行四边形，AC = BD，
∴四边形ABCD 是矩形.
实际应用：木工师傅在制作门框或其他矩形形状的物体时，常用测量对角线的方法，来检验产品是否符合要求.
2. 依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是（ ）
D
A
B
C
D
例题：如图，点 O 是矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 的交点，E、F、G、H 分别是 AO、BO、CO、DO 上的一点，且 AE = BF = CG = DH. 求证：四边形 EFGH 是矩形.
A
B
C
D
O
E
F
H
G
思路：根据已知条件，我们可以先证明四边形 EFGH 是平行四边形，再证明对角线 EG 和 FH相等，即可得证.
证明: ∵四边形 ABCD 是矩形，
∴ AC = BD；
AO = CO = AC，BO = DO = BD.
∴ AO = BO = CO = DO.
∵ AE = BF = CG = DH，
∴ OE = OF = OG = OH.
∴ 四边形 EFGH 是平行四边形.
∵ EO + OG = FO + OH，
∴ EG = FH.
∴ 四边形 EFGH 是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）.
3.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，延长OA到N，使ON＝OB，再延长OC至M，使CM＝AN.求证：四边形NDMB为矩形．
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO＝OC，OD＝OB.
∵AN＝CM，ON＝OB，
∴ON＝OM＝OD＝OB，
∴四边形NDMB为平行四边形，MN＝BD，
∴平行四边形NDMB为矩形．
矩形的判定
矩形的判定定理 1：
有三个角是直角的四边形是矩形.
矩形的判定定理 2：
对角线相等的平行四边形是矩形.
定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形.
1.在判断“一个四边形门框是否为矩形”的数学活动课上，一个合作学习小组的4位同学分别拟定了如下的方案，其中正确的是（　　）
A．测量对角线是否相等
B．测量两组对边是否分别相等
C．测量一组对角是否都为直角
D．测量其中三个角是否都为直角
D
2. 如图，在 Rt△ABC 中，∠A ＝ 90°，AB＝3，AC ＝4，D 是斜边 BC 上的一个动点，过点 D 分别作 DM ⊥ AB 于点 M，DN ⊥ AC 于点 N，连结 MN，则线段 MN 的长的最小值为_______.
A
B
D
C
M
N
2.4
3.如图，在 □ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，且OA = OD，∠OAD = 50°．求∠OAB 的度数．
　
A　
B　
C　
D　
O
解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ OA = OC = AC，
OB = OD = BD.
又∵ OA = OD，
∴ AC = BD.
∴ 平行四边形 ABCD 是矩形.
∴∠BAD = 90°.
又∵∠OAD = 50°，
∴∠OAB = 40°.
如图，AB、CD 是 ⊙O 的两条直径，四边形 ACBD 是矩形吗？证明你的结论，
解: 四边形 ABCD 是矩形.
证明如下:
∵ AB、CD 是☉O 的两条直径，
∴ OA ＝OB，OC ＝OD，
∴ 四边形 ACBD 是平行四边形.
又∵ AB ＝CD，
∴ 四边形 ACBD 是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形).
A
D
B
C
O
【选自教材练习 第1题】
2.如图，在 □ ABCD 中，∠1 = ∠2. 此时，四边形 ABCD 是矩形吗？为什么？
解: 四边形 ABCD 是矩形.
理由如下：
∴ OA ＝OC ＝ AC，OB ＝OD ＝ BD.
又∵ ∠1 ＝∠2，∴ OA ＝OB.
∴ AC ＝BD.
∴ 四边形 ABCD 是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
A
B
D
C
O
2
1
【选自教材练习 第2题】
解: ∵ AC 与 EF 互相平分，
∴ OA ＝OC，OE ＝OF.
又∵ ∠AOF ＝∠COE，∴ △AOF≌△COE.
∴AF ＝CE，∠OAF ＝∠OCE.
∴ CD∥AB.
∵ BF ＝DE，∴ BF +AF ＝DE + CE，即AB ＝CD.
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
又∵ ∠B ＝90°，∴ 四边形 ABCD 是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形).
3.如图，在四边形 ABCD 中，BF = DE，AC 与 EF 互相平分并相交于点 O，∠B = 90°.求证：四边形 ABCD 是矩形.
D
A
B
C
F
E
O
【选自教材练习 第3题】

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