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18.1.1 第2课时 矩形性质的应用
1.能进一步运用矩形的性质解决有关的问题.
2.了解相关折叠知识，进一步渗透方程思想，解决相关问题.
1．矩形的性质有哪些？
2．当矩形的对角线夹角为多少度时，可以得到两个等边三角形？
矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等．
60°或120°.
例 1 如图，在矩形 ABCD 中，AB = 3，BC = 4，
BE ⊥ AC，垂足为点 E . 求 BE 的长.
A
B
D
C
E
说一说你的解题思路
△ABC 为直角三角形
它的面积既可以用底和高来求.
也可以用两条直角边来求.
列出等式，从而求出 BE 的长.
解：在矩形 ABCD 中，∠ABC = 90°，
AC = = 5.
又∵S△ABC = AB·BC = AC·BE ，
∴BE = = = 2.4.
例 2 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AE 垂直且平分线段 BO，垂足为点 E，BD = 15 cm. 求 AC、AB 的长.
解：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AC = BD = 15 (矩形的对角线相等）.
∴AO = AC = 7.5.
∵AE 垂直平分 BO，
∴AB = AO = 7.5 .
即 AC 的长为 15 cm，AB 的长为 7.5 cm .
A
B
C
D
O
E
1. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，DE ⊥ AC 于点 E，且 ∠ADE ∶ ∠EDC ＝ 3 ∶ 2，求 ∠BDE 的度数．
解: ∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠ADC ＝ 90°，OA ＝ OD．
∵∠ADE ∶ ∠EDC ＝ 3 ∶ 2，
∴∠ADE ＝ ∠ADC＝54°．
∵DE ⊥ AC，∴∠DEA＝ 90°
∴∠DAE＝90°－∠ADE＝36°
∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD＝36°．
∴∠BDE＝∠ADE－∠ODA＝54°－36°＝18°．
1.折叠：将某个图形沿某条直线翻折一定的度数得到的新的图形(若翻180°即为轴对称)．折叠前后的两个图形全等；
2.解决折叠常用的方法：勾股定理与面积法；
3.解决折叠常用的思想：方程思想．
例 3 如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处．
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)若AB＝6，AC＝10，求四边形AECF的面积．
解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD∥BC，∠B＝∠D＝90°，
由折叠知：AM＝AB，CN＝CD，∠FNC＝∠D＝90°，∠AME＝∠B＝90°，
∴AM＝CN，
在△ANF和△CME中，
∵∠FAN＝∠ECM，AN＝CM，∠ANF＝∠CME，∴△ANF≌△CME，∴AF＝CE.
又∵AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形；
∴AM－MN＝CN－MN，即AN＝CM.
例 3 如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处．
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)若AB＝6，AC＝10，求四边形AECF的面积．
(2)∵AB＝6，AC＝10.
∴BC＝＝＝8，
设CE＝x，则EM＝8－x，CM＝10－6＝4，
在Rt△CEM中，EM2＋CM2＝CE2，
∴(8－x)2＋42＝x2，解得x＝5，
∴S四边形AECF＝EC·AB＝5×6＝30.
矩形的折叠问题常与勾股定理结合考查
2.如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处，若∠2＝40°，则图中∠1的度数为 (　　)
A．115°　　　B．120°　　　
C．130°　　　D．140°
A
由折叠知：∠B′＝∠B＝90°，∠1＝∠EFB′，
又∵∠2的对顶角的度数为40°，
∴根据“直角三角形两锐角互余”得到∠CFB′＝50°，
设∠1＝x，则∠CFE＝180°－x，
∴可列方程：x＝180°－x＋50°，求解得x=115°．
矩形性质的应用
利用矩形的性质进行计算
矩形中的翻折问题
1. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，若 AB ＝ 3，AC＝ 6，则 ∠AOD 的度数为( )
A. 90° B. 100° C. 110° D. 120°
3
3
3
3
D
2. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，CD ＝ 1．若 AE 垂直且平分 OB，垂足为点 E，则 BD的长是 ( )
A. 3 B. C. 2 D. 4
1
1
1
1
C
3.如图，将矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，AD＝8，AB＝4，求△BED的面积．
解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠A＝90°，∴∠2＝∠3.
又由折叠知∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴BE＝DE.
设BE＝DE＝x，则AE＝8－x.
∵在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2，
∴42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5，即DE＝5.
∴S△BED＝DE·AB＝×5×4＝10.
如图，在矩形 ABCD 中，E 是边 AD 上的一点. 试说明△BCE 的面积与矩形 ABCD 的面积之间的关系.
A
B
C
D
E
解: ∵ 四边形 ABCD 为矩形，∴ AD∥BC，AB ⊥ BC，
∴ △BCE 的边 BC 上的高长等于 AB 的长，
∴ S△BCE ＝ BC·AB.
∵ S矩形ABCD ＝AB·BC，∴ S△BCE ＝ S矩形ABCD ，
即△BCE 的面积等于矩形 ABCD 面积的一半.
【选自教材练习 第1题】
2. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，∠AOB=60°，
，AB = 3.6. 求 AC、AD 的长.（精确到 0.1）
解: ∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ AC＝BD，OA＝OC＝ AC，OB ＝OD＝ BD，∠BAD = 90°.
∴ OA ＝OB.
∵ ∠AOB ＝60°， ∴ △AOB为等边三角形.
∴ OA ＝AB = 3.6.
∴ AC ＝ BD = 2OA＝7.2.
在 Rt△ABD 中，由勾股定理，得 AB2 + AD2 = BD2，
即 3.62 + AD2 = 7.22，∴ AD ≈ 6.2.
A
B
D
C
O
【选自教材练习 第2题】
3. 如图，点P是矩形ABCD 的边AD上的一个动点，矩形的两条边长AB、BC分别为 8 和 15. 求点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和.（提示：记对角线AC与BD的交点为点O，连结OP）
解: 如图，过点 P作PE⊥AC 于点 E，PF⊥BD于点 F，连结 OP .
∵ 在矩形 ABCD 中，∠ABC ＝ 90°，AB ＝8，BC ＝15，
∴ BD ＝AC ＝ ＝ ＝17.
A
B
C
D
O
P
E
F
【选自教材练习 第3题】
∴ OA ＝OD ＝ AC ＝ .
又∵ S△AOD ＝ S△AOP + S△POD ，
S△AOD ＝ S△ABD ，∴ S△ABD ＝ S△AOP + S△POD .
∴ ××15×8 ＝ ×·PE + ×·PF，
∴ PE + PF ＝ ，即点 P 到矩形的两条对角线 AC 和 BD 的距离之和为 .

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