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18.1.1 第1课时 矩形的性质
1.理解矩形的概念和性质，会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题
如图，用四根木条做一个平行四边形的活动木框，并轻轻推动，你会发现什么？
A
B
C
D
角的大小改变了，但仍然保持平行四边形的形状.
观察平行四边形的角度变化，你发现了什么？
长方形
当平行四边形的一个角为直角时，这时的平行四边形是一个特殊的平行四边形.
平行四边形
矩形
一个角是直角
矩形的定义：有一个角为直角的平行四边形是矩形（长方形）.
矩形在生活中无处不在.
★矩形是特殊的平行四边形.
★平行四边形不一定是矩形.
作为特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的一般性质，但由于它有一个角为直角，它是否具有平行四边形不具有的一些特殊性质呢？
活动1：准备素材：直尺、量角器、橡皮擦、铅笔盒等.
(1)小组合作，测量身边矩形(如书本,铅笔盒等)四条边的长度、四个角的度数和对角线的长度及夹角度数,并将结果记录下表.
AC BD ∠BAD ∠ADC ∠BCD ∠ABC
橡皮擦
课本
桌子
物体
测量
（实物）
(2)根据测量的结果,猜想结论.当矩形的大小不断变化时，发现的结论是否仍然成立？
A
B
C
D
O
（形象图）
结论：角： ；对角线： .
四个角为90°
相等
证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠CDA,∠BCD=∠DAB(矩形的对角相等)
AB∥DC(矩形的对边平行).
∴∠ABC+∠BCD=180°.
已知：如右图,四边形ABCD是矩形,∠ABC=90°,对角线AC与DB相交于点O.
求证：(1)∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°；(2)AC=DB.
证一证
∴∠BCD = 90°.
∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB =90°.
又∵∠ABC = 90°,
A
B
C
D
O
(2)∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC(矩形的对边相等).
在△ABC和△DCB中，
∵AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC= CB，∴△ABC≌△DCB.
∴AC=DB.
矩形除了具有平行四边形的所有性质，还具有性质：
几何语言：
矩形的性质定理 1：矩形的四个角都是直角.
矩形的性质定理 2：矩形的对角线相等.
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°，AC = DB.
活动2 请同学们准备一张矩形纸片，折一折，观察并思考：矩形是不是轴对称图形？如果是，那么对称轴有几条？
A
B
C
D
l1
l2
2 条对称轴
矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形，对称轴为通过对边中点的直线.
例题：如图，矩形 ABCD 被两条对角线分成四个小三角形，如果这四个小三角形周长的和是 86 cm，矩形的对角线长是 13 cm，那么该矩形的周长是多少？
解：∵△AOB、△BOC、△COD 和△AOD 这四个小三角形周长的和为 86 cm，
∴AB + BC + CD + DA + 2(OA + OB + OC + OD)
= AB + BC + CD + DA + 2(AC + BD) = 86.
又∵AC = BD = 13 (矩形的对角线相等)，
∴AB + BC + CD + DA = 86－2(AC + BD)
= 86－4×13 = 34 (cm).
即该矩形的周长是 34 cm.
A
B
C
D
O
1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O， 下列说法错误的是（　　）
A．AB∥DC B．AC=BD C．AC⊥BD D．OA=OB
A
B
C
D
O
C
2.如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，∠DAE：∠BAE＝3：1，求∠BAE和∠EAO的度数．
解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，
AO＝AC，BO＝BD，AC＝BD，
∴∠BAE＋∠DAE＝90°，AO＝BO.
又∵∠DAE：∠BAE＝3：1，∴∠BAE＝22.5°，∠DAE＝67.5°.
∵AE⊥BD，∴∠ABE＝90°－∠BAE＝90°－22.5°＝67.5°，
∴∠OAB＝∠ABE＝67.5°
∴∠EAO＝67.5°－22.5°＝45°.
矩形的相关概念及性质
定义：有一个角为直角的平行四边形是矩形
矩形具有平行四边形的一般性质
矩形的性质定理 1：矩形的四个角都是直角
矩形的性质定理 2：矩形的对角线相等
轴对称图形
对称轴为通过对边中点的直线
1. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC 与 BD 相交于点O，则下列结论一定正确的是（ ）
A.AB＝AD B.AC⊥BD
C.AC＝BD D.∠ACB＝∠ACD
C
2. 如图，矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O， ∠AOD ＝ 70°，则 ∠BAC 的度数为 ( )
A. 25° B. 35° C. 45° D. 55°
B
3. 如图，四边形 ABCD 是一个矩形，其中AD＝5， AB＝12，则 AC 的长为_____.
A
B
D
C
5
5
12
13
4.如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的_____.
5. 如图，矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 O，∠AOD = 120°.
求证：AC = 2AB.
证明: ∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ AC ＝BD，OA ＝OC ＝ AC＝OB ＝OD ＝ BD.
∴ OA ＝OB.
∵ ∠AOD ＝120°，∴ ∠AOB ＝180°－∠AOD ＝60°.
∴ △AOB 是等边三角形.
∴ AB ＝OA.
∴ AC ＝2OA＝2AB.
A
B
D
C
O

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