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第二章 相交线与平行线 单元测试卷
用时:120分钟 总分:120分 得分:
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
1. (2025·福建中考)某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放,其中点A,E,C,F 在同一条直线上,∠BAC=∠EDF=90°,∠B=45°,∠DEF=60°.当AD∥BC时,∠ADE的大小为( ).
A. 5° B. 15° C. 25° D. 35°
2.(2025·潍坊二模)如图,直线AB,CD 相交于点O,∠POC=∠AOC.若∠BOD=25°,则∠BOP 的大小为( ).
A. 25° B. 120° C. 130° D. 155°
3. 如图,DF∥AB,∠BAC=120°,∠ACE=100°,则∠CED 为( ).
A. 30° B. 40° C. 60° D. 80°
4.下列说法中正确的有( ).
①从直线外一点到已知直线的垂线段叫作点到直线的距离；
②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；
③A,B,C 三点在同一直线上且AB=BC,则B是线段AC的中点;
④在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行与相交.
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
5.(2025·山东济南高新区期中)如图，把三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=28°，则∠2的度数为( ).
A. 68° B. 62° C. 52° D. 28°
6.如图，测量运动员跳远成绩选取的是AB 的长度，其依据是( ).
A.两点确定一条直线 B.垂线段最短
C.两点之间线段最短 D.两点之间直线最短
7.(2025·四川成都武侯区期末)直线a,b,c,d如图所示,在下列条件中,能使c∥d 的是( ).
A. ∠1=∠2 B. ∠3+∠4=180° C. ∠4=∠6 D. ∠5=∠6
8.(2025·四川甘孜州期末)在同一平面内，两直线可能的位置关系是( ).
A.相交 B.平行
C.相交或平行 D.相交、平行或垂直
9.如图是一盏可调节台灯的示意图.固定支撑杆AO垂直底座MN 于点O，AB 与BC 是分别可绕点A和B 旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点 C 旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线CD，CE组成的∠DCE 始终保持不变.现调节台灯,使外侧光线CD∥MN,CE∥BA,若∠BAO=158°,则∠DCE的度数为( ).
A. 58° B. 68° C. 32° D. 22°
10.(2025·江西抚州期末)如图,A,O,B 三点在同一直线上,且OC平分∠BOD,OE 平分∠AOD,下列结论:①∠BOC 与∠AOE 互余;②∠BOE 与∠EOD 互补;③∠AOD+∠BOE-∠DOE=180°;④∠AOC-∠BOC=2∠DOE.其中正确的有( ).
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)
11.如果∠α与∠β的两边分别垂直,∠α比∠β的2倍少42°,则∠α的度数是 .
12.如图,DH∥EG∥BC,DC∥EF,图中与∠1相等的角是 .
13.(2025·浙江绍兴新昌期中)如图,直线AB,CD 相交于点O,OE⊥CD,∠BOE=55°,则∠AOC= 。
14. (2025·山东济南高新区期中)如图，把长方形ABCD 沿EF 折叠，点A，B 分别落在点G,H 处,若∠1=50°,则∠GED 的度数是 .
15.如图,若∠BAP=90°-α,∠APD=90°+α,且 则α= .
16.如图,有两个正方形夹在AB 与CD中,且AB∥CD,若∠FEC=10°,两个正方形临边夹角为150°,则∠1的度数为 度.(正方形的每个内角为90°)
17.若同一平面内的∠A 与∠B 的一组边互相平行，另一组边互相垂直，且∠A 比∠B 的2倍少 30°,则∠B 的度数为 .
18.(2025·上海崇明区期中)如图,已知AB∥CD,点M,N分别是直线AB,CD上的点,点E,F在AB,CD之间,且位于MN的两侧,MF,NF分别平分∠AME 与∠CNE,点G在△MNE内部,且∠GMN= 如果∠MGN=α°,那么∠MFN的度数为 (用含α的代数式表示)
三、解答题(本大题共8小题，共66分)
19.(6分)(2025·广东云浮郁南期中)如图,直线AB,CD 相交于点O,射线OE 在∠DOB 内部,且∠DOE=2∠BOE,过点O作OF⊥OE.
(1)若∠COF=54°,求∠BOE 的度数.
(2)若∠COF=∠DOE,则OB 平分∠DOF 吗 为什么
20.(6分)如图,在三角形ABC中,点D,F在边BC上,点E在边AB上,点G在边AC上,EF与GD的延长线交于点 H,∠1=∠B,∠2+∠3=180°.
(1)试说明:EH∥AD;
(2)若∠DGC=58°,且∠H-∠4=10°,求∠H 的度数.
21.(8分)(2025·湖北黄石大冶期中)完成下面的推理.
如图,点E,F分别在AB 和CD上,∠1=∠D,∠2与∠C互余,AF⊥CE 于点G,试说明:AB∥CD.解:∵AF⊥CE,∴∠CGF=90°( ).
∵∠1=∠D(已知),
∴ ∥ ( ),
∴∠4=∠CGF=90°( ).
∵∠2+∠3+∠4=180°(平角的定义),
∴∠2+∠3=90°.
∵∠2与∠C互余(已知),
∴∠C=∠3(同角的余角相等),
∴AB∥CD( ).
22.(8分)[问题情境]在综合与实践课上，同学们以“一个含 角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动.如图(1)，已知两直线a，b且 三角形 ABC 是直角三角形，
[操作发现](1)在图(1)中, 求 的度数.
(2)如图(2)，创新小组的同学把直线a向上平移，并把 的位置改变，发现 ，请说明理由.[实践探究](3)缜密小组在创新小组发现结论的基础上，将图中的图形继续变化得到图(3)，AC平分此时发现 与又存在新的数量关系，请直接写出 与 的数量关系.
23.(8分)(2025·广东惠州惠城期中)如图(1),点 A 是直线HD 上一点,C 是直线GE 上一点,B 是直线HD,GE 之间的一点,
(1)试说明:
(2)如图(2),作CF 与的平分线交于点 F.若求 的度数；
(3)如图(3),CR 平分,BN 平分已知求的度数.
24.(8分)(2025·湖北襄阳期末)已知AB∥CD.
(1)如图(1),CM平分∠BCE,若∠ABC=60°,求∠MCE 的度数;
(2)如图(2),CM平分∠BCE,CN⊥CM,判断∠BCN 与∠B 的数量关系,并说明理由;
(3)如图(3),CM 平分∠BCE,BP 平分∠ABC,CQ⊥CM,试说明:BP∥CQ.
25.(10分)(2025·陕西西安未央区期末)如图(1),AD∥BC,∠BAD的平分线交BC于点G,∠BCD=90°.
(1)试说明:∠BAG=∠BGA;
(2)如图(2),点F 在AG 的反向延长线上,连接CF 交AD 于点E,若∠BAG-∠F=45°,试说明:CF平分∠BCD;
(3)如图(3),线段AG 上有点 P,满足∠ABP=3∠PBG,过点C作CH∥AG.若在直线AG 上取一点M,使∠PBM=∠DCH,求 的值.
26.(12分)(2025·山东济南实验初级中学期中)如图(1)，光的反射遵循反射定律，入射光线经过反射后形成反射光线，ON 是法线，垂直于反射面，其中入射角等于反射角.
[问题初探]
(1)如图(2),当两面镜子AB,BC的夹角时，若 则 DE 与 FG的位置关系是 ；
(2)如图(3),当两面镜子AB,BC的夹角且 时，入射光线 DE 经两次反射后形成反射光线FG，设入射光线 DE 所在直线与反射光线 FG所在直线交于点 H，求 的度数；
(3)当两面镜子AB,BC 的夹角. 时，在两面镜子中间点 P 处有一点光源，如图(4)，若从点 P 发射一束光射向AB，入射光线与镜面的夹角反射后的光线为MK，再从点 P 发射一束光射向BC，若使反射后的光线. 求PN与BC的夹角的度数.
1. B [解析]∵∠BAC=90°,∠B=45°,∴∠ACB=45°.
∵AD∥BC,∴∠DAE=∠ACB=45°.
∵∠DEF═60°,∴∠AED═120°,∴∠ADE ═180°═ 故选 B.
2. C [解析]∵∠BOD=25°,
∴∠POC=∠AQC=∠BOD=25°.
∴∠BOP=180°-∠AOC-∠COP=130°.故选 C.
3. B [解析]如图,过点C 作CG∥AB.
∵DF∥AB,∴DF∥AB∥CG,
∴∠1+∠CAB=180°,∠2=∠CED.
∵∠BAC=120°,∠ACE=100°,
∴∠1=60°,∠2=∠ACE-∠1=40°,
∴∠CED=∠2=40°.故选B.
4. C [解析]从直线外一点到已知直线的垂线段的长度叫作点到直线的距离，故①错误；
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，故②正确；
A,B,C三点在同一直线上且AB=BC,则B 是线段AC 的中点，故③正确；
在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行与相交，故④正确.综上所述，正确的共有 3个.故选 C.
5. B [解析]如图,由题意,得∠BAC=90°,
∴∠1+∠3=90°.
∵∠1=28°,∴∠3=62°.
∵a∥b,∴∠2=∠3=62°.
故选 B.
6. B
7. C [解析]A.∠1=∠2,判定a∥b,不符合题意;
B.∠3+∠4=180°,判定a∥b,不符合题意;
C.∠4=∠6,判定c∥d,符合题意;
D.∠5=∠6，不能判定任何直线相互平行，不符合题意.故选 C.
8. C
9. B [解析]如图,过点 A 作AG∥MN,过点 B 作BH∥CD.
∵CD∥MN,∴AG∥MN∥BH∥CD.
∵OA⊥MN,∴AG⊥OA,即∠OAG=90°.
∵∠BAO=158°,
∴∠BAG=∠BAO-∠OAG=68°,
∴∠ABH=∠BAG=68°.
∵CE∥AB,BH∥CD,
∴∠ABC+∠BCE=180°,∠CBH+∠BCD=180°,
∴∠ABH+∠CBH+∠BCE=180°,∠CBH+∠BCE+∠DCE=180°,∴∠DCE=∠ABH=68°.故选 B.
10. D [解析]∵A,O,B 三点在同一直线上,
∴∠BOD+∠AOD=∠AOB=180°,
∵OC 平分∠BOD,OE 平分∠AOD,
∴∠BOC 与∠AOE 互余,故①正确;
∵∠BOE+∠EOD=∠BOE+∠AOE=∠AOB=180°,
∴∠BOE 与∠EOD 互补,故②正确;
∵∠AOD +∠BOE-∠DOE =∠AOD +∠BOD +∠DOE-∠DOE=∠AOD+∠BOD=180°,故③正确;
∵∠AOC-∠BOC=∠AOD+∠COD-∠BOC=∠AOD=2∠DOE,故④正确.
综上所述，正确的有4个.故选 D.
11.42°或106°[解析]∵∠α比∠β的2倍少42°,
∴∠α=2∠β-42°.
∵∠α与∠β的两边分别垂直，
∴∠α=∠β或∠α+∠β=180°.
当∠α=∠β时,2∠β-42°=∠β,
解得∠β=42°,
此时∠α=∠β=42°;
当∠α+∠β=180°时,2∠β-42°+∠β=180°,
解得∠β=74°,
综上所述,∠α的度数是42°或106°.
12.∠FEK,∠DCF,∠CKG,∠EKD,∠KDH
13.35 [解析]∵OE⊥CD,∴∠DOE=90°.
又∠BOE=55°,∴∠BOD=90°-55°=35°,
则∠AOC=∠BOD=35°.
14.50°[解析]∵∠1=50°,
∴∠BFH=180°-∠1=130°.
由折叠，得
∵AD∥BC,∴∠AEF=180°-∠BFE=115°,∠DEF=∠BFE=65°.
由折叠,得∠GEF=∠AEF=115°,
∴∠GED=∠GEF-∠DEF=50°.
15. 20° [解析]如图,过点 E 作 EM∥AB,过点 F 作FN∥CD.
∵∠BAP=90°-α,∠APD=90°+α,
∴∠BAP+∠APD=180°,
∴CD∥AB,∴AB∥ME∥FN∥CD.
∵AB∥ME,FN∥CD,
∴∠BAE=∠AEM,∠NFP=∠CPF.
∵∠BAE=∠CPF,∴∠AEM=∠NFP.
∠NFE=∠EFP-∠NFP=2α-10°-∠NFP.
∵ME∥FN,∴∠MEF=∠NFE,
∵∠AEM=∠NFP,
解得α=20°.
16.70 [解析]如图,作FI∥AB,GK∥AB,HJ∥AB.
因为AB∥CD,所以AB∥CD∥FI∥GK∥HJ,
所以∠IFE=∠FEC=10°,
所以∠GFI=90°-∠IFE=80°,
所以∠KGF=∠GFI=80°,
所以∠HKG=150°-∠KGF=70°,
所以∠JHG=∠HKG=70°,
所以∠2=90°-∠JHG=20°,
所以∠3=∠2=20°,
所以∠1=90°-∠3=70°.
17.40°或100° [解析]如图(1),延长AC,交 BF 于点 D.
∵AE∥BF,∴∠A+∠1=180°,∴∠1=180°-∠A.
∵∠A=2∠B-30°,
∴∠1=180°-(2∠B-30°)=210°-2∠B.
∵AC⊥BC,∴∠1+∠B=90°,
∴210°-2∠B+∠B=90°,
∴∠B=120°(不符合题意,舍去);
若∠B=120°,则∠A>180°,因此不符合题意如图(2),
∵AE∥BF,∴∠A=∠1.
∵∠A=2∠B-30°,∴∠1=2∠B-30°.
∵AC⊥BC,∴∠1+∠B=90°,
∴2∠B-30°+∠B=90°,∴∠B=40°;如图(3),过点C作CM∥BF.
∵AE∥BF,∴AE∥BF∥CM,
∴∠B+∠BCM=180°,∠A+∠ACM=180°,
∴∠B+∠BCM+∠A+∠ACM=360°,即∠B+∠BCA+∠A=360°.
∵AC⊥BC,∴∠BCA=90°,∴∠B+∠A=270°.
∵∠A=2∠B-30°,∴∠B+(2∠B-30°)=270°,
∴∠B=100°.
综上所述,∠B 的度数为40°或 100°.
[解析]∵MF平分∠AME,
设∠AMF=∠EMF=x,则∠AME=2x.
∵NF 平分∠CNE,∴∠CNF=∠ENF=∠CNE
设∠CNF=∠ENF=y,∴∠CNE=2y.
如图,过点 F 作FH∥AB.
∵AB∥CD,∴FH∥CD,∴∠HFN=∠FNC=y.
∵AB∥FH,∴∠MFH=∠AMF=x,
∴∠MFN=∠MFH+∠HFN=x+y.如图,过点G作GP∥AB.
∵AB∥CD,∴GP∥CD,∴∠PGN=∠GND.
又 PG∥AB,∴∠MGP=∠BMG,∴∠MGN=∠MGP+∠NGP=∠BMG+∠DNG=α°.
又
如图,过点 E作EQ∥AB.
∵AB∥CD,∴EQ∥CD,
∴∠QEN=∠END=180°-∠CNE=180°-2y.
∵QE∥AB,∴∠QEM=∠BME=180°-∠AME=180°-2x,
∴∠MEN=∠MEQ+∠QEN=180°-2x+180°-2y=360°-2(x+y),
又∠GMN+∠GNM=180°-∠MGN=180°-α°,
19.(1)∵OF⊥OE,∴∠EOF=90°.
∵∠COF=54°,∴∠DOE=180°-∠EOF-∠COF=180°-90°-54°=36°.
∵∠DOE=2∠BOE,
(2)OB 平分∠DOF.理由如下:
∵∠COF=∠DOE,∠COF+∠DOE=90°,
∴∠COF=∠DOE=45°.
∵∠DOE=2∠BOE,∴∠BOE=22.5°,
∴∠DOB=∠DOE+∠BOE=45°+22.5°=67.5°,∠BOF=∠EOF-∠BOE=90°-22.5°=67.5°,
∴∠DOB=∠BOF,∴OB 平分∠DOF.
20.(1)∵∠1=∠B,∴AB∥GD,∴∠2=∠BAD.
∵∠2+∠3=180°,∴∠BAD+∠3=180°,
∴EH∥AD.
(2)∵AB∥HG,∴∠BAC=∠DGC=58°.
∵EH∥AD,∴∠2=∠H.
∵∠2=∠BAD,∴∠H=∠BAD,
∴∠BAC=∠BAD+∠4=∠H+∠4=58°.
∵∠H-∠4=10°,∴∠H=∠4+10°,
∴2∠4+10°=58°,
∴∠4=24°,∴∠H=34°.
21.垂直的定义 AF DE 同位角相等，两直线平行两直线平行，同位角相等 内错角相等，两直线平行
22.(1)如图(1),
∵∠BCA=90°,∴∠3=90°-∠1=44°.
∵a∥b,∴∠2=∠3=44°.
(2)如图(2),过点 B 作BD∥a,则∠ABD=180°-∠2.
∵a∥b,BD∥a,∴BD∥b,∴∠DBC=∠1.
∵∠ABC=60°,∴180°-∠2+∠1=60°,
∴∠2-∠1=120°.
(3)∠1=∠2.理由如下:
∵AC平分∠BAM,∴∠BAM=2∠BAC=60°.
如图(3),过点 C作CE∥a,
∴∠2=∠BCE.
∵a∥b,CE∥a,∴CE∥b,∠1=∠BAM=60°,
∴∠ECA=∠CAM=∠BAC=30°,
∴∠2=∠BCE=90°-∠ECA=60°,∴∠1=∠2.
23.(1)如图,过点 B 作BP∥AD,
∴∠ABP=∠HAB.
∵∠ABC=∠ABP+∠CBP,∠ABC=∠HAB+∠BCG,
∴∠CBP=∠BCG,∴BP∥CE,∴AD∥CE.
(2)∵AF 平分∠HAB,∴∠HAF=∠FAB=β,
∴∠HAB=2∠FAB=2β.
∵∠BCF=∠BCG=α,∴∠FCG=2∠FCB=2α,
由(1)可知∠B =∠HAB +∠BCG,∠F =∠HAF+∠FCG.
∵α+β=40°,
∴∠B+∠F=∠HAB+∠BCG+∠HAF+∠FCG=2β+α+β+2α=3(α+β)=120°.
(3)∵CR平分∠BCG,BN平分∠ABC,
∴∠BCG=2∠BCR,∠ABC=2∠NBC.
∵BM∥CR,∴∠BCR=∠MBC,
∴∠BCG=2∠MBC.
∵∠HAB+∠BCG=∠ABC,
∴∠HAB=∠ABC-∠BCG=2∠NBC-2∠MBC=2(∠NBC-∠MBC)=2∠NBM.
∵∠BAH=50°,∴∠NBM= ∠HAB=25°.
24.(1)如图(1),∵AB∥CD,
∴∠B+∠BCE=180°,∴∠BCE=180°-∠B=120°.
∵CM平分∠BCE,∴∠MCE=∠MCE= ∠BCE=60°.
(2)∠B=2∠BCN.理由如下:
如图(2),
∵CN⊥CM,∴∠MCN=90°,
∴∠ECM+∠NCD=90°,∠MCB+∠BCN=90°.
∵CM平分∠BCE,∴∠ECM=∠MCB,
∴∠BCN=∠NCD.∴∠BCD=2∠BCN.
∵AB∥CD,∴∠B=∠BCD=2∠BCN.
(3)∵AB∥CD,∴∠ABC+∠BCE=180°.
∵CM平分∠BCE,BP 平分∠ABC,
∵CQ⊥CM,∴∠MCQ=90°,∴∠BCM+∠PBC+∠MCQ=180°,即∠PBC+∠BCQ=180°,∴BP∥CQ.
25.(1)∵AD∥BC,∴∠GAD=∠BGA.
∵AG平分∠BAD,∴∠BAG=∠GAD,
∴∠BAG=∠BGA.
(2)如图(1),过点 F 作FM∥BC,
∴∠BGA=∠MFG,∠BCF=∠MFC,
由(1),得∠BAG=∠BGA,
∴∠BAG=∠MFG=∠MFC+∠GFC,即∠BAG-∠GFC=∠MFC.
又∠BAG-∠GFC=45°,∴∠MFC=45°,∴∠BCF=45°.又∠BCD=90°,∴CF 平分∠BCD.
(3)设∠ABC=4x(x>0).
∵∠ABP=3∠PBG,∴∠ABP=3x,∠PBG=x.
∵AD∥BC,∴∠BAD=180°-∠ABC=180°-4x.
由(1),得
∵AG∥CH,∴∠BCH=∠BGA=90°-2x.
∵∠BCD=90°,
∴∠PBM=∠DCH=90°-(90°-2x)=2x.
由题意，分以下两种情况：
①如图(2),当点 M 在BP 的下方时,
∴∠ABM=∠ABP+∠PBM=3x+2x=5x,∠GBM=∠PBM-∠PBG=2x-x=x,
②如图(3),当点 M 在 BP 的上方时,
∴∠ABM=∠ABP-∠PBM=3x-2x=x,∠GBM=∠PBM+∠PBG=2x+x=3x,
综上,∠ABM∠GBM的值是5或
26.(1)55°DE∥FG [解析]∵入射角等于反射角,∴∠1=∠2=35°,∠3=∠4.
∵∠ABC=90°,∴∠2+∠3=180°-90°=90°,
∴∠3=90°-35°=55°,
则∠3=∠4=55°,∴∠EFG=180°-∠3-∠4=70°.
∵∠1=∠2=35°,∴∠FED=180°-∠1-∠2=110°.
∵∠EFG+∠FED=180°,∴DE∥FG.
(2)∵入射角等于反射角,∴∠1=∠2,∠3=∠4.
∵对顶角相等,∴∠1=∠HEB,∠BFH=∠4.
∵∠ABC=100°,∴∠2+∠3=180°-100°=80°,
∴∠HEF+∠HFE=2∠2+2∠3=2(∠2+∠3)=160°,
∴∠EHF=180°-(∠HEF+∠HFE)=180°-160°=20°.
(3)如图所示.
∵入射角等于反射角,∴∠1=∠7,∠2=∠8.
∵NH∥MK,∴∠5+∠6=180°.
∵∠ABC=30°,
∴∠1+∠3+∠4+∠2=180°-30°=150°.
∵∠1+∠3+∠5+∠7=180°,∠2+∠4+∠6+∠8=180°,
∴2∠1+∠3+∠5=180°,2∠2+∠4+∠6=180°,
∴2∠1+∠3+∠5+2∠2+∠4+∠6=360°,
∵∠1=18°,
∴13°+∠1+∠3+∠2+∠2+∠4+∠5+∠6=360°,
∵∠5+∠6=180°,∠1+∠3+∠4+∠2=150°,
∴13°+∠2+150°+180°=360°,∴∠2=17°.

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