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第二十二章 函数
22.2 函数的表示
人教 2024
回顾旧知
1. 什么叫常量？什么叫变量？
2. 函数的概念？对于自变量和函数分别有什么要求？什么叫函数值？
3. 就常量、变量、函数概念举例说明.
4. 什么叫作函数的解析式？写函数解析式的时候要注意什么？
就刚才所举的例子写出对应的函数解析式.
5. 表明函数关系，除了解析式，还学了什么方法？
新课引入
表明函数中函数与自变量之间的关系，可以用解析式. 但是，有些情形下，无法写出函数解析式，这个时候，列表格就比较方便了.
北京天安门广场的国旗每天随日出升起. 某年国庆七天假期每天的升旗时刻如下表所示.
日期x 1 2 3 4 5 6 7
升旗时刻y 6:10 6:11 6:08 6:05 6:12 6:06 6:02
由于日出时间会受到各种因素影响，无法用函数解析式来表明升旗时刻y与日期x之间的关系. 还有，某地一天的气温随时间的变化情况，种子发芽后的生长速度随时间的变化情况等等，都无法写出相应的解析式. 这个时候，列表格就比较直观. 函数解析式表明函数关系有一定的局限性.
但是，列表格也有局限性，如上面的例子中，只能给出部分日期的升旗时刻，对于任意日期的升旗时刻就不好办了.
为了更加全面的了解函数与自变量的关系，再学习一个新的方法——函数图象
如何画函数的图象
正方形的面积S与边长x的函数解析式为S=x2. 下面来画这个函数的图象.
根据问题的实际意义，可知自变量x的取值范围是x>0. 从x的取值范围内选取一些数值，计算出S的对应值，填写下表.
x ... 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 ...
S ... 0.25 1 ...
2.25 4 6.25 9 12.25 16
将自变量(x)的值作为点的横坐标，对应的函数(S)值作为点的
纵坐标，得到一些列的点：
(0.5，0.25)，(1，1)，(1.5，2.25)，(2，4)，(2.5，6.25)，
(3，9)，(3.5，12.25)，(4，16)...
在坐标平面内描出这些点，并用一条平滑的曲线依次连接这些点.
用平滑曲线连接画出的点
用空心圆圈表示不在曲线上的点
根据自变量x的取值范围，曲线要出头
如何画函数的图象
一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.
前面画函数S=x2(x>0)图象的方法称为描点法.
描点法画函数图象一般步骤为：
1. 列表——表中给出一些自变量的值及对应函数值；
2. 描点——在坐标平面内，以自变量的值为横坐标，对应函数值作为纵坐标，描出表格中数值对应的各点；
3. 连线——按照横坐标由小到大的顺序，用平滑曲线顺次连接所描出的各点.
小试牛刀
例1. 在下列式子中，y是x的函数. 用描点法画出这些函数的图象.
(1)y=2x+1 (2)y= (x>0) (3)y=x2+1 (4)y=-2x+6(0≤x≤3)
(1) 可知x可取任意实数. 从x的取值范围内
选取一些数值，算出y的对应值，列表：
x ... -2 -1 0 1 2 ...
y ... ...
-3 -1 1 3 5
小试牛刀
(2)y= (x>0)
可知x的取值范围是全体正实数. 从x的取值范围内选取一些数值，算出y的对应值，列表：
x ... 0.5 1 2 3 4 5 6 ...
y ... ...
6 3 1.5 1 0.75 0.6 0.5
小试牛刀
(3)y=x2+1
可知x的取值范围是全体实数. 从x的取值范围内选取一些数值，
算出y的对应值，列表：
x ... -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 ...
y ... ...
5 3.25 2 1.25 1 1.25 2 3.25 5
小试牛刀
(4)y=-2x+6(0≤x≤3)
可知x的取值范围是0≤x≤3. 从x的取值范围内选取
一些数值，算出y的对应值，列表：
x 0 1 2 3
y 6 4 2 0
如何看函数图象
一. 看函数图象上的点
1.图象上点的横坐标和纵坐标分别对应着函数中自变量的值及对应的函数值，看图象上的点可以知晓自变量的某个值及所对应的函数值.
如：例1(1)中，函数图象上有点(1，3)，说明当自变量x取值为1时，对应的函数y的值是3.
2.有些涉及到实际问题的函数关系中，图象上点的坐标有实际含义.
如：前面正方形S与边长x之间的函数关系问题中，函数图象上有点(3.5，12.25)，说明当自变量x取值为3.5时，对应的函数y的值是12.25，针对实际问题，就是当正方形的边长为3.5时，其面积为12.25.
例. (1)判断A(6，0.5)，B(2，1)，C(12，0.25)是否在例1(2)的函数图象上；
(2)若点P(4，a)和点Q(m，13)均在例1(3)的函数图象上，求a、m的值.
如何看函数图象
3.图象上的最高点和最低点，分别对应着函数取最大值和最小值的情况.
如：例1(4)中，函数图象有最高点(0，6)，说明函数y有最大值6，此时自变量的取值为0.
函数图象有最低点(3，0)，说明当自变量的取值为3时，函数y有最小值0.
不是所有的函数图象都有最高点和最低点. 图象有最高点，说明函数有最大值；图象有最低点，说明函数有最小值；有的函数图象既没有最高点也没有最低点，说明这个函数既没有最大值也没有最小值；
如：例1(1)和(2)，图象既没有最高点也没有最低点，函数既没有最大值，也没有最小值；
例1(3)中，函数图象有最低点(0，1)，说明当x=0时，函数y有最小值为1.
例. (1)已知点A是函数 的最低点，求A的坐标；
(2)若点P(a，4)是函数y=x2-8x+m的函数图象的最低点，求a和m的值.
如何看函数图象
二. 看函数图象的变化趋势
图象上点的横坐标和纵坐标分别对应着函数中自变量的值及对应的函数值，从左到右，自变量的值逐渐增大；从下到上，函数值逐渐增大.
函数图象从左到右上升，说明随着自变量的增大，函数值随之增大，我们说图象呈上升趋势；
函数图象从左到右下降，说明随着自变量的增大，函数值随之减小，我们说图象呈下降趋势.
如：例1(1)，图象从左到右上升，y随x的增大而增大.
例1(2)和(2)，图象从左到右下降，y随x的增大而减小.
例1(3)的情况呢？
当x<0时，图象呈下降趋势，y随x的增大而减小；
当x>0时，图象呈上升趋势，y随x的增大而增大.
小试牛刀
1. (课本P105 Ex1)园林队在某公园进行绿化，中间休息了一段
时间. 已知绿化面积S(m2)与工作时间t(h)的函数关系如图所示.
(1)休息前，园林队工作了多长时间？绿化面积为多少？
(2)园林队中间休息了多长时间？
(3)休息后，园林队每小时完成的绿化面积为多少？
2. (2025成都中考)小明从家跑步到体育馆，在那里锻炼了一段时间后又跑步到书店买书，然后步行回家(小明家、书店、体育馆)依次在同一直线上)，如图表示的是小明离家的距离与时间的关系. 下列说法正确的是( )
A 小明家到体育馆的距离为2km；
B 小明在体育馆锻炼的时间为45min；
C 小明家到书店的距离为1km；
D 小明从书店到家步行的时间是40min.
小试牛刀
3. 甲、乙两人在一次100米赛跑中，路程S(m)与时间t(s)的函数关系如图所示，则 先到终点. (填"甲"或"乙")
4. 小王前往距家2000m的公司参会，先以v0(m/min)的速度步行一段时间后，再改骑共享单车直达会议地点，到达时距会议开始还有14min，小王距家的路程S(m)与离家的时间t(min)之间的函数图象如图所示，若小王全程以v0(m/min)的速度步行，则他到达时距会议开始还有 min.
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5. 如图是佳佳乘坐过山车在1分钟之内的高度h(m)与时间t(s)之间的函数图象.
(1)当t=27秒时，过山车的高度是 米；
(2)请直接写出在这1分钟之内过山车有几次高度达到90米；
(3)求在这一分钟内过山车的最大高度与最小高度的差.
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6. 心理学家研究发现，遗忘在新事物学习之后立即开始，而且遗忘的进程并不是均匀的，如果把学习后的时间记为x(h)，记忆留存率记为y(%)，则根据实验数据可绘制出曲线如下. 请认真观察图象，回答下列问题：
(1)说明点D的实际意义.
D(24，33.7) 说明，当学习后的时间为24小时时，记忆留存率为33.7%.
(2)由图可知，知识记忆遗忘先 后 ，记忆留存率随学习后时间的增长而逐渐 .
(填序号)
小试牛刀
7. 如右图是一个高为24的容器，现向容器匀速注水，下列图象中能大致反映容器中水的深度(h)与注水量(V)之间的关系的是( )
8. 如右图，构建问题情境，使其中变量之间的函数关系可以用右图中的图象来表示.
函数图象的应用
表示函数关系的方法有三种，分别是解析法、列表法和图象法.
对于一个具体的函数问题，应当选择适当的方法表示其中的函数关系.有时为全面认识问题，需要同时使用多种方法.
例2. 一个水库的水位在最近5小时内持续上涨. 下表记录了这5小时内6个时间点的水位高度，其中t表示时间，y表示水位高度.
t/h 0 1 2 3 4 5
y/m 3 3.3 3.6 3.9 4.2 4.5
(1)在坐标平面内描出表中数据对应的点，这些点是否在一条直线上？
由此你能发现水位变化有什么规律吗？
(2)水位高度y是不是时间t的函数？如果是，写出一个符合表中数据的函数
解析式，并画出这个函数的图象. 这个函数能表示水位的变化规律吗？
(3)如果这种上涨规律还会持续2h，那么2h 后水位高度将为多少米？
有些函数的不同表示法之间可以转化
小试牛刀
1. (课本P109 T9)甲、乙两辆汽车从A城出发前往B城. 在整个行程中，两车离开A城行驶的路程y与时刻t的对应关系如图所示.
(1)从A城到B城，甲、乙两车各行驶了多少千米？
(2)哪辆车先出发？哪辆车先到B城？
(3)甲、乙两车的平均速度分别是多少？
(4)你还能从图中得到哪些信息？
2. 已知动点P以1cm/s的速度沿图1的边框按B→C→D→E→F→A的路径运动，△ABP的面积S(cm2)随时间t(s)的变化如图2所示，试回答下列问题：
(1)图1中，
AB= ，BC= ；
图2中a= ，b= ；
(2)图1中的这个多边形的面积是 ；
(3)将图2中的数据转化到图1中，当t=4s时，P点运动到点 ，当t=6s时，P点运动到点 ，当P点运动到AF的中点时，t= .
小试牛刀
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3. 规定为[m]不大于m的最大整数，如[5.3]=5，[-5.3]=-6.
(1)在下图中描点、连线画出满足上述定义的函数y=5-[m](0≤m<5)的图象；
(2)某共享单车的计费规则为：骑行时长在1小时及以内，每半小时计费1元(不足半小时按半小时计算)，骑行时长超出1小时的部分，每小时计费0.5元(不足1小时的
部分不作计算)，请用含[ ]的式子表示骑行时长t(单位：小时)超出1
小时后，所收取的费用y= ，并由此计算骑行4.7小时，
应收费 元.
再 见

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