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浙江省舟山市五校联盟2025-2026学年高一下学期4月期中调研
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.化简后等于( )
A. B. C. D.
2.如图所示，观察四个几何体，其中判断错误的是( )
A. 不是棱台 B. 不是圆台
C. 不是棱锥 D. 是棱柱
3.在中，角、、的对边分别为、、，若，，，则( )
A. B. C. D. 或
4.已知是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题中，真命题是
A. 若，，则与必异面
B. 若点，点，则直线
C. 若，，则
D. 若点，点，则直线与相交
5.设，则 ( )
A. B. C. D.
6.若圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是，则圆锥的体积是( )
A. B. C. D.
7.设是单位向量，且，则的最小值为
A. B. C. D.
8.如图，在等腰直角三角形中，，是线段上的点，且，则的取值范围是
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，为虚数单位，为的共轭复数，则下列说法正确的是( )
A. 若是纯虚数，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则在复平面内对应点位于第三象限
10.如图，该几何体由高均为的圆锥与圆柱组成，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，若该几何体底面半径为，则( )
A. 圆锥的母线长为 B. 圆锥与圆柱的体积比为
C. 该几何体的表面积为 D. 圆锥侧面展开图的圆心角为
11.点在所在平面内，下列说法正确的是( )
A. 若点为的重心，则
B. 若则
C. 若，则为锐角三角形
D. 若为边长为的正三角形，点在线段上运动，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知是关于的方程的根，则 ．
13.已知正四棱台的上底面边长为，侧棱长为，高为，则该正四棱台的下底面边长为 ．
14.如图，在中，，与交于，求 ；设的面积为，的面积为，
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设为坐标原点，，，，
求中点坐标
求在上的投影向量的坐标
与夹角为锐角，求实数的取值范围．
16.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，，且．
求，；
求的面积及．
17.本小题分
如图，在圆锥中，是底面圆的直径，，，为底面圆上的点，，，是母线的中点．
求证：
求证：平面
求四棱锥的体积及圆锥的表面积．
18.本小题分
已知在复平面内，复数所对应的点分别为，．为坐标原点，是虚数单位．
若，求与；
向量，对应的复数分别为，，若，求实数；
已知复数满足，求的最值．
19.本小题分
如图，在中，是上的一点，是的中点，过点的直线与边，分别相交于点，设，，
若，，求的值．
在的条件下，求的最小值．
若是边长为的等边三角形，且点为的中点，求的最小值．
参考答案
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14.
15.解：设，则
由，则，
由，则，即，
联立，解得：
则，即的坐标为，
由于的坐标为，
所以中点坐标为
由于，，
所以在上的投影向量为
由题可得，，
因为与夹角为锐角，则，且与不同向，
即，解得：且，
即实数的取值范围为

16.，；
，．
17.解：连接，因为，，
所以且，所以四边形是平行四边形，
所以；
取中点，连接，因为分别是中点，所以，
所以，所以四边形是平行四边形，
所以，平面，平面，
所以平面；
圆锥的高，因为是母线的中点，所以四棱锥的高为，
取中点，连接，，
所以，
四棱锥的体积为
，
圆锥的表面积为．

18.解：若，则，
由于对应向量，
对应向量，
所以；
由于，
所以，，
则，
则，
化简可得：，解得：或；
设，则，
由，可得：，
化简得：，所以或，
由于，
当时，，且，所以，
所以时，，
当时，，
当时，，且，所以，
所以时，，
当时，，
综上，的最大值为，最小值为

19.解：，，
为中点，，，
．
由得：，
三点共线，，
．
当且仅当，即，时取等号，
的最小值为．
因为是边长为的等边三角形，且点为的中点，
所以．
因为是的中点，所以，
因为三点共线，所以，即．
，
，
，，，
，
，
，
，即．
又，，解得：当且仅当时取等号，
，
，当时，取得最小值，
即的最小值为．

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