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浙江温州十校联合体2025-2026学年高二第二学期期中联考
数学学科练习
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，，则( )
A. B. C. D.
2.在一个文艺比赛中，位观众评委给同一名选手的打分依次为：，，，，，，，，，，，，这组数据的第百分位数为( )
A. B. C. D.
3.已知，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知函数，则( )
A. B. C. D.
5.已知直线是曲线的一条切线，则( )
A. B. C. D.
6.已知，则( )
A. B. C. D.
7.用数字，，，，，组成一个无重复数字的六位数，该数能被整除且万位上的数字小于千位上的数字，则这样的六位数共有个
A. B. C. D.
8.在菱形中，，点为线段上一点，且，点为线段上的一个动点包括端点，若，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，则以下说法正确的是( )
A. 复数的虚部为 B. 的模为
C. 的共轭复数 D. 是方程的一个根
10.下列说法正确的是( )
A. 若随机变量，且，则
B. 若样本数据的方差为，则数据的方差为
C. 一组样本数据，，，，，其经验回归方程为，则
D. 利用进行独立性检验时，的值越大，判断两个分类变量不独立的把握越大
11.已知函数满足，，，，当时，，则( )
A. B. 是偶函数
C. 在上单调递增 D. 存在，使得恒成立
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在的展开式中，含项的系数是 ．
13.已知函数在上的值域为，则的取值范围是 ．
14.已知四面体满足，其余五条棱长均为，该四面体的外接球球心为点，内切球球心为点，过直线的平面截四面体所得的截面的周长为，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知中，角，，的对边分别为，，，且满足．
求角的值．
若，求的最大值．
16.本小题分
如图，在正三棱台中，，，点为的重心．
求证：．
求直线与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
已知函数是偶函数，
求的值．
令，，
(ⅰ)求的值域．
(ⅱ)若不等式对任意恒成立，求的取值范围．
18.本小题分
甲、乙两条生产线生产同一种电子产品，甲生产线的产品合格率为，乙生产线的产品合格率为现将两条生产线的产品混合在一起，则合格品率为．
求甲、乙两条生产线的产量之比．
从混合产品中随机抽取件，记其中甲生产线生产的件数为，以频率估计概率，求的分布列及数学期望．
从混合产品中随机抽取件，若发现恰有件甲生产线生产的不合格品，记这一事件发生的概率为，求取得最大值时的值．
19.本小题分
已知函数，，
当时，求函数的单调区间．
求证：．
令，若对任意不同的，，都有，求实数的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：法一：借助余弦定理可得，
，，，；
法二：借助正弦定理可得，
，，
，，，，；
法一：，，
，
，即，当且仅当时取等．
的最大值为．
法二：由，得，．
，
当时，取到最大值．

16.解：如图，延长交于点，取的中点，连接和，
点为的重心，为正三角形，
点为的中点，，
又点为的中点，侧面是等腰梯形，
，
，平面，平面，
平面，．
法：
如图，以点为坐标原点建立空间直角坐标系．
则，，．
在梯形中，作交于点，作交于点，
由正三角形的性质可得，，由勾股定理得，
由，
即可得，由勾股定理得．
，，
，，．
设平面的法向量为．
由得，令，则，．
．
，
直线与平面所成角的正弦值为．
法：
如图，过点作交于点，连接．
平面平面，
平面平面．
又平面平面，平面，，
平面，
是直线与平面所成角．
在梯形中，作交于点，作交于点，
由正三角形的性质可得，，由勾股定理得，
由，
即可得，
所以，所以．
．
在中，，即直线与平面所成角的正弦值为．
法：
如图，补形为正三棱锥．
设点到平面的距离为，直线与平面所成角为．
，，
由，，知，，
由勾股定理得，即，
，即直线与平面所成角的正弦值为．

17.解：是偶函数，
即
，，
，．
由可得．
，
令，则．
，．
在上单调递增，
的值域为．
(ⅱ)令，则，．
不等式，可化为，即对任意恒成立．
令，的对称轴为，只需．
当时，恒成立．
当时，在单调递增，，解得．
当时，在单调递减，，解得．
综上所述，的取值范围是．

18.解：设甲生产线生产的这批电子产品有件，乙生产线生产的这批电子产品有件，
事件“混合在一起的电子产品来自甲生产线”，事件“混合在一起的电子产品来自乙生产线”，
事件“混合在一起的某一零件是合格品”，
则，．
由，得．
所以甲、乙两条生产线的产量之比为．
由可知，甲生产线产品占总量的，所以
，
，
，
，
所以的分布列：
．
从混合产品中抽取件是甲生产线生产的不合格品的概率为，
则，
由，解得．
所以当或时，取得最大．
19.解：当时，，．
令得，令得．
所以函数的单调增区间为，单调减区间为．
函数的定义域为，求导得，
，，
使得，即，，
又在上单调递增，
当时，；当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
，
在上单调递减，
，即．
，
，且都有，即．
在上单调递减，在上单调递增．
在上恒成立，在上恒成立．
，
令，在上单调递增，，．
在上恒成立，在上恒成立，
由得，令，则．
，在上单调递减，，
所以．
由得，令，则．
，当时，单调递增；当时，单调递减．
，所以．
综上所述，实数的取值范围为．

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