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浙江省温岭市第二中学等校2025-2026学年高一下学期期中
数学学科练习
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.在复平面内，复数对应的点位于 ．
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.下列说法正确的是( )
A. 有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥
B. 相等的角在直观图中仍然相等
C. 有两个面相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台
D. 用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台
4.已知，则( )
A. B. C. D.
5.如图，在四边形中，，，向量，的夹角为若，分别是边，的中点，则( )
A. B. C. D.
6.如图，测量河对岸的塔高，可以选取与塔底在同一平面内的两个测量基点与，如图现测得，在点测得塔顶的仰角为，则塔高为( )
A. B. C. D.
7.已知函数，若，，，则( )
A. B. C. D.
8.已知半径为的圆上有三点，，，满足，点是圆上一点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数为虚数单位，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
10.如图，在长方体中，为的中点，为靠近的三等分点，为与的交点，为的中点，则下列说法正确的是( )
A. 过，，的平面截长方体所得截面是四边形
B. 直线上存在点使，，三点共线
C. 三条直线，，有公共点
D. 直线与直线异面
11.在中，内角，，的对边分别为，，，下列说法中正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则符合条件的有两个
C. 若为锐角三角形，则
D. 若是钝角三角形，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若某圆锥侧面展开图是面积为的半圆，则该圆锥体积为 ．
13.如图，平面四边形中，，则 ．
14.已知平面向量满足，则的最小值是 ，最大值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知平面向量．
求；
若，求实数的值．
16.本小题分
设函数，其中．
求的最小正周期；
若，其中，求的值．
17.本小题分
如图，正三棱柱中，是棱的中点．
设为棱的中点，为棱上一点，求的最小值；
求三棱锥的体积；
求该正三棱柱的外接球的表面积．
18.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，为锐角，已知．
求；
若的面积为，求的周长；
若是锐角三角形，求的取值范围．
19.本小题分
如图，设，是平面内夹角为的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系．在仿射坐标系中，若向量，则把叫做向量在平面坐标系中的坐标，记．
在仿射坐标系中，若向量，，，求的坐标；
在仿射坐标系中，向量，向量求在方向上的投影向量；
在仿射坐标系中，设，，若对任意实数恒成立，求的取值范围．
参考答案
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13.
14.
15.解：，
；
因为，
所以，即，
得，
代入可得，解得．

16.解：由
，
故的最小正周期；
若，则，即，
又因为，所以或，即或，
当时，；
当时，．

17.解：将侧面绕旋转至与侧面共面，如图所示．
当，，三点共线时，取得最小值，
且最小值为．
法一：因为为等边三角形，，
所以的面积，又，
所以，
，
，
所以．
法二：因为的面积，，
所以．
设正三棱柱两底面中心分别为，的中点为．
正三棱柱的外接球半径，
外接球表面积．

18.解：在中，由及正弦定理、内角和定理，得，
即
，故得，从而，
或，
而，故舍去．
由的面积为
又由余弦定理，得，
从而得，
所以的周长为．
由正弦定理得

为锐角三角形，由，得，则，
即，故，
得，
所以的范围是．

19.解：由题意得：，设，因为，所以
，
由题知，，
，
，
由题知，，，
，
，
，
对任意实数恒成立，则
解得
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