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四川遂宁市卓同教育集团2026届高三下学期强化训练（四）数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数对应的点关于原点的对称点为，则对应的向量为( )
A. B. C. D.
2.已知集合，若，且，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，则( )
A. B. C. D.
4.已知，为两条不同直线，，，为三个不同平面，则下列说法正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
5.已知，经过两点的直线方程都可以表示为( )
A. B. C. D.
6.已知，则
A. B. C. D.
7.圆台的母线长为分别为上下底面的直径，且设四面体外接球的表面积为，圆台的表面积为，则( )附：圆台的侧面积公式
A. B. C. D.
8.已知，若实数满足恒成立，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若函数的最小值为，则( )
A. 当时，的图象关于点对称
B. 当时，
C. 存在实数与，使得
D. 当时，将曲线向左平移个单位长度，得到曲线
10.某商场举行抽奖活动，规则如下：参与者从甲、乙两个箱子中随机选择一个，然后从该箱中有放回地抽取小球两次，每次抽取个球，已知甲箱中有个红球和个白球，乙箱中有个红球和个白球，每次抽到红球记分，抽到白球记分，设事件“参与者选择甲箱”，事件“两次抽球总得分为分”，则( )
A. B. C. 与相互独立 D.
11.双曲线可由以坐标原点为中心的曲线绕其中心旋转一定角度得到．现将曲线绕原点旋转一定角度可得到双曲线，其左右焦点分别为和，点为曲线上一点，则下列说法正确的是( )
A. 直线是曲线的一条渐近线
B. 双曲线的离心率为
C. 若与双曲线有四个交点，则
D. 以为直径的圆与圆相切
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知正方形的边长为，点满足，则 ．
13.方程有三个互不相等的实根，这三个实根适当排列后可构成一个等比数列，也可构成一个等差数列该方程的解集为
14.棱长均为的四面体的顶点分别在四个互相平行的平面上若相邻两平行平面的距离都为，则的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数
当时，求曲线在点处的切线方程；
求函数的单调区间．
16.本小题分
已知数列是等比数列，，，数列满足：．
求，的通项公式； 求数列的前项和．
17.本小题分
已知某品牌新能源汽车的电池使用寿命单位：年服从正态分布，其质保政策规定：电池寿命低于年可免费更换．
求任意一辆该品牌汽车享受免费更换电池的概率精确到；
某出租车公司购买了辆该品牌汽车，记为免费享受更换的车辆数，利用的结果，求的分布列和数学期望，
附：若随机变量服从正态分布，则．
18.本小题分
已知抛物线的焦点为，上的点到的距离为．
求抛物线的方程；
，为上两点，的重心在直线上．
证明：直线的斜率为定值；
设直线与轴交于点，线段的中点为，线段的中点为，过点向直线作垂线，垂足为证明：点在定圆上运动．
19.本小题分
已知七面体中的三个面都是平行四边形，其余四个面都是三角形，如图所示，
求证：平面；
若，，平面平面，
求直线与平面所成角的余弦值；
将以为折痕进行翻折得到，且平面在翻折的过程中，棱与棱所形成的曲面与平面所围成的图形记为，记的内切球体积为，七面体的体积为，求的值．
参考答案
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13.．
14.
15.解：当时，，
，则，
又，曲线在点处的切线方程为．
，，
，，由，得，由，得．
的单调递增区间为，单调递减区间为．

16.解：设等比数列 的公比为 ，则 ，所以 ， ，
因为 ，
当 时， ，两式相减得 ，
则 时， ；当 时， 符合该式；所以 ， ．
由于 所以 ．

17.解：由题意，电池使用寿命服从正态分布，即均值，标准差，
；
由知，每辆汽车免费更换电池的概率，
因为出租车公司购买了辆汽车，且各车辆电池是否需要免费更换相互独立，
所以免费更换的车辆数服从二项分布，
的可能取值为，
概率为：，，，，，，
根据二项分布的期望公式．
18.解：抛物线的准线方程为．
根据抛物线定义，，所以．
因此抛物线的方程为．
设，，易知；
则的重心为，
由题意知，，则．
所以直线的斜率，为定值．．
因为直线的斜率不为零，
所以设直线的方程为设，．
联立，整理得所以
设为的中点，
则，，
即．
直线与轴交于点，，则中点．
由于，所以所以．
直线的斜率，
直线的方程，整理得．
令，代入方程，解得，
因此，直线经过定点．
因为，于，所以在以为直径的圆上，
圆心为，半径为，所以圆的方程为；
因此在以为直径的定圆上．

19.解：证明：因为四边形与四边形均为平行四边形，
所以，，
因为平面，平面，
所以平面，
同理可证平面，
因为，平面，平面，
所以平面平面，
又平面，
所以平面．
连接，
由可知且，所以四边形是平行四边形，则，
又因为，所以是正三角形，则是菱形且，
取的中点，连接，则，
因为平面平面，平面平面，，
因此以为原点，，，平面的法向量分别为轴，轴，轴的正方向，如图建系，
设，则，
则，，，，
则，，，
设平面的法向量，
则，即
取，得，，则，
设直线与平面所成角为，
则，
则，
即直线与平面所成角的余弦值为．
设，，，
所以，
所以，
又，，
所以，的周长为，
因为以为折痕进行翻折得到，且平面
所以为两个等底面圆半径的圆锥拼成的复合体的一半，
设含有，且与平面相垂直的平面为平面，
在平面的截面如图所示，
点为内切球球心，设内切球半径为，
则，，
易得，
所以．

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