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山东省东营市2026届高三下学期4月份适应性测试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数，则的共轭复数是( )
A. B. C. D.
2.设集合，则( )
A. B. C. D.
3.已知是等差数列，是等比数列，且，，，，则( )
A. B. C. D.
4.“，使得”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.函数的值域为( )
A. B. C. D.
6.某公司开发了两款智能模型和用于客服系统测试期间，系统在第天随机选择一款模型投入使用若第天使用模型，则第天继续使用模型的概率为若第天使用模型，则第天切换到模型的概率为则第天使用模型的概率为( )
A. B. C. D.
7.已知椭圆和双曲线有相同的焦点和，点是椭圆和双曲线的一个公共交点，，椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若恒成立，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. 若，则 D.
10.已知点，，圆，点在圆上运动，点满足，其中
为坐标原点则下列说法正确的是( )
A.
B. 点的轨迹方程为
C. 的取值范围是
D. 点到直线距离的最小值为
11.进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统，约定满二进一，就是二进制；满十进一就是十进制；满十六进一，就是十六进制等等．一般地，若是一个大于的整数，那么以为基数的进制数可以表示为一串数字符号连写在一起的形式进制的数也可以表示成不同位上数字符号与基数的幂的乘积之和的形式，如例如：十进制数，，所以在三进制下可写为，则下列说法正确的是( )
A. 三进制数转化成五进制数为
B. 现用八进制表示十进制的，则这个八进制数的最后一位为
C. 正整数在三进制下的各位数字之和记为，在集合中任选一个正整数，则为的倍数的概率为
D. 一副两种颜色的卡片共张，每种颜色张，上面分别标有数字，从这张卡片中任取张，则取出的卡片上数字之和为的取法共有种
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若且，则的取值范围为 ．
13.已知奇函数的周期为，且当时，，则 ．
14.已知一个棱长为的正四面体容器容器壁厚度忽略不计，则此容器外接球正四面体容器各顶点都在球面上的体积为 如果一个半径为的小球在该容器内可向各个方向自由运动，则小球永远不可能接触到的容器内壁面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的角的对边分别为，满足．
求角；
若，的面积为，求的周长．
16.本小题分
已知全等的等腰直角三角形和，其中，，现将沿进行翻折，使二面角的大小为，连接得到四面体．
证明：
求直线与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
已知函数．
求函数的单调区间；
若过点可作曲线的两条切线，求的取值范围；
若曲线的切线过点，其中，求证：曲线上除切点外的点都在直线的上方．
18.本小题分
已知曲线上任意一点到点的距离比它到轴的距离大．
求曲线的方程；
为曲线上一点，直线与曲线交于两点不与点重合，直线与轴交于点，直线与轴交于点，且．
求直线的斜率；
证明：的外接圆的圆心在定直线上．
19.本小题分
某商场组织抽奖活动，规则如下：在一个不透明的盒子中装有个形状、大小、质地完全相同的小球，其中白球个，红球个每位顾客从盒子中随机抽取个球，记录颜色后放回盒子中若抽得白球，则获得九折优惠券若抽得红球，则获得七折优惠券每位顾客只有一次抽奖机会．
求前四位顾客中，至少有两位顾客获得七折优惠券的概率
若一个不透明的盒子中共有个形状、大小、质地相同的小球，其中红球的个数是一个离散型随机变量证明：从该盒子中随机抽取个球，抽到红球的概率为
为增加趣味性，商场第二天调整了规则：在每位顾客抽奖完成并放回小球后，店员往盒子中增加个与刚才取出球颜色不同的小球若取出红球，则增加个白球若取出白球，则增加个红球，然后下一位顾客再进行抽奖已知第一位顾客抽奖前，盒子中仍为个白球和个红球求第位顾客获得七折优惠券的概率．
参考公式：若，是离散型随机变量，有．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为，所以，
因为，所以
所以，
即，因为，所以，
即，因为，
故；
因为的面积为，所以，即，
由余弦定理得
所以，
所以的周长．

16.证明：取的中点，连接，．
在等腰直角中，，则斜边．
因为是的中点，所以，
同理，在等腰直角中，，
因为，且，平面，
所以平面．
又因为平面，
所以．
以为原点，，的正方向分别为轴，轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，
因为，，
所以是二面角的平面角，故．
因为，，是的中点，
所以，
所以，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则，
令，则，，所以
设直线与平面所成的角为，
，．
故直线与平面所成角的正弦值为．

17.解：函数的定义域为，求导得：．
令，解得，令，解得．
所以的单调递减区间为，单调递增区间为；
设切点坐标为，其中，由知切线斜率，
则切线方程为，
因为切线过点，代入整理得：，
过点可作两条切线，等价于关于的方程在其定义域内有两个不同的实根，
当时无意义，故，
令且，则，
当时，，则在和上单调递减；
当时，，则在单调递增．
又当且时，；当且时，，
当，且时，，．
由图知，要使有两根，需，故的取值范围是；
证明：设切点为，由知．
切线的方程为，要证曲线上除切点外的点都在直线上方，
即证：对恒成立．
将代入上式，即证：，
令，
当时，单调递减；
当时，单调递增．所以．
因此，当时，，即曲线上除切点外的点都在直线的上方．

18.解：解：设点，由题知，
所以，
当时，；
当时，，无解，舍去；
综上，曲线的方程为；
因为为曲线上一点，所以，即，
方法一由题知，直线斜率均存在且不为，设，
因为在曲线上，则，
同理可得，
所以，
令，得，
因为，所以，即，
所以，即直线的斜率为．
由知的中点，
所以直线的垂直平分线，
即，同理可得直线的垂直平分线
由知，所以，
设圆心，联立，得，，
因为，所以，
所以
而，
消去得，即的外接圆的圆心在定直线上．
方法二由题知，直线斜率均存在且不为，
设，，
令，得，
因为，所以，
设，
联立，得有解，
所以，
因为，所以，
即，
把代入式可得，即，
因为直线不过点，所以，即，
所以，即直线的斜率为．
由知，联立
得，设的外接圆方程为，
因为在圆上，所以，
所以，
联立
得，
因为式与式有相同的解，所以
消去得，所以或，
当时，，所以
过点，不成立，所以，
设圆心，即，代入式得，
，即的外接圆的圆心在定直线上．
方法三由题知，直线斜率均存在，
设，
令，得，因为，
所以等价于，
设并代入上式得
，
两边同除得有解，
所以，即，所以，即直线的斜率为．
同方法二中解法．

19.解：设”前四位顾客中，至少有两位顾客获得七折优惠券”为事件，
则．
，
设“从盒中随机抽取个球，抽到红球”为事件，
由全概率公式可得，
所以从盒中随机抽取个球，抽到红球的概率为．
设第位顾客抽完后，第位顾客抽奖前，盒中的红球数为离散型随机变量，
则此时盒中的白球数为，一共有个球，
设离散型随机变量，
由题意得，
由知：，
，
所以，
根据参考公式可得
，
所以，
令，，
则，
累加可得，
因为，
所以，
又因为符合上式，所以，
所以，，
所以当时，由知
，
又因为符合上式，
所以．
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