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四川省遂宁市卓同教育集团2025-2026学年高三下学期强化训练（五）数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数是虚数单位，则的虚部是( )
A. B. C. D.
2.设集合，，则( )
A. B. C. D.
3.双曲线的实轴长为( )
A. B. C. D.
4.某厂生产一批圆台形台灯灯罩，灯罩的上下底面都是空的，圆台两个底面半径之比为，高为，母线长为，如果要对个这样的台灯灯罩外表面涂一层防潮涂料，每平方米需要克涂料，则共需涂料( )
A. 克 B. 克 C. 克 D. 克
5.设函数满足对任意的，都有，且，则( )
A. 是奇函数 B. 是偶函数
C. 在上单调递增 D. 在上单调递减
6.已知在三角形中，是的中点，且，则( )
A. B. C. D.
7.若数列满足：从第二项起，每一项与它的前一项的差依次排成一列，组成的新数列是一个公差为的等差数列，则称数列为“等差数列已知为“等差数列，且，，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数和，若存在实数，，使得，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 数据，，，，，，，，，的第百分位数为
B. 对于随机事件与，若，则事件与相互独立
C. 已知一组样本数据的平均值为，极差为，中位数为，则数据的平均值为，极差为，中位数为
D. 若成对样本数据的线性相关程度越强，则样本相关系数越接近
10.已知函数的部分图象如图所示，点、在的图象上．下列说法正确的是( )
A. 的最小正周期是
B. 在区间单调递增
C. 的一个对称中心是
D. 的图象可以由的图象向左平移个单位长度得到
11.已知抛物线的焦点为，过的直线交于，两点，直线交于另一点，则( )
A.
B. 的内心在定直线上
C. 若，则
D. 若，则的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，则 ．
13.已知，，若直线上存在点满足，则实数的最大值是 ．
14.已知正方体的棱长为，若球同时满足条件：与平面，平面均相切，与棱相切即与棱仅有一个公共点，则球的半径的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知中，角，，的对边分别为，，，函数．
求的单调递增区间；
若，且，求的取值范围．
16.本小题分
如图，四棱锥的底面是矩形，，，是等边三角形，平面平面，，分别是，的中点，与交于点．
求证：平面
平面与直线交于点，求直线与平面所成角的大小．
17.本小题分
某高科技公司开发了一款迎宾机器人，为了解市场销售情况，现统计了年月至年月该款迎宾机器人的月销量数据，如下表所示：
月份 年月 年月 年月 年月 年月
月份代码
月销量单位：千台
求出与的相关系数保留三位小数，并根据判断该款迎宾机器人月销量与月份代码是否有较强的相关关系；当时，相关性较强，当时，相关性一般
求出关于的经验回归方程，并估计年月该款迎宾机器人的销量；
假设该科技公司对购买迎宾机器人的客户每人发放元个的补贴．已知甲、乙两家商户各至多购买一个迎宾机器人，且购买迎宾机器人的概率分别为，若两家商户享受的补贴总金额的期望不超过元，求的取值范围．
参考公式：相关系数，．
参考数据：，．
18.本小题分
已知函数．
当，时，求在上的最大值；
当时，若对任意的实数，直线与曲线恰有一个公共点，求实数的取值范围；
若，，证明：当时，．
19.本小题分
已知曲线与点，为原点，动点，且的最大值为．
求曲线的方程
已知有个点，，，，按逆时针顺序依次在上，且，．
(ⅰ)当，关于轴对称，且的面积为时，求直线的斜率
(ⅱ)当的面积都相等时，记多边形的周长为若对于，都有，求整数的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.解：证明：因为为正三角形，是中点，所以，
又因为平面平面，平面平面，
平面，所以平面，
平面，
，
因为，并且，，
，
所以
，
即，
又，在平面内且相交于一点，平面，
故BD平面．
因为，分别为，的中点，所以，
又不在平面内，在平面内，
所以平面，
又平面交平面于，故E，进而，
因为是中点，所以是的中点．
以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，
，，
设平面法向量为，由，
得：，令，则，
取，
因为，
．
所以直线与平面所成角．
17.解：，，，
则，
故与有较强的相关关系；
，
又，，
所以，
故经验回归方程为，
年月对应的值为，
当时，，
故可估计年月该款迎宾机器人的月销量为万台；
设甲、乙两商户购买迎宾机器人的个数之和为，
则的所有可能取值为，
，
，
，
所以，
依题意有，且，得，
故的取值范围为．

18. 当时，，
若证，即证，
因为，，则，
由可知：，即，则
可得，
若证，即证，
当时，则，可得，
整理可得，
令，则，
因为，则，
可知在上单调递增，，
且，可得，所以；当时，则，可得，
且，则，可得，所以；综上所述：时，
19.解：设过点的切线方程为
联立．
因为，
则．
又取最大值时，为切线，且．
．
．
由知椭圆为．
设，，，，
．
又，．
．
直线的斜率为．
设，，，，，，．
则．
题目条件为各面积相等，．
当时，设，
记．
则，
．
设，则，
．
又，
，，．
当时，若存在，由，，得．
又，其余各，，这与矛盾．
，
记则
故
又，
．
由柯西不等式，．
又，，．
又，．
取，，则满足面积相等，
且．．
又对一切满足条件的，都有．．
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