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江西省南昌市2026届高三年级四月检测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，则的共轭复数为( )
A. B. C. D.
2.已知函数是奇函数，则的一个可能取值为( )
A. B. C. D.
3.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
4.已知：，：，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知函数在定义域内有最小值，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
6.在中，角，，所对的边分别为，，，若，，则的面积为( )
A. B. C. D.
7.若圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，则过圆锥顶点的截面中，截面面积的最大值为( )
A. B. C. D.
8.某校高三年级准备在接下来的周内，安排三次心理健康讲座，分别记为第周、第周、第周．为了让学生有足够的时间消化内容，学校要求：第一次与第二次讲座之间至少间隔周；第二次与第三次讲座之间也至少间隔周；在第一次讲座之前至少预留周准备时间，最后一次讲座之后至少预留周总结时间，则符合要求的不同安排方案有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知一组数据：，，，，的平均数为，方差为，中位数为，极差为，设，数据：，，，，的平均数为，方差为，中位数为，极差为，则下列判断一定正确的是( )
A. B. C. D.
10.已知抛物线：的焦点为，过点作斜率为直线与抛物线交于，两点在第一象限，与准线相交于点，过点作拋物线的切线与准线相交于，当，，下列说法中正确的是( )
A. B. C. D.
11.已知时，关于的不等式恒成立，则下列判断正确的是( )
A. ， B.
C. D. 的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知圆：，过点作斜率为的直线与圆交于，两点，若的面积为，则 ．
13.已知等差数列的前项和为，且，，则 ．
14.已知向量，，，，，当向量的模长取得最小值时， ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
当时，求在上的最大值；
讨论在上的单调递增区间．
16.本小题分
如图，在多面体中，若四边形是边长为的正方形，，都是边长为的等边三角形，且，，分别为，的中点．
求证：平面平面；
求二面角的余弦值．
17.本小题分
在一个人工智能训练系统中，初始数据集包含个正样本和个负样本，现对这个数据集进行多次操作，每次操作，系统从这个数据集中随机抽取一个样本，若抽到正样本，则将其放回数据集样本不变；若抽到负样本，则以的概率通过数据增强将其转化为正样本后放回数据集，以的概率将其放回数据集仍为负样本．
求经过次操作后，数据集中正样本个数的可能取值及其概率，并计算期望值；
求经过次操作后，数据集中正样本个数的期望值．
18.本小题分
已知双曲线：的离心率，其上顶点为，过点作斜率为的直线与双曲线的两支分别相交于，两点在双曲线的上支且与轴相交于点，直线与轴相交于点．
求双曲线的标准方程；
设直线，的斜率分别为，，求证：为定值；
是否存在直线使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
已知一系列椭圆：的右焦点为，上顶点为，，是等腰三角形，．
求椭圆的方程；
求数列的通项公式；
若数列的前项和为，若对任意的，都有，求的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：当时，，，
所以，，
令，即，解得，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以当时，取得极大值，即最大值，为
所以当时，在上的最大值为．
，
当时，令，则，即的单调递增区间为；
当时，令，则，即的单调递增区间为；
当时，，此时在单调递减，无增区间．
综上，当时，的单调递增区间为；
当时，单调递增区间为；当时，无增区间．

16.解：在四棱锥中，如图，
因为是边长为的等边三角形，
所以，
因为为的中点，则，
因为，分别为，的中点，
四边形是边长为的正方形，
所以，
又因为，，平面，
所以平面，因为平面，
所以平面平面
如图，连接，，
同理可以证明平面平面，
过点作的垂线，垂足为，因为平面平面，，平面，
所以平面，
由条件可求，，，有，
所以，由，即，
所以，
取的中点，连接，
因为，所以，
又因为，，有，
所以，
所以与所成的角就是二面角的平面角，
以为坐标原点，以，分别为，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，
所以，，
由图可知，二面角为钝二面角，
所以二面角的余弦值为．
17.解：设第一次操作后，数据集中正样本个数为，可能取值为，．
，，
所以．
设第二次操作后，数据集中正样本个数为，可能取值为，，．
，
，
，
所以
18.解：因为，所以，即，
因为上顶点为，所以，则，
所以双曲线的标准方程为．
设直线的方程为，直线的方程为．
联立直线与双曲线方程，整理得，
解得，所以，所以，
设直线的方程为，
因为，则有，
整理得，同理可得，
所以，是方程的两根，所以．
假设存在使得，所以，
设直线，的倾斜角分别为，，直线的倾斜角为，
当时，
则，所以，
又，是方程的两根，则，，
所以，
所以，整理得，即，解得．
当时，结合对称性同理可得，，满足条件．
故存在直线使得，此时．

19.解：因为，所以，
因为是等腰三角形，且，
所以必有，即，
则，
因此，
所以椭圆的方程为．
点，设，
因为为等腰三角形，
所以，，
因此，
由题意知，所以，
所以，
所以，所以．
因为，，
所以
，
，
因此
，
因为，
所以，
所以的最大值为，的最小值为，
的最小值为．

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