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广东省江门市2026届高考适应性测试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数，，则，在复平面内对应的两点之间的距离为( )
A. B. C. D.
2.已知两个单位向量，的夹角为，则( )
A. B. C. D.
3.已知集合，，且，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
4.某工厂抽检了个零件，并统计了这些零件的直径单位：数据，得到如下表格：
直径
频数
由表可知这个零件的直径的第百分位数为( )
A. B. C. D.
5.若直线，的倾斜角分别为，，则( )
A. B. C. D.
6.已知函数，若恰有个零点，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
7.已知，，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.若的中线，且，，，在平面直角坐标系中，点在双曲线上，则的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若曲线关于点对称，则的解析式可以为( )
A. B. C. D.
10.若正方体外接球的球心为，且，分别为棱，的中点，则( )
A. B. 二面角的正切值为
C. 平面 D. 为四面体外接球的球心
11.若函数的定义域为，，且，，，则( )
A.
B. ，
C. 为奇函数
D. 当时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若椭圆的焦点在轴上，则的取值范围是 ．
13.甲、乙两名游客来广州旅游，他们各自从广州塔、永庆坊、镇海楼、广州大剧院、周氏大宗祠、五仙门发电厂旧址这个景点中选个游玩，则甲、乙两人至少有一人选择广州塔的选法种数为 ．
14.正三棱柱的棱长均为，，分别是棱，的中点，过点，，的平面分别交直线，于点，，则三棱柱与三棱锥公共部分的体积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在四棱锥中，正三角形所在平面与矩形所在平面垂直．
在答题卡中，作出四棱锥的高，并说明理由
若，且，，求与平面所成角的正弦值．
16.本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线方程；
若不等式对恒成立，求的取值范围．
17.本小题分
某用户只在某外卖平台的甲、乙两家餐厅点餐，根据历史数据，选择甲餐厅的概率为，选择乙餐厅的概率为，甲餐厅的准时送达率为，乙餐厅的准时送达率为已知该用户每次外卖点餐准时送达与否相互独立．
求该用户每次外卖点餐准时送达的概率．
在该用户的次外卖点餐中，记准时送达的次数为，若的方差大于，求的最小值．
平台推出“准时保”，每单需支付元的服务费，若外卖未准时送达，则平台赔付元若外卖准时送达，则平台不赔付该用户愿意购买“准时保”的条件是亏损期望不超过元，试问他是否愿意购买“准时保”说明你的理由．
18.本小题分
已知圆的圆心在第一象限且圆与两坐标轴均相切，抛物线经过圆心．
求圆的标准方程．
设与圆交于，两点，证明：，两点到轴的距离均不小于．
为坐标原点，过圆心的直线交于另一点，的焦点为，求的最小值．
19.本小题分
若数列满足，则称为“拟等差数列”；若数列满足，则称为“拟等比数列”．
若数列既是“拟等差数列”，又是“拟等比数列”，且，求的通项公式．
已知，，，数列是“拟等比数列”，的前项和为．
证明：存在，使得是“拟等差数列”．
证明：．
参考答案
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14.
15.解：取的中点，连接，则是要求作的四棱锥的高．
理由如下：
因为为正三角形，是的中点，所以．
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
即是四棱锥的高；
．
取的中点，连接．
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
因为，所以为棱的中点，
则，，，，，
所以，，
设平面的法向量为，
则，，
令，得，
所以，
故AE与平面所成角的正弦值为．
16.解：函数的导函数，
则，又，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
．
由，得，
设，，则．
．
令，得，则在上单调递减；
令，得，则在上单调递增．
所以，
故的取值范围为．

17.解：设事件“外卖点餐准时送达”，“在甲餐厅点餐”，“在乙餐厅点餐”，
依题意得，，，．
由全概率公式得该用户每次外卖点餐准时送达的概率
．
依题意得，则
若的方差大于，则，所以，
故的最小值为．
他愿意购买“准时保”，理由如下：
设他购买“准时保”的净收益为元，则的所有可能取值为，．
，，
则．
因为，即亏损期望不超过元，所以他愿意购买“准时保”．

18.解：设圆的半径为，
圆的圆心在第一象限且圆与两坐标轴均相切，则圆心，
由抛物线经过圆心，
得，解得，
所以圆的标准方程为．
由，得，
即，则，
而，因此，
所以两点到轴的距离均不小于．
抛物线的焦点为，设，
由抛物线定义得，
则，
同理，
因此
，
设直线的方程为，
由，得，
，则，，
因此，
所以当时，取得最小值．

19.解：因为是“拟等差数列”，所以，则是等差数列，设的公差为．
又是“拟等比数列”，所以，
即，即．
当时，由，得；
当时，由，得．
由“拟等比数列”的定义，取，得，
即，得，所以．
由可得，
即，即．
所以是常数列，，即，即是“拟等差数列”．
由，得，
可知是等比数列，首项为，公比为，故．
当为奇数时，；
当为偶数时，．
所以当为奇数时，；
当为偶数时，．
设，则．
当时，，则在区间上单调递减；
当时，，则在区间上单调递增．
所以，即，当且仅当时，等号成立．
取，其中，则有，即，即，
则．
当为奇数时，．
当为偶数时，．
综上，．

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