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广东省中山市2026届高三模拟测试（二）数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，则( )
A. B. C. D.
2.若复数，则( )
A. B. C. D.
3.已知，，若，则( )
A. B. C. D.
4.已知函数且，若，则( )
A. B. C. D.
5.由数字，，，，，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
6.若以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为，则椭圆长轴的最小值为( )
A. B. C. D.
7.抽样得一组数据如下表，利用最小二乘法得到回归直线方程，据此模型预测当时，的估计值为
A. B. C. D.
8.设，为异面直线，为平面，已知，，，动点若到直线，的距离相等，则的轨迹为
A. 直线 B. 圆 C. 双曲线 D. 抛物线
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线与平面相交于点，则( )
A. 内不存在直线与平行 B. 内有无数条直线与垂直
C. 内所有直线与是异面直线 D. 至少存在一个过且与垂直的平面
10.已知随机事件，满足，，则下列说法正确的是( )
A. B. C. D.
11.已知函数，的定义域为，且，，若的图象关于直线对称，则( )
A. B.
C. 是奇函数 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数是奇函数，则实数 ．
13.已知角终边经过点，则 ．
14.已知抛物线：，按如下方法依次构造点列：设点，过抛物线上点作斜率为的直线与抛物线交于另一点，为关于轴的对称点．记的坐标为，数列的前项和为，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
若，求的极小值；
讨论导函数的单调性．
16.本小题分
已知，，分别为三个内角，，的对边，且．
求证：；
若，的面积为，求．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面，，，以为直径的球面分别交，于，两点异于所在棱端点．
证明：平面；
求异面直线与的夹角；
求三棱锥的体积．
18.本小题分
已知双曲线：的离心率为，左右焦点分别为，，，为双曲线左支上的两点，直线交轴于点．
求双曲线的方程；
若，求直线的方程；
设线段的中点为，直线交轴于点，点为关于原点的对称点，以为圆心作与轴相切的圆，过作该圆的两条切线，切点分别为，，求的取值范围．
19.本小题分
袋中共装有个小球，分别标有编号，，，，现采用“先试验后锁定”的策略进行次操作：前次试验期每次从袋中无放回地随机摸一个球，并记录摸到球的编号；之后的次锁定期操作，不再继续摸球，而是每次都记录试验期摸到球的最大编号．记为这次操作中记录的全部编号之和，为的数学期望．
当，，时，求在试验期至少摸到一个编号不小于的球的概率；
若，，，是定义在同一个随机试验样本空间上的任意个离散型随机变量，则基于此，求解下列问题：
求试验期所摸小球编号之和的数学期望；
当时，求的最大值以及此时的值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.；
答案见解析．
16.解：由正弦定理，得，即，
由知，所以，
因为，为三角形的内角，所以或舍去，即；
由，得，
由知及为锐角，所以，可得，，
又，
由正弦定理得，
所以，解得，
所以 ．
17.解：由底面，底面，得；又，，
故，，因此平面．
平面，故．
在以为直径的球面上，直径所对的圆周角是直角，得，即．
又，平面，因此平面，得证．
以为原点，为轴，为轴，为轴建立坐标系，
由题意得各点坐标．
由可知，所以．
因为所以为的中点，得．
，
则，，
所以，解得，即．
得，．
，
故，因此异面直线与的夹角为．
由可知，，
设平面的法向量为，则，化简得
令，得，因此平面的一个法向量为．
，点到平面的距离，
又，，，
．
故，
三棱锥体积．

18.解：由双曲线，得，即．
已知离心率，得由双曲线关系，得．
因此双曲线的方程为．
由得，设，．
向量，，
由得，解得，
代入双曲线方程得，或，
故直线的斜率，
所以直线方程为或．
设直线，，则，圆与轴相切，故半径．
联立直线与双曲线方程，整理得，
由在左支，得，设，中点，
由韦达定理得，
则，即．
故，，，
设，由切线性质，
令，代入得，由，所以
设，代入上式得，
可知二次函数在内单调递增，所以
因此
由切线性质可知是直角三角形，所以是锐角，即．
则，即的取值范围．

19.解：设事件“实验期至少摸到一个编号不小于的球”，
则；
设实验期第次摸到的球的编号为，，记这个编号的和为，则，
先求第次摸到的球的编号为的数学期望，
的所有可能的取值为：，，，，
根据无放回随机抽样的特点，，，，，，
所以，，，，，
所以，
记前次实验期记录的编号之和为，编号最大的数即为，则，
所有可能的取值为：，，，，
则，，，，，
所以，
因为，
所以，
所以，
当时，
，
当且仅当 ，即时取等号，
所以的最大值为，此时．
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