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23.4 实际问题与一次函数（第3课时）
第二十三章 一次函数
人教版八年级下册
实际问题
建立数学模型
一次函数
y=kx+b(k≠0)
解析式
图象
性质
一次函数
问题的解
计算求解
实际问题
的答案
探究2 某学校计划在总费用不超过2 300元的情况下，租用客车送234名学生和6名教师集体外出活动，每辆客车上至少要有1名教师.现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如下表所示.
(1)共需租多少辆客车
(2)给出最节省费用的租车方案.
客车种类 载客量/人 租金/元
甲 45 400
乙 30 280
分析：（1）可以从乘车人数的角度考虑租多少辆客车，要注意到以下要求：
①要保证240名师生乘车都有座位；
②要使每辆客车上至少有1名教师.
根据①可知，客车总数不能小于 ；根据②可知，客车总数不能大于 .综合起来可知客车总数为 .
6
6
6
(2)租车费用与所租车的种类有关.可以看出，当客车总数a确定后，在满足各项要求的前提下，尽可能少地租用甲种客车可以节省费用.
设租用x辆甲种客车，则租车费用y(单位：元)是x的函数，即
y=400x+280(a x).
将(1)中确定的a的值代入上式，化简这个函数，得
y= .
为使240名师生乘车都有座位，x不能小于 ；为使租车费用不超过2 300元，x不能超过 .综合起来可知x的取值为 .
120x+1 680
4
5
4或5
追问 在考虑上述问题的基础上，你能得出几种不同的租车方案？为节省费用应选择其中哪种方案？试说明理由.
答：两种方案：
①4辆甲种客车，2辆乙种客车；
②5辆甲种客车，1辆乙种客车.
应选择方案①，因为方案①费用少.
归纳
解决含有多个变量的问题时，可以分析这些变量之间的关系，从中选取一个 的值的变量作为自变量.然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数，以此作为解决问题的数学模型.
取值能影响其他变量
例 某文具店购进A，B两种型号的计算器进行销售，其进价与售价如下表所示.
为了满足市场需求，第二季度文具店计划用不超过2 000元的资金采购这两种计算器共100台.若所采购的计算器能全部售出，给出利润最大的进货方案，并求出最大利润是多少.
型号 进价/元 售价/元
A 22 32
B 19 25
解：设采购A型计算器x台，
则利润y=10x +6(100 x)，即y=4x+600.
由22x+19(100 x)≤2 000，得x≤33.
当x=33时，y取得最大值.
当采购A型计算器33台，B型计算器67台时，利润达到最大，最大利润为732元.
练习 春暖花开，新学期伊始，某中学为了给学生提供充足的体育运动器材，准备购买一批某品牌的足球和排球，每个足球的价格比每个排球的价格多40元，若用1 000元购买的足球数量和600元购买的排球数量相等．
(1)设每个足球的价格为a元，求a的值．
解：(1)设每个足球的价格为a元，则每个排球的价格为(a 40)元，
由题意得： = ，
解得：a=100，
经检验，a=100是原方程的解，且符合题意，
答：每个足球的价格为100元；
练习 春暖花开，新学期伊始，某中学为了给学生提供充足的体育运动器材，准备购买一批某品牌的足球和排球，每个足球的价格比每个排球的价格多40元，若用1 000元购买的足球数量和600元购买的排球数量相等．
(2)学校决定购买足球和排球共50个．
①求购买足球和排球的总费用y（元）与购买足球数量x（个）之间的函数关系式．
解：(2)①由(1)得每个足球的价格为100元，
则每个排球的价格为100 40=60(元)，
依题意，购买足球和排球的总费用y(元)，购买足球数量x(个)，则购买排球(50 x)个．
由题意得：y=100x+60(50 x)=40x+3000.
练习 春暖花开，新学期伊始，某中学为了给学生提供充足的体育运动器材，准备购买一批某品牌的足球和排球，每个足球的价格比每个排球的价格多40元，若用1 000元购买的足球数量和600元购买的排球数量相等．
(2)学校决定购买足球和排球共50个．
②若购买足球的数量不少于排球的数量，则购买足球______个最合算，总费用为_______元．
25
4000
实际问题
建立数学模型
一次函数
y=kx+b(k≠0)
解析式
图象
性质
一次函数
问题的解
计算求解
实际问题
的答案
1.（2025年河南）为助力乡村振兴，支持惠农富农，某合作社销售我省西部山区出产的甲、乙两种苹果．已知2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800元．
(1)求甲、乙两种苹果每箱的售价．
解：（1）设甲、乙两种苹果每箱的售价分别为x元、y元，
则
解得： .
答：甲、乙两种苹果每箱的售价分别为100元、80元.
1.（2025年河南）为助力乡村振兴，支持惠农富农，某合作社销售我省西部山区出产的甲、乙两种苹果．已知2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800元．
(2)某公司计划从该合作社购买甲、乙
两种苹果共12箱，且乙种苹果的箱数
不超过甲种苹果的箱数．求该公司最
少需花费多少元．
解：（2）设购买甲种苹果a箱，则购买乙种苹果(12 a)箱，
则12 a≤a，解得：a≥6，
设该公司需花费w元，
则w=100a+80(12 a)=20a+960，
∵20>0，
∴w随a的增大而增大，
∴当a=6时，w有最小值为20×6+960=1080，
即该公司最少需花费1080元．
2.（2025年西藏）2025年央视春晚第一次在拉萨设立分会场，主持人身着藏族特色的民族服饰，受到广大观众的喜爱．某服装厂设计了甲、乙两种款式的藏式服装，已知甲、乙两款服装的生产成本和售价如表：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)列方程（组）解应用题
若该厂投入230 000元来生产甲、
乙两款服装共300件，并且投入的资金刚好用完，可以生产甲、乙两款服装各多少件？
解：（1）设生产甲、乙两款服装分别为x件，y件，
根据题意得 ，
解得： ，
答：生产甲、乙两款服装分别为100件，200件.
(2)工厂在生产前进行了市场调查，发现甲款服装更受欢迎．工厂计划生产甲、乙两款服装共500件，要求甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍．假设能全部售完，该工厂应如何安排生产才能获得最大利润？
解：（2）设生产甲款服装m件，则生产乙款服装500 m件，
根据题意得m≥2(500 m)且m≤500，
解得≤m≤500，
设获得的总利润为W元，
∴W=(1000 700)m+(1200 800)(500 m)= 100m+200000，
∵ 100<0，且m为正整数，
∴当m=334时，最大利润为W= 100×334+200000=166600（元），
则500 334=166（件），
答：生产甲款服装334件，生产乙款服装166件，可获得最大利润．
正比例函数y=kx
一次函数y=kx+b
特殊
描点法
函数的图象
函数的性质
研究
选取两点
待定系数法
关系
方程(组)、不等式
实际问题
应用
分段函数问题
方案选择问题
方案设计问题
作业
必做题：习题23.4 第9题.
1
探究性作业：习题23.4 第8题.
2
人教版八年级下册
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