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1.2.1等边三角形
一、单选题
1．如图，在等边三角形中，平分，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，，，，则的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
3．如图，在正中，点D是边上任意一点，过点D作于F，交于点E，则的度数为（　　）

A． B． C． D．
4．如图，，点是射线上一点，且，点，在射线上，且，．则的长为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图所示，在等边三角形中，D，E分别在边，上，且，与交于点F，，垂足为点G.下列结论：①；②；③是等边三角形；④，其中正确结论的个数是（ ）

A．3 B．2 C．1 D．0
二、填空题
6．已知等边三角形的周长为18，则边长为 ．
7．如图，在中，，那么 ．若P是边上一动点，连接，则的长的取值范围为 ．
8．如图，是等边三角形，点是延长线上一点，于点，于点．
（1） ；
（2）若，，则的长为 ．
9．两个大小不同的等边三角形三角板按图所示摆放．将两个三角板抽象成如图所示的和，点依次在同一条直线上，连接．若，，则点到直线的距离为 ．
10．如图1是由四片大小一样的门扇连接成的折叠门，该门的轨道装在天花板上，图2是其示意图．已知轨道，在推拉合页或时，滚轮，在轨道上移动，已知每小片门扇宽度均相等()．门完全关上时，门扇恰好贴合整条轨道．刚开始门扇叠合在左边，第一次向右拉开门扇，位置如图2时，，，此时门被关上部分的长是 ；接着继续向右拉门扇，位置如图3时，，，相比第一次，门又拉伸了 ．

三、解答题
11．如图，在中，，，平分，交于点，过点作于点，连接．
(1)若，求的长；
(2)判断的形状，并说明理由．
12．如图，将等边放在含有30°角的直角三角板上（，），使落在线段上，与分别交边于点H、G，其中．

(1)证明：；
(2)求的长．
13．如图,为等边三角形,,相交于点,于,,．
(1)求证:;
(2)求的度数;
(3)求的长．
14．如图，为等边三角形，分别是上的点，连接和相交于点．

(1)如图1，若分别为的中点，求证：
(2)如图2，若，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，若，求的长．
15．如图，在中，，点在上，点在的延长线上，连接、，．
(1)求证：；
(2)如图2，若，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，点是外一点，连接，，，且平分，若，，求的长．
16．【问题原型】如图1、图2，已知点为线段上一点，分别以为边在线段同侧作和，且，，，直线与交于点．
(1)如图1，若，则的度数为________；
(2)【初步探究】如图2，若，连接，求的度数；
(3)【简单应用】将图1中的等边绕点顺时针旋转（如图3），连接，若，则的度数为________．
参考答案
一、单选题
1．B
解：∵是等边三角形，，
∴．
又∵平分，
，
故选：B．
2．C
解：由题意知，，
∴，
故选：C．
3．B
解：∵是等边三角形，
∴，
∵于F，交于点E，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
4．A
解：过点作，垂足为，
，
，
，
，
，
，，
，
，
故选：A．
5.A
解：∵等边，
∴，，
∵，
∴，
∴，故①正确；
∴，
∴，
在中，
，故②正确；
∵，，
∴，
∴不是等腰三角形，故③错误；
∵，，
∴，
∴，
∴，故④正确，
综上所述，正确的有①②④．
故选：A．
二、填空题
6．6
∵等边三角形的三边相等，
∴边长为，
故答案为：6．
7． 6
解：∵在中，，
∴，
∵，
∴AP的长的取值范围是．
故答案为：．
8.
解：由题意得：，
，
，
故答案为：；
设与相交于点，如图所示，
，，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
，，
在中，，
即，
解得：，
．
故答案为：．
9．
解：∵和 ADE均为等边三角形，
∴，，，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
过点作，垂足为，
∵是等边三角形，
∴, ，
在中，,，
由勾股定理得：，
∴点到直线的距离为，
故答案为：．
10．
解：∵，，门完全关上时，门扇恰好贴合整条轨道，
∴，
∵，，
∴，
∴与是两个全等的等边三角形，
∴，
∴，
过点分别作的垂线，垂足为，即

由题意可知：，
∵，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∵，即，，
解得：，
∴，，
∴，
∴，
∴相比第一次，门拉伸的长度为：，
故答案为：；．
三、解答题
11．（1）解： ，，
，
∵BD平分，
，
，
，
；
（2）是等边三角形，
理由：，，
，
在中，，
，，
是等边三角形．
12.（1）解：∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：过点F作于，

∵，
∴，
∴，
又∵，
∴由三线合一得，
∴．
13．（1）解:证明:∵为等边三角形,
∴,,
在和中,
,
∴,
（2）解:由（1）知,
∴,,
∴,
故答案为:．
（3）解:∵,,
∴,
∴,
∴．
14．（1）证明：∵为等边三角形，分别为的中点，
∴，，
∴，
在中，，，
∴，
∵，
∴，
即．
（2）证明：∵为等边三角形,
∴，，
在和中，
，
∴ ABD≌ BCE（SAS），
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）连接，如图，
是等边三角形，
，，
，
，即，
在和中，
，
；
，
，
，
、、、四点共圆，
，
，
在中，，
，
15．（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴；
（2）证明：过点D作，交于点H，
，，
为等边三角形；
，
，
,
为等边三角形；
，
由（1）知，
，
，
在与中，
，
；
，
；
（3）解：过点作于点，过点作的延长线于点，
平分，
，
，，
，
；
，，
由（2）知为等边三角形，
，
；
，，
，
，
，
，
，
，
∵CF=6，
；
设，则，
，
∴，
∴，
∴．
16．（1）解：，
，即，
在和中，
，
，
，
，
，即，
，
，
故答案为：；
（2）解：，
，即，
在和中，
，
，
，
，
，即，
，
，
如图，作于，于，
，
，
，，
，，
，
，，
平分，
；
（3）解：，
，即，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：．

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