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19.3二次根式的加法与减法（第2课时 二次根式四则混合运算）
第十九章 二次根式
2026年新人教版八年级数学下册★★
复习引入
二次根式的概念
二次根式的性质
二次根式的运算
二次根式的应用
分式的概念
分式的基本性质
分式的运算
分式的应用
类比
加减
复习引入
二次根式的加减 同类 二次根式 的二次根式，叫作同类二次根式.
二次根式的加减 一般地，二次根式加减时，
先将二次根式化成 ，
再将 的二次根式合并.
最简二次根式
被开方数相同
被开方数相同
合作探究
例4 计算：
（1）； （2）.
思考 (1)中，先计算什么？后计算什么，最后的目标是什么？(2)呢？
与有理数、实数运算一样，在混合运算中先乘除，后加减；
对于（1）：先算乘，再化简，若有相同的二次根式进行合并，
最后的目标是二次根式是最简二次根式；
对于（2）：先算除，再化简，若有相同的二次根式进行合并，
把所有的二次根式化成最简二次根式．
合作探究
例4 计算：
（1）； （2）.
解：(1)
每一步的依据是什么
乘法分配律或多项式乘单项式
二次根式的乘法法则
二次根式的化简
合作探究
例4 计算：
（1）； （2）.
解：(2)
每一步的依据是什么
多项式除以单项式
二次根式的除法法则
合作探究
例5 计算：
（1）； （2）.
解：(1)
每一步的依据是什么
多项式乘以多项式
二次根式的性质和运算
合并同类项
合作探究
例5 计算：
（1）； （2）.
解：(2)
每一步的依据是什么
平方差公式
二次根式的性质
合并同类项
典例分析
例1 计算：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4）.
解：(1)
典例分析
例1 计算：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4）.
解：(2)
典例分析
例1 计算：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4）.
解：(3)
典例分析
例1 计算：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4）.
解：(4)
典例分析
例2 计算：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4）.
解：(1)
典例分析
例2 计算：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4）.
解：(2)
典例分析
例2 计算：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4）.
解：(3)
典例分析
例2 计算：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4）.
解：(4)
巩固练习
1.下列计算正确的是（ ）
A．3+=3 B．÷=2
C．×= D．3 =3
B
巩固练习
2.计算：(+1)( 1)=（ ）
A．1 B．2 C． 1 D．3
A
巩固练习
3.计算( 1)2的结果是 ．
6 2
4.计算：(+)( )2= ．
5.计算：( )+= ．
2
归纳总结
二次根式的混合运算 运算顺序
依据
二次根式的运算法则
（类比）整式的运算法则
先乘除，后加减
→乘法公式
感受中考
1.（2025年河北）计算：(+)( )=（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
B
感受中考
2.（2023年辽宁大连）下列计算正确的是（ ）
A．= B．2+3=5
C．=4 D．(2 2)=6 2
D
感受中考
3.（2023年湖北荆州）已知k=(+)·( )，则与k最接近的整数为（ 　）
A．2 B．3 C．4 D．5
B
感受中考
4.（2025年江苏南京）计算(+)( )的结果是 ．
2
感受中考
5.（2023年内蒙古）先化简，再求值：
(2x+y)2+(x y)(x+y) 5x(x y)，其中x= 1，y=+1．
解：原式=4x2+4xy+y2+x2 y2 5x2+5xy
=9xy．
当x= 1，y=+1时
原式=9( 1)(+1)=9×(6 1)=45．
小结梳理
二次根式的概念
二次根式的性质
二次根式的运算
二次根式的应用
乘法
除法
加减
“一化简、二判断、三合并”
先乘除
后加减
混合运算

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