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河南省许昌市2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，则( )
A. B. C. D.
2.下列说法中错误的是( )
A. 空间四边形可以确定四个平面
B. 当三点共线时，有无数个平面
C. 若一条直线与一个平面平行，则这条直线与这个平面内的任意一条直线都没有公共点
D. 若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这条直线与另一个平面平行
3.在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则( )
A. B. C. D.
4.若向量，，两两夹角均为，且，，，则( )
A. B. C. D.
5.已知圆锥的侧面积为，其轴截面的直观图为，且轴，，则的长度为( )
A. B. C. D.
6.福善牛皮鼓是四川省自贡市富顺县福善镇的传统手工技艺，属于自贡市级非物质文化遗产传统技艺类项目，该技艺以本地水牛前肋皮为原料，完整保留选材、撑皮、晒皮、下料、削皮、浸泡、鼓皮定型、箍桶、上索、上楔等十道核心工序，成品具有音质纯正、粗犷深沉的声学特质．如图所示的牛皮鼓的鼓面直径为，其表面积为，用平行于鼓面的平面截牛皮鼓，所得截面圆的最大直径为若将该牛皮鼓看成由两个相同的圆台拼接而成，忽略鼓面与鼓身的厚度，则该牛皮鼓的高度为( )
A. B. C. D.
7.在中，，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，，其中，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.在正六面体中，直线平面，直线平面，记该正六面体的条棱所在的直线构成的集合为给出下列四个命题：
中可能恰有条直线与异面；
中可能恰有条直线与异面；
中可能恰有条直线与异面；
中可能恰有条直线与异面．
其中正确命题的个数为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知平面向量，，则下列命题正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若与的夹角为锐角，则的取值范围为
D. 若，则在上的投影向量的坐标为
10.在中，，，，点为边上一动点，则( )
A.
B. 当为边上的高线时，
C. 当为边上的中线时，
D. 当为的平分线时，
11.已知正方体的棱长为，点，分别是线段，的中点，平面过点，，且与正方体形成一个截面图形，下面说法正确的是( )
A. 直线与是异面直线
B. 截面图形是一个五边形
C. 若点在正方形内含边界位置，且平面，则点的轨迹长度为
D. 截面图形的周长为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设是虚数单位，在复平面内复数的共轭复数对应的点位于第 象限．
13.油纸伞是汉族古老的传统用品之一，以手工削制的竹条做伞架，以涂刷天然防水桐油的皮棉纸做伞面，如图伞在开合过程中，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的，且，伞圈可沿伞柄自由滑动．如图，当伞完全收拢时，伞圈滑至的位置，此时，，三点共线，已知，为的中点；当伞从完全张开状态到完全收拢状态时，伞圈沿伞柄向下滑动的距离为如图，当伞完全张开时， ．
14.在中，点满足，，设，，若，，且，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知为坐标原点，复数，，，在复平面内对应的向量分别为，，．
若点在复平面的实轴上，且，求出实数与的值；
若点在直线上，且，求出实数的值，并计算．
16.本小题分
已知长方体中，，，用平面截去长方体的一个角后得到如图所示的几何体．
求被截去的几何体的体积；
求几何体的表面积．
17.本小题分
请在向量，，且；这两个条件中任选一个，填入横线上并解答．
在中，内角，，的对边分别为，，，且满足______．
求的大小；
若，求周长的取值范围；
若边上的高为，求面积的最小值．
18.本小题分
某市计划在中央公园的一块三角形空地上建休闲花园，将三角形分割成三部分，如图，在区域，分别种植薰衣草、马鞭草花田，将区域设计为下沉式水景庭院，并在水景庭院周围设置木质护栏．在中，，，、在上，且．
当时，求木质护栏的长度；
为了控制建设成本，如何设计能使水景庭院面积尽可能小？请写出设计方案，并求出水景庭院面积的最小值．
19.本小题分
如图，在正方体中，，，，，分别是棱，，的中点，且与相交于点．
求证：直线为平面与平面的交线；
在图中作出过，三点的截面，并求出该截面的周长和面积．写出作图过程并保留作图痕迹
参考答案
1.
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4.
5.
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8.
9.
10.
11.
12.四
13.
14.
15.解：因为点在复平面的实轴上，所以，即点，
又因为，，所以，，
由且，得，
所以，解得；
点在直线上，即，所以，
又因为，，所以，
即，解得，此时，
所以．

16.解：解：被截去的几何体为三棱锥，体积为．
解：因为，，
所以，，，
．
，，
在中，由余弦定理得，
则，
所以，
所以．

17.解：选择：因为，所以，
由正弦定理，得，
即，
即，
因为，所以，所以，
又，所以；
选择：因为，所以，
由正弦定理，得，即，
即，即，即，
由余弦定理，得，又，所以；
由余弦定理，得，
即，即，当且仅当时取等号，
所以，得，即周长的取值范围为；
由面积公式，得，
由余弦定理可得，
所以，
所以，当且仅当时等号成立．
所以，
即面积的最小值为．

18.解：在中，，，所以，，．
在中，
，所以，
则为等腰三角形，，又因为，所以，则，
得，，
则，
所以护栏的长度为．
设计使得时水景庭院面积最小或设计等符合题意都可．
方法一 设，，则，
在中，，即，解得．
在中，，即，解得．
所以水景庭院的面积为
，
则当，即，时，水景庭院的面积最小，最小值为．
方法二 设，，则，
在中，，即，解得．
在中，，即，解得．
所以水景庭院的面积为
，
则当，即时，水景庭院的面积最小，最小值为．

19.解：证明：平面平面，
由于，平面，
所以平面，
又，平面，
所以平面，
所以，即点在直线上；
解：如图，连接并延长与的延长线交于点，连接交于点，连接，．
抹去，得四边形，即为所求截面，如图．
易知四边形为等腰梯形，在正方体中，
，，，
所以等腰梯形的高为，
所以梯形的面积为，
梯形的周长为
．

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