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河南周口市天立高级中学等校2025-2026学年高一下学期期中联考
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，若，则实数( )
A. B. C. D.
2.已知，，点在直线上，且，则点的坐标为( )
A. B.
C. D. 或
3.在菱形中，，点是的中点，点在线段上包含端点，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
4.在中，，，，则边上的高为( )
A. B. C. D.
5.在中，若，，其面积为，则( )
A. B. C. D.
6.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
7.在三棱锥中，为正三角形，，，二面角的平面角为，则三棱锥外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
8.如图，在棱长为的正方体中，为棱的中点，为正方体表面上的一动点含边界，则下列说法中正确的是( )
A. 三棱锥外接球的表面积为
B. 若平面，则动点的轨迹是一条线段
C. 若平面，则动点的轨迹的长度为
D. 若，则动点的轨迹长度为
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列语句错误的是( )
A. ，是夹角为的两个单位向量，则向量在向量上的投影向量为
B. 圆锥底面半径为，母线长为，则此圆锥的侧面积为
C. 直棱柱都有外接球
D. 在同一平面内的向量、、两两不共线．对于平面内的任意一个向量，都存在唯一的一个有序实数组，使得等式成立
10.如图，在直三棱柱中，，，点，，，分别是，，，的中点，则( )
A. ，，，四点共面
B. 线段为直三棱柱外接球的直径
C. 三棱锥的体积为
D. 异面直线与所成角为
11.满足，且，则
A. 三个内角满足关系
B. 的周长为
C. 若的角平分线与交于，则的长为
D. 设为外接圆上任意一点，则的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知四边形是复平面内的平行四边形，点，，对应的复数分别为，，，则 ．
13.在中，角的对边分别是，已知，，则的面积为 ．
14.已知圆台的下底面半径是上底面半径的倍，母线长为，若一个球与该圆台的上下底面和侧面均相切，则球与圆台的侧面切点所形成的曲线的长为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图；在中，已知，，其中边上的两条中线相交于点．
求的余弦值；
设，求的值．
16.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，且．
求的值
若，，且的面积为，求的长度．
17.本小题分
已知复数，．
若复数是纯虚数，求的值
若是关于的方程的一个根，求的值．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，底面四边形为直角梯形，，，，，，分别为，中点．
求证：．
求与平面所成角的余弦值．
求点到平面的距离．
19.本小题分
如图所示，在长方体中，，，，点在棱上，点在棱上，且．
证明：；
求直线与平面所成角的余弦值；
在棱上是否存在点，使得到平面的距离与到平面的距离相等？若存在，求出的长；若不存在，说明理由．
参考答案
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14.
15.解：由题意知，可得，
因为为的中点，为的中点，
所以，
可得
，
所以，
又由
，
设，则，
所以的余弦值为．
因为分别是边上的中线，且相交于点，
所以为的重心，根据三角形重心的性质，可得，
又因为与方向相同，所以，
因为，所以．

16.解：中，，
利用正弦定理：，
整理得，
故，
整理得，
由于，
所以；
由于，
所以，
故，
由于，所以，
故，
由正弦定理，得：：：：：：，；
由得，，．
因，所以，
在中，利用余弦定理：；
故CD．
17.解：，
因为是纯虚数，所以且，解得．
因为是关于的方程的一个根，
所以，整理得，
所以解得，，
所以．
18.证明见解析． ．
19.证明：因为在长方体中，，，，
又点在棱上，点在棱上，且，
连接，，
所以，故F为菱形，
故，由长方体得平面，
由平面，知；由，平面，平面，
知平面，由平面，知 存在符合题意的点，，理由如下：
假设存在点满足条件，记到平面的距离到平面的距离，
则，
由知，
，故；则，
另一方面，
故，
综上所述，存在符合题意的点，
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