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河南省平顶山市2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，若，则( )
A. B. C. D.
2.甲、乙分别报名参加春季运动会中的跳远、米、铅球三项比赛项目，根据运动会比赛安排，这三项比赛同时进行，每人只能报其中一项，则不同的报名种数为( )
A. B. C. D.
3.记为数列的前项和，已知，则( )
A. B.
C. D.
4.若直线与直线垂直，则这两条直线的交点坐标为( )
A. B. C. D.
5.如图，在正八面体中，四边形为平行四边形，，分别为，的中点，设，，，则( )
A. B. C. D.
6.已知直线与圆：相交于，两点，其中点为此圆的圆心，则( )
A. B. C. D.
7.已知，，，四名同学参加诗歌朗诵比赛，已评出名次第一名至第四名，无并列名次，但未公布，一位评委提供如下信息：不是第四名，，两人名次不相邻，根据上述信息，这人名次排列情况可能的种数为( )
A. B. C. D.
8.已知不经过点的直线：与双曲线：交于，两点，若的角平分线与轴垂直，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，且，则( )
A. B. 在上单调递增
C. 只有一个极值点 D. 有三个零点
10.已知，则( )
A. B.
C. D.
11.已知数列满足，设，的前项和分别为，，则( )
A. B.
C. 当时， D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，则曲线在点处的切线方程为 ．
13.已知为抛物线：的焦点，过点的直线与相交于，两点，若轴，，则 ．
14.某市推出“文明出行，平安上学”宣传活动，某宣传志愿者计划利用天到所学校进行宣讲，要求每天至多宣讲两所学校，所学校中相距较远的甲、乙两校不安排在同一天宣讲，则不同的安排方法有 种
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知二项式的展开式中第项的二项式系数是第项的二项式系数的倍．
求的值；
求展开式中的常数项．
16.本小题分
已知椭圆：经过，两点．
求椭圆的标准方程；
过椭圆的左焦点的直线交于，两点，其中点在第二象限内，点在第三象限内，若的面积等于的面积，求．
17.本小题分
已知数列满足．
求，的值；
求数列的通项公式；
记为数列的前项和，令，求使取得最大值时的值．
18.本小题分
如图，矩形中，点，，分别在，，上，，，将四边形沿翻折至四边形，使得平面平面．

证明：平面．
若存在点，使得点到，，，的距离相等．
(ⅰ)求点到平面的距离；
(ⅱ)若点满足，当取得最小值时，求平面与平面夹角的余弦值．
19.本小题分
已知函数．
当时，
(ⅰ)求在区间上的值域；
(ⅱ)证明：，．
若在上恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
1.
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14.
15.解：由题意可知，，则，
又，所以，解得．
二项式的展开式的通项为，
令，解得，
所以展开式中的常数项为．

16.解：由题意可知，解得，，
故椭圆的标准方程为．
由可知，椭圆的左焦点为，
如图，
因为的面积等于的面积，
所以点，到直线的距离相等，结合图形可知，，则，
所以直线的方程为．
由消去整理得，
解得，
设，，则

17.解：当时，；
当时，，解得．
因为，所以当时，，
两式相减，得，
当时，也满足上式，
所以．
由知，，
因为，所以数列为等差数列，
则，
所以，，
令，解得，，令，解得，，令，得．
所以，
综上可知，取得最大值时的值为或．

18.解：证明：在矩形中，因为，，
所以四边形为正方形，
则，，即，又，
所以平面，则是平面的一个法向量，
同理证得平面，又平面，
所以，即，
又平面，所以平面．
连接，，由知，，且平面，
所以平面，则，
因为平面平面，且，平面平面，
所以平面，又平面，则，
在，中，当为的中点时，点到，，，的距离相等．

(ⅰ)由上知，，，两两垂直，以为原点，以，，所在直线分别为，，轴建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，，
，．
设平面的法向量为，
，令，则
所以点到平面的距离为．
(ⅱ)由可知，点在以为球心，以为半径的球的球面上，
当，，共线，且位于线段上时，取得最小值．
由坐标系可知，，
，所以，
则，又，
设平面的法向量为，
，令，则，
由知是平面的一个法向量，记为，
于是，故平面与平面夹角的余弦值为．

19.解：当时，，
，
所以在上单调递增，
则，，
所以在区间上的值域为．
(ⅱ)要证明，，
需证明在上恒成立，
令，，
则，
因为，所以，
则，当且仅当时取得等号，
所以，则在区间上单调递减，
故，即，
综上可知，，．
由可知，当时，在上单调递增，则，即．
在上恒成立转化为在上恒成立，
令，则，
令，则，
令，则，
当时，，所以单调递减，
当时，，所以单调递增，
因为，，，
所以当时，存在唯一的，使得，
当时，，所以在上单调递减，
当时，，所以在上单调递增，
因为，，所以时，，
则当时，，所以在上单调递减，
因此当时，．
下面证明当时，，即证，
令，，则，
所以在上单调递增，则，即，
因此当时，．
综上可知，实数的取值范围为．

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