资源简介

2025-2026学年江苏省南京一中高二（下）4月段考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知数列为正项等比数列，若，，则( )
A. B. C. D.
2.已知随机变量，且，则( )
A. B. C. D.
3.二项式的展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
4.有位老师和名学生排成一队照相，老师既不能分开也不排在首尾，则不同的排法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
5.某次测试共设置两道必答题，考生至少答对其中一道题即可通过测试已知考生甲答对每一题的概率均为，在甲通过测试的条件下，其只答对一道题的概率为( )
A. B. C. D.
6.除以的余数是( )
A. B. C. D.
7.三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
8.已知函数，，若对任意的，，，恒成立，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列关于随机事件的概率说法正确的是( )
A. 若，则事件发生，事件一定发生
B. 对于古典概型，若，则事件与互斥
C. 若，则事件与独立
D. 某校高二年级男女生人数之比为：，最近一次视力检测统计结果为男生近视率为，女生近视率为，则该年级学生的近视率为
10.已知函数，则( )
A. 若为奇函数，则且
B. 当，，时，在上单调递增
C. 当，，时，有两个极值点
D. 当，，时，的图象关于点对称
11.如图，在正四棱锥中，，，，，分别为侧棱，，，的中点，若多面体的体积为，则( )
A. 平面
B. 四棱锥的外接球半径为
C. 直线与底面所成角的余弦值为
D. 点到平面的距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.求曲线在点处的切线方程______．
13.已知二面角的棱上有，两点，，，，，若二面角的大小为，且，，，则 ．
14.个人进行篮球训练，互相传球接球，要求每个人接球后马上传给别人，开始由甲发球，并作为第一次传球，第五次传球后，球又回到甲手中，不同的传球方法数为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知是公差为的等差数列，其前项和为，且，．
求的通项公式；
若数列满足，其前项和为，证明：．
16.本小题分
从，，，，，这个数字中选出个不同的数字组成四位数，其中奇数有多少个？结果用数字作答
南京市开展支教活动，我校有甲，乙，丙等名教师被随机地分到，，，四个不同的中学，且每个中学至少分到一名教师，共有多少种不同分法结果用数字作答
17.本小题分
年五一期间，银泰百货举办了一次有奖促销活动，消费每超过元含元，均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种．
方案一：从装有个形状、大小完全相同的小球其中红球个，白球个，黑球个的抽奖盒中，一次性摸出个球其中奖规则为：若摸到个红球和个白球，享受免单优惠；若摸出个红球和个黑球，则打折；若摸出个白球个黑球，则打折；其余情况不打折．
方案二：从装有个形状、大小完全相同的小球其中红球个，黑球个的抽奖盒中，有放回每次摸取球，连摸次，每摸到次红球，立减元．
若两个顾客均分别消费了元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；
若某顾客消费恰好满元，试从概率角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？
18.本小题分
如图，四棱台的底面为正方形，侧面为等腰梯形，，，为的中点．
证明：平面平面；
求平面和平面夹角的余弦值．
在上是否存在一点，使的体积为，若存在，求与平面所成角的正弦值，若不存在，请说明理由．
19.本小题分
已知函数，．
当时，讨论的零点的个数；
若在处取得极大值，求的取值范围；
当时，证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由是公差为的等差数列，其前项和为，且，，
得
解得
所以．
证明：由，
可得．
16.解：从，，，，，这个数字中选出个不同的数字组成四位数，且为奇数，
第一步：确定个位数，有种排法；
第二步，确定千位数，有种排法；第三步，确定十位和百位数，有种排法．
根据分步计数原理，这样的奇数有个．
因为名教师分到，，，四个不同的中学，且每个中学至少分到一名教师，
所以先将名教师分成组，每组至少一个，故有两类分组结构：，，，和，，，．
分两类完成，第一类按，，，分组，有种，
然后再分配到四个不同的中学去，有种，所以有种不同的分配方法；
第二类按，，，分组，有种，
然后再分配到四个不同的中学去，有种，所以有种，
根据分类加法计数原理共有种不同的分配方法．
17.解：选择方案一，若享受到免单优惠，则需要摸出个红球和个白球，
设顾客享受到免单优惠为事件，则，
所以两位顾客均享受到免单的概率为
．
若选择方案一，设付款金额为元，则的可能取值为，，，；
，，
，
，
故的分布列为：
所以元；
若选择方案二，设摸到红球的个数为，付款金额为元，则，
由已知可得，故E，
所以元，
因为，所以该顾客选择第二种抽奖方案更合算．
18.解：证明：易知，则，
故，则，即，
由题易知，
又因为，，面，则面，
又因为面，故面面；
过点作直线平面，过作，
建立空间直角坐标系，如图所示：
面面，面面，则面，
故D为四棱台的高，
又，则，
，
，
设平面的一个法向量为，
，，令，则，
同理可得面的一个法向量为，
设平面和平面的夹角为，
，
所以平面和平面夹角的余弦值为；
假设在上存在一点，使的体积为，
则，
解得，所以，，
设直线与平面所成角为，
则，
所以在上存在一点，使的体积为，此时与平面所成角的正弦值为
19.解：当时，，所以，即是的一个零点，
，当时，，在单调递增；
当时，，在单调递减，
因为，，
因为图象是不间断的，所以在上存在个零点，
故的零点的个数为；
定义域为，，
当时，由得，列表如下：
递减 极小值 递增
此时在处取得极小值，不符合题意；
当时，，列表如下：
递增 极大值 递减 极小值 递增
此时在处取得极小值，不符合题意；
当时，，，在上单调递增，此时无极值；
当时，，列表如下：
递增 极大值 递减 极小值 递增
此时在处取得极大值，符合题意，
综上所述，实数的取值范围是；
证明：因为，，所以在点处的切线方程为，
设，下面证明：当时，，
设，则，
设，则，
当时，，，所以，即，
所以在上单调递减，所以，
即，所以在上单调递减，所以，
即，从而，
设数列的前项和为，则，
所以．
第1页，共1页

展开更多......

收起↑