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2025-2026学年山西大学附属中学高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.函数的单调递减区间是( )
A. B. C. D.
2.已知函数的导函数的图象如图所示，则该函数的图象可能是( )
A. B.
C. D.
3.某班学生考试成绩中，数学不及格的占，语文不及格的占，两门都不及格的占已知一学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是( )
A. B. C. D.
4.某小区有个不同的快递驿站驿站、、，现在有件快递需要分发到这个驿站，每件快递只能分发到其中一个驿站，那么不同的分发方法有多少种？( )
A. B. C. D.
5.春节期间，某家庭准备了个不同的马年新春红包，全部装入个不同的红包袋中，每个红包袋至少装个红包，则不同的装法种数是( )
A. B. C. D.
6.已知函数在处的切线方程为，则的值为( )
A. B. C. D.
7.已知定义在上的连续函数为奇函数，的导函数为若对任意，都有，且，则关于的不等式的解集为( )
A. B. C. D.
8.如图所示，对两行三列共个相邻的格子进行染色，每个格子均可从红、蓝两种颜色中选择一种，要求有公共边的两个格子不能都染红色，满足要求的染色方法共有( )
A. 种 B. 种
C. 种 D. 种
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若，则( )
A.
B.
C.
D.
10.将个小球放入个盒子中，结合小球的相同与不同属性、盒子的相同与不同特征，以及不同的放置限制条件，下列说法正确的有( )
A. 若小球相同、盒子不同，且每个盒子至少放个球，则不同的放法种数为
B. 若小球相同、盒子不同，且允许有空盒子，则不同的放法种数为
C. 若小球不同、盒子相同，且每个盒子至少放个球，则不同的放法种数为
D. 若小球相同、盒子不同，且恰有个盒子放个球，其余盒子至少放个球，则不同的放法种数为
11.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 是函数的极大值点
B. 的对称中心为
C. 在上恒有
D. 若与在有唯一交点，则或
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.从，，，，这个数字中选出个不同数字能组成 用数字表示个三位数．
13.的展开式中常数项为 ．
14.若对任意的，恒有，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，在处的切线与垂直，
求实数的值；
求在区间上的值域．
16.本小题分
已知的展开式中所有项的系数之和为．
求展开式中各项系数的最大值；结果用数字表示
求的展开式中的系数结果用数字表示
17.本小题分
某自然保护区为预防森林火灾，安装了智能监控系统，数据显示在炎热干燥天气条件下，该保护区每天发生火灾的概率为，当火灾发生时系统正确发出警报的概率为，当火灾没有发生时，系统错误发出警报的概率为．
求炎热干燥天气条件下该保护区智能监控系统某天发出警报的概率；
若炎热干燥天气条件下该保护区智能监控系统某天发出警报，估计保护区该天实际发生火灾的概率精确到．
18.本小题分
已知函数．
若，求函数的极值点；
若在其定义域内单调递增，求实数的取值范围；
若，且设，有两个零点，，其中，求的取值范围．
19.本小题分
已知函数，．
讨论的单调性；
求在区间上的值域；
若对任意的恒成立，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：根据函数，导函数，
那么在处的切线的斜率为，因切线与垂直，
因此，解得．
根据第一问可得导函数，
因，那么当时，，当时，，
因此在上单调递增，在上单调递减，
又，
因，即，
故在区间上的值域为．
16.解：令可得，解得，
则．
设第项的系数最大，
则整理得
解得，所以，
所以展开式中各项系数的最大值为．
中没有项，
的展开式中的系数为的展开式中的系数为，
的展开式中的系数为，
所以的系数为．
17.解：该保护区每天发生火灾的概率为，
当火灾发生时系统正确发出警报的概率为，
当火灾没有发生时，系统错误发出警报的概率为，
用表示炎热干燥天气条件下该保护区某天发生火灾，
用表示系统发出警报，
则，
，
，，
由全概率公式，得：，
即炎热干燥天气条件下该保护区智能监控系统某天发出警报的概率为．
由知，，
炎热干燥天气条件下智能监控系统某天发出警报，保护区该天实际发生火灾的概率为：．
18.解：当时，，定义域为，
，
，得，
当或时，，在和上单调递增；
当时，，在上单调递减；
因此，极大值点为，极小值点为；
函数的定义域为，
对求导得，
因为在其定义域内单调递增，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
移项可得在上恒成立，
又，
当且仅当，即时等号成立，
所以，即实数的取值范围是；
由知，因为有两个零点，，
所以，是方程的两个不相等的正实数根，
根据韦达定理，对于一元二次方程，
两根，有，，
则在方程中，，，
因为，所以，且，
已知，即，
解不等式，两边同时除以，得，
即，即，
因为，所以该不等式恒成立；
解不等式，由，可得，
因式分解得，解得，
结合，可得，
，
设，，
，
所以在上单调递减，
则，，
，
所以，即的取值范围是．
19解：由题意知导函数，
当时，，因此函数在上单调递减；
当时，令，解得，令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增．
由于，所以是奇函数，
又，当时，，，因此，
令，因此导函数，
当时，，因此函数即在上单调递减，
又，，因此，使得，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又，，，
所以当时，，
又是奇函数，因此当时，．
综上，在区间上的值域为．
若对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
记函数，即对任意的恒成立，
，导函数，，
当时，当，令，那么导函数，
因此在上单调递增，
令，，那么导函数，故在上单调递增，
那么，所以当时，，
又，，
故存在唯一的，使得，
当时，，在上单调递减，
因此，此时，不符合题意．
当时：若，令，，那么导函数，
故在上单调递增，那么，
因此导函数，则在上单调递增，
因此恒成立，即成立，符合题意；
当时，若，那么导函数在上单调递增，
又，，所以存在唯一的，使得，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
又，，故存在唯一的，使，
故当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
又，，
所以时，，则在上单调递增，
故，即恒成立．
综上，的取值范围是．
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