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宁德市 2025-2026 学年第二学期高一期中阶段性训练
数学试题
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的 4 个
选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
1.已知向量 a 3,1 ，b 2, 2 ，则 a 2b （ ）
A． 7，-5 B． 7，-3 C． 0，-5 D． 0，7
2.已知复数 z 1 2i 2 i ，则复数 z的虚部为（ ）
A. -5i B. -3i C. -3 D. -5

3.记 ABC的内角 A、B、C的对边分别为 a、b、c，若 a 2 2， c 4， A ，则
6
角C为（ ）
3 3
A． B． C． 或 D．
3 4 4 4 4
4.在复平面内，复数 z 3- 2i 所对的向量为OA，将OA逆时针旋转90 得到OB，则OB所
对应的复数为（ ）
A. 3 2i B. -3- 2i C. 2 -3i D. 2 3i

5．已知向量a，b的夹角为 ， a 3， a a b ，则 2a b （ ）
6
A． 2 3 B． 3 C．12 D．3
6.在 ABC中， AN 1 NC， P是BN 1上的一点，若 AP mAB AC，则实数m的
2 4
值为（ ）
1 1 3 5
A． B． C． D．
4 2 4 8
7.在 ABC中,角 A,B,C所对边分别为 a,b,c ,已知向量m a c,a b ,n b,a c ,
且m / /n ,同时满足 c 2bcos A ,则 ABC的形状为（ ）
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形
8.已知圆O的半径为 3，弦 AB 2 5，C是圆O上的一个动点，则OC CA CB 的取
值范围是（ ）
A． 30, 12 B． 30, 6 C． 24, 6 D． 24, 12
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二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分。在每小题给出的选项
中，有多项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错
的得 0 分。
9.已知复数 z满足 z i 7 i ，则下列说法正确的是（ ）
A. 共轭复数 z 1 7i B. 模长 z 5 2
C. 复数 z在复平面内对应的点位于第三象限 D. z z 14i
10.下列说法正确的是（ ）

A.向量 a 1, 3 ,b 3 2, 可以作为平面内的一个基底
2
1 1
B.在平行四边形 ABCD 中，若 AM AB ,则DM AB AD
3 3
C.若 a 3, 3 ,b 1, 3 ，则 a在b方向上的投影向量为 3，3 3
e ,e 1 1D.若 1 2 为单位向量，则 e1 e2 2
e
2 1
e2
A(1,0),B( 1 , 311.已知 )，点C落在第三象限，点O在平面 ABC内满足：
2 2
① OA OB OC ;②OA OB OA OC OB OC，延长 AO与BC交于点D，则以
下说法正确的是（ ）
A. ABC是等边三角形 B. AB AD 9
C.若 P是 ABC外接圆上一点，当 BA BP最大时， B、O、 P三点共线
D.若 P是 ABC外接圆上一点，点 P所对应的复数为 z ,则 z 1 i 的最大值为 2 1
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5分，共 15 分。
2026 3
12.计算： i i ________
13.无人机在高空水平飞行，某一时刻在地面观测点 A的正上方，此时在地面的另一个观测
点 B测得无人机的仰角为30 ，已知 A、B两点间水平距离为 600米，则无人机的飞行高度
为 米。
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1
14. 在 ABC中，G是重心，过G的直线交 AB于D，交 AC于 E，设 AD AB,
m
AE 1 AC,且m 1， n 1，则m n的最小值为________.
n
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程
或演算步骤。
15.（13 分）
已知复数 z1 m 2i, z2 3 i, (m R)
(1) 若 z1 z2 4+ni,求实数m,n的值；
z
(2) 若复数 z 1 对应的点在第四象限，求m的取值范围.
z2
16．（15 分）
已知平面向量 a (1,2),b (2, x),c (2, y),且 a // b,a c.
(1) 求b和 c的坐标；
(2) 求向量 2a与向量b c的夹角的余弦值．
17.（15 分）

如图，西礵岛C上有一个雷达观测站在北礵岛 A的南偏西 20 方向，从北礵岛 A出发有一
条南偏东 40 方向的海上航道直达南礵岛B。现有一艘货船从西礵岛C出发，沿直线航行
13km到达南礵岛 B，然后改变航向，沿该航道向北礵岛 A行驶。当货船行驶10km到达东
礵岛D时，测得C与D之间的距离为7km .
(1) 求 sin BDC；
(2) 求 A,B之间的距离.
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18．（17 分）
已知 ABC ,内角 A,B,C对应的边为 a,b,c,满足: bcos A a cos B 2c cos A .
(1) 求角 A；
(2) 若 a 2,S ABC 3 ,求b c；
(3) 若 b 2, ABC 为锐角三角形，求边 c的取值范围.
19.（17分）
2
在平行四边形 ABCD中， BAD .
3
(1) 若 AB 1 AD 2，证明： AB AC；
2
1
(2) 若 AB AD 2，点G在线段 BD（包含端点）上运动，求 AG CG的取值范围；
2
(3) 若E是 BD上一点，满足 AE AB，且 AE 3，求 AD 2AB的最小值.
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宁德市 2025-2026 学年第二学期高一期中阶段性训练
数学参考答案
说明:
一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如
果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细
则.
二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程
度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答
有较严重的错误，就不再给分.
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.
一 单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的 4 个选项中，只有
一个选项是符合题目要求的.
1-5. BDCDA 6-8. ADB
2
8【解析】取 的中点 D，则 + = 2 ， = 32 5 = 2，
所以 + = 2 = 2 = 2 2 2 = 12cos∠
18，
因为 cos∠ ∈ 1,1 ，所以 + ∈ 30, 6 .
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，
有多项是符合题目要求，全部选对得 5 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分.
9.BC 10.ABD 11.AD
三、填空题: 本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 把答案填在答题卡的相应位置
12. 1 i
13. 200 3
14. 3
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14 1 1【解析】三角形重心是三条中线的交点，，即 = + ，
3 3
= ； = 。
可得： = + 。
3 3

直接套用三点共线定理，可列出关键等式： + = 1。得 + = 3。
3 3
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.解(1)由题意得，
z1 z2 (m 2i)(3 i) (3m 2) (6 m)i 4 ni ………………………………..………………..2 分
3m 2 4
……………………………………………..………………………………………………..………………..4 分
6 m n
m 2,n 8 ……………………………………………..………………………………………………..………………..6 分
z z1 m 2i (m 2i)(3 i) (3m 2) (6 m)i(2) ……………………..………………..8 分
z2 3 i (3 i)(3 i) 10
∵复数 z对应的点在第四象限
3m 2 0
……………………………………………..………………………………………………..……………..10 分
6 m 0
2

m
3 ……………………………………………..………………………………………………..……………..12 分
m 6
即m 6
故m的取值范围为 6, ………………………..………………………………………………..……………..13 分
16.解（1）∵ // ，
∴ 2 × 2 = 0, ∴ = 4 …………………………………………………………………………..………………..2 分
∴ = 2,4 …………………………………………………………………………………………………..………………..3 分
∵ ⊥ ，∴ 2 + 2 = 0 = 1 …………………………………………………………………..…………..5 分
∴ = 2, 1 ………………………………………………………………………………………………..………………..6 分
（2）∵ 2 = (2,4)， + = (4,3) …………………………………………………………………..……………..8 分
→
2 2 →∴ = 2 + 4 = 2 5, + = 42 + 32 = 5 ………………………………………..………………..10 分
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→ →
∴ 2 + = 8 + 12 = 20 ……………………………………………………………..………………..11 分
→ →
→ → 2 +
∴ cos < 2 , + >= = 20 = 2 5 → ……………………………………………..………………..15 分→ 2 5×5 5
+
17.解（1）由题意知： = 10km， = 7km， = 13km
2 2
△ cos = +
2
= 400+441 961 1在 中，由余弦定理 ∠ = ……..………………..3 分
2 2×20×21 7
∵0° < ∠ < 180°,
∴sin∠ = 1 cos2 = 4 3∠ ……..………..……………………..………………..6 分
7
（2）∵ cos∠CDA=cos 180° ∠BDC = cos∠BDC= 1， ……..……………………..………………..7 分
7
0°<∠CDA<180°,∴sin∠CDA= 1 cos2 4 3∠CDA= ， ……..………..……………………..………………..8 分
7
由题意知：∠CAD=20°+40°=60°…..………..……..………..………..………..……………………..………………..9 分
在△ 中，由正弦定理得： = ，所以 AC=8km …………..………………..11 分
sin∠ sin∠
由余弦定理得： 2 + 2 2 cos∠ = 2，
即 AD2+49 2AD=64， …..…..……..………..……..………..………..………..……………………..………………..13 分
解得：AD=5km（负值舍去） …..………..……..………..………..………..……………………..……………….14 分
∴ D，A之间的距离为 5km
∴ B，A之间的距离为 15km …..………..……..………..………..………..……………………..………………..15 分
18. 解：（1）由正弦定理得：sin B cos A sin Acos B 2sinC cos A ……..………………..1 分
∴ sin A B 2sinC cos A
∴ sinC 2sinC cos A ..………..……..………..………..………..………..………………..2分
∵C 0， ∴ sinC 0
1
∴ cos A …..………..………..……..………..………..………..………..………………..3 分
2
C ∴ ………..……..………..……..………..………..………..………..………………..4分
3
（2）∵ S 1 3 ABC bc sin A 3 bc 32 4
∴bc 4 ....………..……..…..………..……..…………..……..………..………..………..………..………………..6 分
2 2 2 2 2 2 2
由余弦定理可得： a b c 2bc cos A 4 b c bc b c 4
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∴b2 c2 8 ...…..……..…..………..……..…………..……..………..………..………..………..………………..8 分
∵ b c 2 b2 c2 2bc 16
∴b c 4 ……..……..…..………..……..…………..……..………..………..………..………..……………..9 分
b c
（3）解法一：由正弦定理可得：
sin B sinC
c bsinC 2sinC∴ ..…..………..……..…………..……..………..………..………..………..……………..10分
sin B sin B
∵ A B C
C 2 ∴ A B B ...………..……..…………..……..………..………..………..………..……………..11 分
3
2sin 2 B

2
3 cosB 1 sin B
c 3

2 2 3 cosB sin B 3∴ 1 ………..14分
sin B sin B sin B tan B
∵ ABC为锐角三角形

0

B

∴可得： 2 ∴ B ..……....………..………..……………..15 分
0 2 B
6 2
3 2
tan B 3∴ ……..…………..……..……..…………..……..………..………..………..………..……………..16 分
3
∴1 c 4
故 c的取值范围为 1，4 ……..…………..……..…………..……..………..………..………..………..……………..17 分
解法二：由余弦定理可得：a2 b2 c2 2bc cos A a2 4 c2 2c …………..11 分
∵ ABC为锐角三角形
a2 b2 c2

∴ 2 2可得： a c b2 ..…………..……..…………..……..………..………..………..………..……………..14 分
b2 c2 a
2
c 0

∴解得： c 1 ..…………..……..…………..……..………..………..………..………..……………..16 分

c 4
∴1 c 4 故 c的取值范围为 1，4 …..………..………..………..……………..17分
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19.（1）解法一：证明 :在平行四边形 ABCD 中， AC = AB + AD ………..………..………..1 分
∴ AB AC = AB AB+ AD = AB2 + AB AD
∴AB AD = ∣AB∣ ∣AB∣ cos 2π = 2 × 4 × 1 = 4 ……..………..……………..………..………2 分
3 2
∴AB AC = 22 + 4 = 4 4 = 0 ……..………..………..…………..………..………..………………..3 分
所以 AB ⊥ AC,即 AB AC …..………..……..………..……..………..………..………..………..………………..4 分
1
解法二：证明：∵ 在平行四边形 ABCD中， AB AD 2
2
BC AD 4, ABC BAD ∴ ………..………..………..………………..1 分
3
∴在 ABC中，由余弦定理得：
AC 2 AB2 BC 2 2AB BC cos ABC
4 1 16 - 2 2 4 12 ………..……….………..………..………..………………..2 分
2
∴ AC 2 3
∵ AC 2 AB2 12 4 16 BC 2 ………..……….………..………..………..………………..3 分
∴ ABC是以 A为直角的直角三角形
∴ AB AC …..……..………..……..………..……..………..………..………..………..………………..4分
（2）解法一（坐标法）：
解：由①可得： AB AC ，以 A为原点建立平面直角坐标系
由题可得： B 2,0 ，C 0,2 3 ，D 2,2 3 ，
∴ BC 2,2 3 ，BD 4,2 3 ….…..…………..………………..………..………..………………..5 分
∵G在线段 BD上
∴设BG BD 4 ,2 3 ， 0，1 ………..……..…………..……….………..………………..6 分
∴CG BG BC 2 4 ,2 3 2 3 ， AG AB BG 2 4 ，2 3
∵ AG CG 2 4 2 12 1
28 2 28 4， 0，1 ….………..………….………..………..………………..8 分
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1
∴ 当 时， AG CG有最小值 -3
2
当 0或 1时， AG CG有最大值 4
∴ AG CG的取值范围为 -3，4 …..………..……..………..………..………..………..………………..10 分
法二（基底法）：
∵G 在线段 BD上 ∴设 BG BD， 0，1 …..………….………..………..………………..5 分
∵CG BG BC BD BC BA BC BC BA 1 BC ,
AG BG BA BD BA 1 BA BC ….………..………..………………..6 分
2 2
∴由题可得： AG CG -1 BA 2BA BC 1 2BA BC 1 BC
28 2 28 4 , 0，1 …..………….………..………..………………..8 分
1
∴ 当 x 时， AG CG有最小值 -3
2
当 x 0或 x 1时， AG CG有最大值 4
∴ AG CG的取值范围为 -3，4 …..………..……..………..………..………..………..………………..10 分
（3）记 AB m， AD n
AE AB DAE BAD - ∵ .………..………..………..………..………………..11 分
2 6
∵ 在 ABC中， S ABD S ABE S ADE
1
AB AD sin 2 1 AB AE 1 AE AD sin ………..………………..13 分
2 3 2 2 6
1
mn m 1 n
2 2
∴ mn 2m n ………..………..…..………..……..………..………………..14 分
2m n mn 1 2m n 1 2m n
2 2m n 2
∵
2 2 4 8
∴ 2m n 8， ………..…...………………………..…...…………………..…...………………..16 分
当且仅当 2m n 4时，等号成立
∴ 2m n的最小值为 8
即： AD 2AB的最小值为 8 ..……..………..………..………..………..………………..17 分
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解法二：（向量法)
记 AB m， AD n
设 BE = μBD,则 AE = AB + μ AD AB = 1 μ AB+ μAD………………..11 分
∵ AE AB, ∴ AE AB = 0,
μn
∴ 1 μ m2 + μmn 1 = 0 1 μ m = 0 μ = 2m ……….12 分
2 2 2m+n
又 ∣AE∣ = 3,
2
∴ 1 μ AB+ μAD = 3
mn 2 2mn 2 2m2n2 m2n2
+ = 3 = 1
2m + n 2m + n m+ n 2 2m + n 2
∴ 可得：mn 2m n ………..………..…..………..……..………..………………..14 分
2m n mn 1 2m n 1 2m n
2 2m n 2
∵
2 2 4 8
∴ 2m n 8 ……..…...………………………..…...…………………..…...………………..16 分
当且仅当 2m n 4时，等号成立
∴ 2m n的最小值为 8
即： AD 2AB的最小值为 8 ..……..………..………..………..………..………………..17 分
解法三：（函数法)
设∠ =
2
∵ AE ⊥ AB, BAD
3
DAE BAD - AED
2 6 , 2
∴∠ = 2 =
3 3
AE 3
∴在 Rt BAE中，AB = = ………..…..………………..12 分tan tan
AD AE
在 ΔADE中.由正弦定理得： =
sin∠AED sin∠ADE
3sin π2+ = 3cos ∴ AD = = 2 3cosθ = 2 3 …..……..14 分
sin π 33 2 cos
1sin 3cosθ sinθ 3 tanθ2
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2 3 2 3 2 3tanθ + 2 3 3 tanθ 6
∴ AD + 2AB = +
3 tanθ tanθ
= =
3 tanθ tanθ 3 tanθ tanθ
6
=
tan2θ + 3tanθ
..……..………...………...………...………...………...………...………...………...………...……….…..15分
∵0
3
∴ 0 tan 3
3
当 tan 时，AD 2AB有最小值 8 ..……..………..………..………..………..17 分
2
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