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浙江省杭州市钱塘区学正中学2025-2026学年九年级（下）开学数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．五一期间，某景区游客12万人次，景区门票价格168元/人.以此计算，今年该景区五一期间门票总收入用科学记数法表示为（　　）
A．2.016×108元 B．2.016×107元
C．0.2016×107元 D．2016×104元
2．下列四个实数中，最大的是（　　）
A．-3 B． C． D．-π
3．若x是的算术平方根，则x的值为（　　）
A．3 B．- C．± D．
4．如图，将矩形纸片ABCD的两个直角∠A和∠B分别沿直线EN，EM折叠，折叠后点A，B的位置分别是点A'，B'.若∠A'EB'=α，则∠NEM的大小是（　　）
A．180°-2α B．180°-α C． D．90°-α
5．如图，数轴上点A，B对应的实数分别为和，以点B为圆心，长为半径画弧交数轴于点C，则点C对应的实数是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，某型号千斤顶的工作原理是利用四边形的不稳定性，图中的菱形是该型号千斤顶的示意图，保持菱形边长不变，可通过改变的长来调节的长已知，的初始长为，如果要使的长达到，那么的长需要缩短(　　)
A． B． C． D．
7．当0≤x≤m时，函数y=-x2+4x-3的最小值为-3，最大值为1，则m的取值范围是（　　）
A．0≤m≤2 B．0≤m＜4 C．2≤m≤4 D．m≥2
8． 设 ，，，，，则 的值为（　　）
A．. B．. C．. D．.
9．如图，已知矩形AEPG的面积等于矩形GHCD的面积，若要求出图中阴影部分的面积，只要知道（　　）
A．矩形AEFD与矩形PHCF的面积之差
B．矩形ABHG与矩形PHCF的面积之差
C．矩形AEFD与矩形PHCF的面积之和
D．矩形ABHG与矩形PHCF的面积之和
10．如图是一个运算程序，当输入时，输出结果是；当输入时，输出结果是．如果输入的x是正整数，输出结果是，那么满足条件的x的值最多有（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
11．我们把M={1，3，x}叫集合M，其中1，3，x叫做集合M的元素，集合中的元素具有确定性，互异性（如x≠1，x≠3），无序性（即改变元素的顺序后，新集合与原集合相等）.已知集合A={0，|x|，y}，集合，若A=B，则x+y的值是（　　）
A．4 B．2 C．0 D．-2
12．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点M的横坐标为3，以M为圆心，5为半径作⊙M，与y轴交于点A和点B，点P是上的一动点，Q是弦AB上的一个动点，延长PQ交⊙M于点E，运动过程中，始终保持∠AQP=∠APB，当AP+QB的结果最大时，PE长为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。
13．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠B=130°，则∠AOC的大小为　 　．
14．已知实数x，y满足，求x-2y的最大值 　 　 .
15．在一个不透明的布袋中装有52个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小强每次摸出一个球记录下颜色后并放回，通过多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.2左右，则布袋中黑球的个数可能有　 　．
16．如图，菱形ABCD的面积为24，点E是AB的中点，点F是BC上的动点.若△BEF的面积为4，则图中阴影部分的面积为　 　.
17．如图，直线l与y轴、x轴交于E、F两点，与双曲线交于A、B两点，且AE=AB，连接OA、OB，分别与双曲线交于D、C两点，则四边形ABCD的面积为　 　 .
18．在平面直角坐标系中，点C、B分别在x轴、y轴上，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，已知A（2，2）、P（1，0）．M为BC的中点，当PM最短时，则M的坐标为　 　．
19．若则　 　.
20．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，两个边长为1的正方形DEFG，GHIJ的顶点D，E，F，I，J均在△ABC的边上，∠FGH=α（0°＜α＜90°），令=n，当α=60°时，n= 　 　 ；当n=时，S△ABC= 　 　 .
三、解答题：本题共7小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21．计算：
22．已知关于x的一元二次方程x2-4x+a=0有两个不相等实数根.
（1）求a的取值范围；
（2）化简，并选择一个适合的正整数a代入求值.
23．如图，直线y＝x+m与二次函数y＝ax2+2x+c的图象交于点A（0，3），已知该二次函数图象的对称轴为直线x＝1.
（1）求m的值及二次函数解析式；
（2）若直线y＝x+m与二次函数y＝ax2+2x+c的图象的另一个交点为B，求△OAB的面积；
（3）根据函数图象回答：x为何值时该一次函数值大于二次函数值.
24．已知正方形ABCD如图所示，连接其对角线AC，∠BCA的平分线CF交AB于点F，过点B作BM⊥CF于点N，交AC于点M，过点C作CP⊥CF，交AD延长线于点P.
（1）若正方形ABCD的边长为4，求△ACP的面积；
（2）求证：CP=BM+2FN.
25．中国元素几乎遍布卡塔尔世界杯的每一个角落，某特许商品专卖店销售中国制造的纪念品，深受大家喜爱.自世界杯开赛以来，其销量不断增加，该商品销售第x天（1≤x≤28，且x为整数）与该天销售量y（件）之间满足函数关系如表所示：
第x天 1 2 3 4 5 6 7 …
销售量y（件） 220 240 260 280 300 320 340 …
为回馈顾客，该商家将此纪念品的价格不断下调，其销售单价z（元）与第x天（1≤x≤28，且x为整数）成一次函数关系且满足z=-2x+100.已知该纪念品成本价为20元/件.
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）求这28天中第几天销售利润最大，并求出最大利润；
（3）商店担心随着世界杯的结束该纪念品的销售情况会不如从前，决定在第20天开始每件商品的单价在原来价格变化的基础上再降价a元销售，销售第x天与该天销售量y（件）仍然满足原来的函数关系，问：
①当第x天（20≤x≤28，且x为整数）的销售利润取到最大值，此时x的值为多少？
②若①中销售利润的最大值是20250元，求此时a的值.
26．已知抛物线y=ax2+bx+4（a≠0）.
（1）若抛物线的对称轴是直线x=2，抛物线与x轴的交点坐标为（2，0）.
①求抛物线的表达式；
②若点A的坐标为（3，3），动点P在直线OA下方的抛物线上，连接PA，PO，试判断△AOP的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；
（2）若b=-6a，抛物线过点B（-2，0），与y轴交于点C，将点B绕点N（0，n）（n＜0）顺时针旋转（旋转角小于180°）得到点B'，当点B'恰好落在抛物线上，且满足∠BNB'+∠BCB'=180°时，求n的值.
27．如图，在 ABCD中，∠B是锐角，，BC=10.在射线BA上取一点P，过P作PE⊥BC于点E，过P，E，C三点作⊙O.
（1）当时，
①如图1，若AB与⊙O相切于点P，连结CP，求CP的长；
②如图2，若⊙O经过点D，求⊙O的半径长.
（2）如图3，已知⊙O与射线BA交于另一点F，将△BEF沿EF所在的直线翻折，点B的对应点记为B'，且B'恰好同时落在⊙O和边AD上，求此时PA的长.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数；有理数乘法的实际应用
【解析】【解答】解：万人次人次，
（元），
故答案为：B.
【分析】先计算总收入，然后根据科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数解答即可．
2．【答案】B
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，
∴．
故答案为：B.
【分析】根据实数的大小比较解答即可．
3．【答案】D
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：解：，
∴的算术平方根为，
故答案为：D.
【分析】先求出，然后根据算术平方根的定义计算即可．
4．【答案】C
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠可知，，．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：C.
【分析】根据折叠的性质可得，进而得到，再根据解答即可.
5．【答案】C
【知识点】实数在数轴上表示；二次根式的加减法；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：由题意，；
∴点C对应的实数是；
故选：C．
【分析】根据作图可知，然后利用数轴上两点间的距离公式解答即可．
6．【答案】D
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，设AC与BD相交于点O，A'C'与BD'相交于点O'，
∵四边形ABCD与四边形A'BC'D'都是菱形，且AB=A'B=30cm，BD=30cm，BD'=36cm，
∴BO=BD=15cm，BO'=BD'=18cm，AC=2AO，A'C'=2A'O'，BD⊥AC，BD'⊥A'C'，
在Rt△AOB中，AO=cm，
∴AC=2AO=cm；
在Rt△A'O'B中，A'O'=cm，
∴A'C'=2O'A'=48cm，
∴AC-A'C'=cm.
故答案为：D.
【分析】由菱形的性质得BO=BD=15cm，BO'=BD'=18cm，AC=2AO，A'C'=2A'O'，BD⊥AC，BD'⊥A'C'，用勾股定理分别算出AO、A'O'，从而可得AC及A'C'的长，最后再求出AC与A'C'的差即可.
7．【答案】C
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：∵y=-x2+4x-3=-（x-2）2+1，
∴该函数的对称轴是直线x=2，当x=2时，该函数取得最大值1，该函数图象开口向下，
∵当0≤x≤m时，此函数的最小值为-3，最大值为1，当x=0时，y=-3，
而x=4时，y=-3，
∴2≤m≤4，
故答案为：C.
【分析】先把二次函数化为顶点式，然后根据二次函数的开口方向和增减性求出m的取值范围即可．
8．【答案】C
【知识点】二次根式的混合运算；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：由题意得：，
，
，
，
，
∴，
．
故答案为：.
【分析】计算，，，得出一般规律，然后计算解答即可．
9．【答案】B
【知识点】三角形的面积；矩形的性质；几何图形的面积计算-割补法；平行四边形的面积；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：因为矩形的面积等于矩形的面积，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
即矩形为矩形面积之差的一半，
故答案为：B.
【分析】由矩形的面积等于矩形的面积得到，根据正切可得，进而得到，再根据割补法表示阴影部分面积即可．
10．【答案】D
【知识点】解一元一次方程；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：由题意知，，
解得，
若，解得，
若，解得，
∴满足条件的的值最多有2个．
故选：D．
【分析】根据程序图示列方程解答即可．
11．【答案】D
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：∵集合，由集合互异性得，，
∴，，
又∵，集合，且，
∴
∴，即
∵，此时，，
由集合互异性得，故，，
又∵与元素对应相等，得，
∴，
∵，两边同除以得，
∴，
∴，即D选项符合题意．
故答案为：D.
【分析】根据集合的定义，由得到、的关系求出、的值，然后代入计算的值即可．
12．【答案】D
【知识点】二次函数的最值；垂径定理；圆-动点问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：如图，∵，，
∴△AQP∽△APB，
∴AP：AB=AQ：AP，
∴，
过点M作MG⊥AB，垂足为G，连接MA，则AG=GB，
∵点M的横坐标为3，圆的半径为5，
∴MG=3，MA=5，
根据勾股定理，得AG==4，
∴AB=2AG=8，
∴，
∴或（舍去），
∵AQ=AB-QB，
∴AP+QB=+8-AQ=
=
∴AP+QB有最大值，且当时，有最大值10，
∴AQ=2，AP=4，
连接AE，设MA与PE的交点为N，
∵△AQP∽△APB，
∴∠APQ=∠ABP，
∵∠AEP=∠ABP，
∴∠APQ=∠AEP，
∴AP=AE=4，，
根据垂径定理的推论，得AM⊥PE，
设AN=x，则MN=5-x，
在Rt△AEN中，，
在Rt△MEN中，，
∴=，
解得x=，
∴，
∴EN=，
∴PE=2EN=，
故选D．
【分析】先证明△AQP∽△APB，即可得到，过点M作MG⊥AB，垂足为G，根据垂径定理可得AB=8，进而得到AP+QB关于AQ的二次函数，得到AQ=2，AP=4，即可得道AE=AP=4，连接MA，交PE于点N，根据垂径定理的推论得到AM⊥PE，设AN=x，利用勾股定理表示EN即可求出x的值，从而求得EN的值解答即可.
13．【答案】100°
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：在中，，
，
是弧所对的圆心角，是弧所对的圆周角，
，
故答案为：．
【分析】根据圆内接四边形的对角互补求出，根据圆周角定理求出的度数即可.
14．【答案】2
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵，
∴．
∴，
∴当时，有最大值，为2，
∴的最大值为2．
故答案为：2.
【分析】又等式得到关于x的二次函数，配方得到顶点式，求出最值即可．
15．【答案】13
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：设袋中有黑球x个，
由题意得： ＝0.2，
解得：x＝13，
经检验x＝13是原方程的解，
则布袋中黑球的个数可能有13个.
故答案为：13.
【分析】设袋中有黑球x个，根据黑球的个数除以球的总数=摸到黑球的概率可得关于x的方程，求解即可.
16．【答案】10
【知识点】三角形的面积；菱形的性质；几何图形的面积计算-割补法；三角形的中线
【解析】【解答】解：连接，
∵菱形的面积为24，点E是的中点，的面积为4，
∴，，
设菱形中边上的高为h，
则，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：10．
【分析】利用菱形的性质和三角形中线分得的两个三角形的面积相等得到，，进而求出，，即可得到的面积，再根据解答即可．
17．【答案】3
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数系数k的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，
设点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点的横坐标为，
∴，
∴点，
设直线的解析式为：，
∴，
解得：，
∴，
∵点在轴上，点在轴上，
∴点，，
∴，；
过点作轴于点交直线于点，过点作轴于点，
设直线的解析式为：，
∴，
∴，
∴；
∵点在双曲线和直线上，
∴，
∴；
∴，，
设直线的解析式为：，
∴，
∴，
∴，
∵点在双曲线和直线上，
∴，
∴，
∴，；
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵；；，
∴四边形的面积为：，
故答案为：．
【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，设点，得到，根据对应边成比例求出点的坐标；利用待定系数法求出直线的解析式，得到，；过点作轴于点交直线于点，过点作轴于点，然后求出直线的解析式，联立直线和双曲线的的解析式，求出交点；同理求出点的坐标，即可得到；根据四边形的面积为：解答即可．
18．【答案】（ ， ）
【知识点】坐标与图形性质；垂线段最短及其应用；线段的中点；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过A作AD⊥y轴于点D，过C作CE⊥x轴，交AD于点E，如图所示，
∵A（2，2），
∴AD＝CE＝2，
设B（0，b），则BD＝2﹣b，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，
∴AB＝AC，∠BAD+∠CAE＝90°，
∵∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠ABD＝∠CAE，
在△ABD和△CAE中，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD＝AE＝2﹣b，
∴OC＝DE＝AD+AE＝2+2﹣b＝4﹣b，
∴C（4﹣b，0），
∵M为BC的中点，
∴M（2﹣ b， b），
当b＝1时，PM有最小值，
∴M（ ， ）.
故答案为：（ ， ）.
【分析】过A作AD⊥y轴于点D，过C作CE⊥x轴，交AD于点E，根据点A的坐标可得AD＝CE＝2，设B（0，b），则BD=2-b，根据等腰直角三角形的性质可得AB＝AC，由同角的余角相等可得∠ABD＝∠CAE，证明△ABD≌△CAE，得到BD＝AE＝2-b，则OC＝DE＝AD+AE＝4-b，表示出点C的坐标，结合中点坐标公式可得点M的坐标，根据垂线段最短的性质可得当b=1时，PM有最小值，进而可得点M的坐标.
19．【答案】-1
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【解答】解：x =- -1，则=- x -1，
∴a =(- x -1)2=x2+2x+1，
原式=x5+2x4-ax3-x2+( a +1) x - a
= x5+2x4-(x2+2x+1)x3-x2+(x2+2x+1+1）x-(x2+2x+1)
= x5+2x4- x5-2x4-x3-x2+x3+2x2+2x-x2-2x-1
=-1，
故答案为：-1.
【分析】利用已知等式，可得到a=(- x -1)2=x2+2x+1，再将a代入原式，先去括号，再合并同类项即可.
20．【答案】；
【知识点】正方形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—含30°角直角三角形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】过点J作于点K，过点G作于点L，过点J作于点M，
当时，即时，
∵两个边长为1的正方形的顶点D，E，F，I，J均在的边上，
∴，，
∴，
∴
∴
∴
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
即；
∵
∴四边形是矩形，
∴，
∵
∴四边形是矩形，
∴
∵，
∴
∴，
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
设，则
∵
∴，
∵
∴
∴，
∴，
解得，
在中，
即，
解得（不合题意的解已经舍去）
∴，，，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
故答案为：，.
【分析】过点J作于点K，过点G作于点L，过点J作于点M，求出，然后根据AAS得到，根据对应边成比例设，利用两角对应相等得到，即可求出，在中根据勾股定理求出，进而得到，，，根据线段的和差求出AC长，在推理得到，根据对应边成比例解答即可．
21．【答案】解：
【知识点】负整数指数幂；二次根式的混合运算；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先运算乘方、绝对值、负整数指数幂、二次根式的化简，代入特殊角的三角函数值，然后运算乘法，再运算加减解答即可．
22．【答案】（1）解：由题可知：
解得：；
（2）解：
；
，且为正整数，
将代入．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】（1）根据题意得到，求出a的取值范围即可；
（2）先运算括号内的分式加减，然后把除法化为乘法，分解因式约分，然后根据分式的分母不为0求出a的取值，代入计算即可．
23．【答案】（1）解：∵直线y＝x+m经过点A（0，3），
∴m＝3，
∴直线为y＝x+3，
∵二次函数y＝ax2+2x+c的图象经过点A（0，3），且对称轴为直线x＝1.
∴ ，解得 ，
∴二次函数解析式为y＝﹣x2+2x+3
（2）解： 得 或 ，
∴B（1，4），
∴△OAB的面积＝ ＝
（3）解：由图象可知：当x＜0或x＞1时，该一次函数值大于二次函数值.
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）根据待定系数法即可求得m的值及二次函数解析式；（2）解析式联立组成方程组，解方程组求得B的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可；（3）根据图象即可求得.
24．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，
∴∠1=∠2=22.5°，
又∵CP⊥CF，
∴∠3+∠FCD=∠1+∠FCD=90°
∴∠3=∠1=22.5°
∴∠P=67.5°
又四边形ABCD为正方形，
∴∠ACP=45°+22.5°=67.5°
∴∠P=∠ACP
∴AP=AC
又AC=AB=4
∴AP=4，
∴S△APC=AP CD=4×4=8
（2）证明：∵在△PDC和△FBC中，
∴△PDC≌△FBC
∴CP=CF
在CN上截取NH=FN，连接BH ，
∵FN=NH，且BN⊥FH
∴BH=BF
∴∠4=∠5
∴∠4=∠1=∠5=22.5°
又∠4+∠BFC=∠1+∠BFC=90°
∴∠HBC=∠BAM=45°
在△AMB和△BHC中，
，
∴△AMB≌△BHC，
∴CH=BM
∴CF=BM+2FN
∴CP=BM+2FN．
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质∠ACP=∠APC=67.5°，根据勾股定理求出AP=AC=，然后根据三角形的面积公式计算即可；
（2）先根据ASA得到△PDC≌△FBC，即可得到CP=CF；在CN上截取NH=FN，连接BH，然后根据ASA得到△AMB≌△BHC，即可得到BM=HC，然后根据线段的和差解答即可.
25．【答案】（1）解：由表格信息可设，将表格中的数据代入得，
，
解得：，
关于的函数表达式为；
（2）解：设总利润为元，则
，
当时，取得最大值，最大值为25000，
答：第天利润最大，最大利润为元；
（3）解：①由题意得，第天开始每件商品的单价为元，
每件商品的利润为：元，
设此时利润为元，则
，
，
且，
随的增大而减小，
当时，利润取到最大值；
②当时，利润取到最大值，
，
解得：．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数的解析式；
（2）设总利润为元，根据“销售利润销售量(单件售价单件成本)”列关于的二次函数，化为顶点式求出最值即可；
（3）①分析第天起单价下调元后的利润函数，根据二次函数的开口方向与对称轴位置，根据二次函数的性质求出x的值即可；
②将①中求得的代入函数关系式，结合已知的最大利润值，得到关于的方程解答即可．
26．【答案】（1）解：①由题意，得，解得
抛物线的表达式为．
②存在，的面积的最大值为．
如图1，作直线，过点P作轴交于点Q．
设．
，，
直线的表达式为，
，
，
，
当时，的面积有最大值．
（2）解：将点代入，得．
把代入，解得，，
抛物线的表达式为，
．
如图2，过点N作于点F，过点N作交的延长线于点G，
则，
设与x轴的交点为K，由旋转可得．
，
，
．
，
，
，
平分．
，
，
．
，
直线的表达式为，
当时，解得，，
．
，，
，
解得，
即n的值为．
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质；三角形全等的判定-AAS；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）①根据待定系数法求出二次函数的解析式即可；
②作直线，过点P作轴交于点Q．设，利用待定系数法求出的解析式，因此，根据得到，利用顶点坐标求出最值即可；
（2）把点的坐标与代入求出抛物线的表达式为，即可得到．过点N作于点F，过点N作交的延长线于点G，设与x轴的交点为K，根据AAS得到，即可得到到，再根据角平分线的性质可得到，进而得到，求出直线的解析式为，令，求出点B的坐标．根据，利用两点间的距离公式求出n的值即可．
27．【答案】（1）解：①∵PE⊥BC，
∴∠PEB=∠PEC=90°，
∴PC为⊙O的直径，
∵AB与⊙O相切于点P，
∴PC⊥PB．
∵，
∴
∴BP=BC=6，
∴CP==8；
②连接CP，PD，如图，
∵PE⊥BC，
∴∠PEB=∠PEC=90°，
∴PC为⊙O的直径，
∴∠PDC=90°．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD=6，BC=AD=10，∠PAD=∠B，
∴∠APD+∠PDC=180°，cos∠PAD=cos∠B=，
∴∠APD=90°．
∵cos∠PAD=，
∴AP=6，
∴
∴
∴⊙O的半径长为PC=
（2）解：过点F作FM⊥AD，交DA的延长线于点M，连接CF，CP，设PE与AD交于点N，如图，
由题意得：∠B=∠FB'E，
∵∠FB'E=∠FPE，
∴∠FPE=∠B．
∵PE⊥BE，
∴∠B=∠FPE=45°．
∵PE⊥BC，
∴∠PEB=∠PEC=90°，
∴PC为⊙O的直径，
∴∠PFC=90°，
∴△BFC为等腰直角三角形，
∴BF=FC=BC=5，
∴AF=AB-BF=．
∵AD∥BC，
∴∠MAF=∠B=45°，
∴MF=MA=AF=1，
∵FB=FB'=5，
∴MB'==7，
∴AB'=MB'-MA=6．
∵AD∥BC，PE⊥BC，
∴PN⊥AD．
∵EN为平行四边形ABCD的高，
∴NE=AB sin∠B==6，
∵△PAN为等腰直角三角形，
∴设PN=AN=x，则PE=x+6，NB'=6-x.
∵PE=BE=B'E，
∴B'E=x+6．
在Rt△NB'E中，
∵NB'2+NE2=B'E2，
∴（6-x）2+62=（x+6）2，
∴x=．
∴PN=AN=，
∴PA=PN=
【知识点】平行四边形的性质；切线的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；圆周角定理的推论
【解析】【分析】
（1）①利用圆周角定理的推论得到PC为⊙O的直径，再根据切线的性质定理得到，然后根据余切的定义求出，根据勾股定理求出的长即可；
②连接，，利用圆周角定理的推论和平行四边形的性质推理得到∠APD=90°，再根据余弦的定义求出，根据勾股定理求得，长解答即可；
（2）过点F作，交的延长线于点M，连接，，设与交于点N，根据轴对称的性质，圆周角定理的推论和垂直的定义即可得到为等腰直角三角形，根据勾股定理求出，，再根据勾股定理解答即可．
1 / 1浙江省杭州市钱塘区学正中学2025-2026学年九年级（下）开学数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．五一期间，某景区游客12万人次，景区门票价格168元/人.以此计算，今年该景区五一期间门票总收入用科学记数法表示为（　　）
A．2.016×108元 B．2.016×107元
C．0.2016×107元 D．2016×104元
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数；有理数乘法的实际应用
【解析】【解答】解：万人次人次，
（元），
故答案为：B.
【分析】先计算总收入，然后根据科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数解答即可．
2．下列四个实数中，最大的是（　　）
A．-3 B． C． D．-π
【答案】B
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，
∴．
故答案为：B.
【分析】根据实数的大小比较解答即可．
3．若x是的算术平方根，则x的值为（　　）
A．3 B．- C．± D．
【答案】D
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：解：，
∴的算术平方根为，
故答案为：D.
【分析】先求出，然后根据算术平方根的定义计算即可．
4．如图，将矩形纸片ABCD的两个直角∠A和∠B分别沿直线EN，EM折叠，折叠后点A，B的位置分别是点A'，B'.若∠A'EB'=α，则∠NEM的大小是（　　）
A．180°-2α B．180°-α C． D．90°-α
【答案】C
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠可知，，．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：C.
【分析】根据折叠的性质可得，进而得到，再根据解答即可.
5．如图，数轴上点A，B对应的实数分别为和，以点B为圆心，长为半径画弧交数轴于点C，则点C对应的实数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】实数在数轴上表示；二次根式的加减法；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：由题意，；
∴点C对应的实数是；
故选：C．
【分析】根据作图可知，然后利用数轴上两点间的距离公式解答即可．
6．如图，某型号千斤顶的工作原理是利用四边形的不稳定性，图中的菱形是该型号千斤顶的示意图，保持菱形边长不变，可通过改变的长来调节的长已知，的初始长为，如果要使的长达到，那么的长需要缩短(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，设AC与BD相交于点O，A'C'与BD'相交于点O'，
∵四边形ABCD与四边形A'BC'D'都是菱形，且AB=A'B=30cm，BD=30cm，BD'=36cm，
∴BO=BD=15cm，BO'=BD'=18cm，AC=2AO，A'C'=2A'O'，BD⊥AC，BD'⊥A'C'，
在Rt△AOB中，AO=cm，
∴AC=2AO=cm；
在Rt△A'O'B中，A'O'=cm，
∴A'C'=2O'A'=48cm，
∴AC-A'C'=cm.
故答案为：D.
【分析】由菱形的性质得BO=BD=15cm，BO'=BD'=18cm，AC=2AO，A'C'=2A'O'，BD⊥AC，BD'⊥A'C'，用勾股定理分别算出AO、A'O'，从而可得AC及A'C'的长，最后再求出AC与A'C'的差即可.
7．当0≤x≤m时，函数y=-x2+4x-3的最小值为-3，最大值为1，则m的取值范围是（　　）
A．0≤m≤2 B．0≤m＜4 C．2≤m≤4 D．m≥2
【答案】C
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：∵y=-x2+4x-3=-（x-2）2+1，
∴该函数的对称轴是直线x=2，当x=2时，该函数取得最大值1，该函数图象开口向下，
∵当0≤x≤m时，此函数的最小值为-3，最大值为1，当x=0时，y=-3，
而x=4时，y=-3，
∴2≤m≤4，
故答案为：C.
【分析】先把二次函数化为顶点式，然后根据二次函数的开口方向和增减性求出m的取值范围即可．
8． 设 ，，，，，则 的值为（　　）
A．. B．. C．. D．.
【答案】C
【知识点】二次根式的混合运算；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：由题意得：，
，
，
，
，
∴，
．
故答案为：.
【分析】计算，，，得出一般规律，然后计算解答即可．
9．如图，已知矩形AEPG的面积等于矩形GHCD的面积，若要求出图中阴影部分的面积，只要知道（　　）
A．矩形AEFD与矩形PHCF的面积之差
B．矩形ABHG与矩形PHCF的面积之差
C．矩形AEFD与矩形PHCF的面积之和
D．矩形ABHG与矩形PHCF的面积之和
【答案】B
【知识点】三角形的面积；矩形的性质；几何图形的面积计算-割补法；平行四边形的面积；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：因为矩形的面积等于矩形的面积，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
即矩形为矩形面积之差的一半，
故答案为：B.
【分析】由矩形的面积等于矩形的面积得到，根据正切可得，进而得到，再根据割补法表示阴影部分面积即可．
10．如图是一个运算程序，当输入时，输出结果是；当输入时，输出结果是．如果输入的x是正整数，输出结果是，那么满足条件的x的值最多有（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】D
【知识点】解一元一次方程；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：由题意知，，
解得，
若，解得，
若，解得，
∴满足条件的的值最多有2个．
故选：D．
【分析】根据程序图示列方程解答即可．
11．我们把M={1，3，x}叫集合M，其中1，3，x叫做集合M的元素，集合中的元素具有确定性，互异性（如x≠1，x≠3），无序性（即改变元素的顺序后，新集合与原集合相等）.已知集合A={0，|x|，y}，集合，若A=B，则x+y的值是（　　）
A．4 B．2 C．0 D．-2
【答案】D
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：∵集合，由集合互异性得，，
∴，，
又∵，集合，且，
∴
∴，即
∵，此时，，
由集合互异性得，故，，
又∵与元素对应相等，得，
∴，
∵，两边同除以得，
∴，
∴，即D选项符合题意．
故答案为：D.
【分析】根据集合的定义，由得到、的关系求出、的值，然后代入计算的值即可．
12．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点M的横坐标为3，以M为圆心，5为半径作⊙M，与y轴交于点A和点B，点P是上的一动点，Q是弦AB上的一个动点，延长PQ交⊙M于点E，运动过程中，始终保持∠AQP=∠APB，当AP+QB的结果最大时，PE长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数的最值；垂径定理；圆-动点问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：如图，∵，，
∴△AQP∽△APB，
∴AP：AB=AQ：AP，
∴，
过点M作MG⊥AB，垂足为G，连接MA，则AG=GB，
∵点M的横坐标为3，圆的半径为5，
∴MG=3，MA=5，
根据勾股定理，得AG==4，
∴AB=2AG=8，
∴，
∴或（舍去），
∵AQ=AB-QB，
∴AP+QB=+8-AQ=
=
∴AP+QB有最大值，且当时，有最大值10，
∴AQ=2，AP=4，
连接AE，设MA与PE的交点为N，
∵△AQP∽△APB，
∴∠APQ=∠ABP，
∵∠AEP=∠ABP，
∴∠APQ=∠AEP，
∴AP=AE=4，，
根据垂径定理的推论，得AM⊥PE，
设AN=x，则MN=5-x，
在Rt△AEN中，，
在Rt△MEN中，，
∴=，
解得x=，
∴，
∴EN=，
∴PE=2EN=，
故选D．
【分析】先证明△AQP∽△APB，即可得到，过点M作MG⊥AB，垂足为G，根据垂径定理可得AB=8，进而得到AP+QB关于AQ的二次函数，得到AQ=2，AP=4，即可得道AE=AP=4，连接MA，交PE于点N，根据垂径定理的推论得到AM⊥PE，设AN=x，利用勾股定理表示EN即可求出x的值，从而求得EN的值解答即可.
二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。
13．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠B=130°，则∠AOC的大小为　 　．
【答案】100°
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：在中，，
，
是弧所对的圆心角，是弧所对的圆周角，
，
故答案为：．
【分析】根据圆内接四边形的对角互补求出，根据圆周角定理求出的度数即可.
14．已知实数x，y满足，求x-2y的最大值 　 　 .
【答案】2
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵，
∴．
∴，
∴当时，有最大值，为2，
∴的最大值为2．
故答案为：2.
【分析】又等式得到关于x的二次函数，配方得到顶点式，求出最值即可．
15．在一个不透明的布袋中装有52个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小强每次摸出一个球记录下颜色后并放回，通过多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.2左右，则布袋中黑球的个数可能有　 　．
【答案】13
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：设袋中有黑球x个，
由题意得： ＝0.2，
解得：x＝13，
经检验x＝13是原方程的解，
则布袋中黑球的个数可能有13个.
故答案为：13.
【分析】设袋中有黑球x个，根据黑球的个数除以球的总数=摸到黑球的概率可得关于x的方程，求解即可.
16．如图，菱形ABCD的面积为24，点E是AB的中点，点F是BC上的动点.若△BEF的面积为4，则图中阴影部分的面积为　 　.
【答案】10
【知识点】三角形的面积；菱形的性质；几何图形的面积计算-割补法；三角形的中线
【解析】【解答】解：连接，
∵菱形的面积为24，点E是的中点，的面积为4，
∴，，
设菱形中边上的高为h，
则，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：10．
【分析】利用菱形的性质和三角形中线分得的两个三角形的面积相等得到，，进而求出，，即可得到的面积，再根据解答即可．
17．如图，直线l与y轴、x轴交于E、F两点，与双曲线交于A、B两点，且AE=AB，连接OA、OB，分别与双曲线交于D、C两点，则四边形ABCD的面积为　 　 .
【答案】3
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数系数k的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，
设点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点的横坐标为，
∴，
∴点，
设直线的解析式为：，
∴，
解得：，
∴，
∵点在轴上，点在轴上，
∴点，，
∴，；
过点作轴于点交直线于点，过点作轴于点，
设直线的解析式为：，
∴，
∴，
∴；
∵点在双曲线和直线上，
∴，
∴；
∴，，
设直线的解析式为：，
∴，
∴，
∴，
∵点在双曲线和直线上，
∴，
∴，
∴，；
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵；；，
∴四边形的面积为：，
故答案为：．
【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，设点，得到，根据对应边成比例求出点的坐标；利用待定系数法求出直线的解析式，得到，；过点作轴于点交直线于点，过点作轴于点，然后求出直线的解析式，联立直线和双曲线的的解析式，求出交点；同理求出点的坐标，即可得到；根据四边形的面积为：解答即可．
18．在平面直角坐标系中，点C、B分别在x轴、y轴上，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，已知A（2，2）、P（1，0）．M为BC的中点，当PM最短时，则M的坐标为　 　．
【答案】（ ， ）
【知识点】坐标与图形性质；垂线段最短及其应用；线段的中点；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过A作AD⊥y轴于点D，过C作CE⊥x轴，交AD于点E，如图所示，
∵A（2，2），
∴AD＝CE＝2，
设B（0，b），则BD＝2﹣b，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，
∴AB＝AC，∠BAD+∠CAE＝90°，
∵∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠ABD＝∠CAE，
在△ABD和△CAE中，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD＝AE＝2﹣b，
∴OC＝DE＝AD+AE＝2+2﹣b＝4﹣b，
∴C（4﹣b，0），
∵M为BC的中点，
∴M（2﹣ b， b），
当b＝1时，PM有最小值，
∴M（ ， ）.
故答案为：（ ， ）.
【分析】过A作AD⊥y轴于点D，过C作CE⊥x轴，交AD于点E，根据点A的坐标可得AD＝CE＝2，设B（0，b），则BD=2-b，根据等腰直角三角形的性质可得AB＝AC，由同角的余角相等可得∠ABD＝∠CAE，证明△ABD≌△CAE，得到BD＝AE＝2-b，则OC＝DE＝AD+AE＝4-b，表示出点C的坐标，结合中点坐标公式可得点M的坐标，根据垂线段最短的性质可得当b=1时，PM有最小值，进而可得点M的坐标.
19．若则　 　.
【答案】-1
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【解答】解：x =- -1，则=- x -1，
∴a =(- x -1)2=x2+2x+1，
原式=x5+2x4-ax3-x2+( a +1) x - a
= x5+2x4-(x2+2x+1)x3-x2+(x2+2x+1+1）x-(x2+2x+1)
= x5+2x4- x5-2x4-x3-x2+x3+2x2+2x-x2-2x-1
=-1，
故答案为：-1.
【分析】利用已知等式，可得到a=(- x -1)2=x2+2x+1，再将a代入原式，先去括号，再合并同类项即可.
20．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，两个边长为1的正方形DEFG，GHIJ的顶点D，E，F，I，J均在△ABC的边上，∠FGH=α（0°＜α＜90°），令=n，当α=60°时，n= 　 　 ；当n=时，S△ABC= 　 　 .
【答案】；
【知识点】正方形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—含30°角直角三角形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】过点J作于点K，过点G作于点L，过点J作于点M，
当时，即时，
∵两个边长为1的正方形的顶点D，E，F，I，J均在的边上，
∴，，
∴，
∴
∴
∴
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
即；
∵
∴四边形是矩形，
∴，
∵
∴四边形是矩形，
∴
∵，
∴
∴，
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
设，则
∵
∴，
∵
∴
∴，
∴，
解得，
在中，
即，
解得（不合题意的解已经舍去）
∴，，，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
故答案为：，.
【分析】过点J作于点K，过点G作于点L，过点J作于点M，求出，然后根据AAS得到，根据对应边成比例设，利用两角对应相等得到，即可求出，在中根据勾股定理求出，进而得到，，，根据线段的和差求出AC长，在推理得到，根据对应边成比例解答即可．
三、解答题：本题共7小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21．计算：
【答案】解：
【知识点】负整数指数幂；二次根式的混合运算；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先运算乘方、绝对值、负整数指数幂、二次根式的化简，代入特殊角的三角函数值，然后运算乘法，再运算加减解答即可．
22．已知关于x的一元二次方程x2-4x+a=0有两个不相等实数根.
（1）求a的取值范围；
（2）化简，并选择一个适合的正整数a代入求值.
【答案】（1）解：由题可知：
解得：；
（2）解：
；
，且为正整数，
将代入．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】（1）根据题意得到，求出a的取值范围即可；
（2）先运算括号内的分式加减，然后把除法化为乘法，分解因式约分，然后根据分式的分母不为0求出a的取值，代入计算即可．
23．如图，直线y＝x+m与二次函数y＝ax2+2x+c的图象交于点A（0，3），已知该二次函数图象的对称轴为直线x＝1.
（1）求m的值及二次函数解析式；
（2）若直线y＝x+m与二次函数y＝ax2+2x+c的图象的另一个交点为B，求△OAB的面积；
（3）根据函数图象回答：x为何值时该一次函数值大于二次函数值.
【答案】（1）解：∵直线y＝x+m经过点A（0，3），
∴m＝3，
∴直线为y＝x+3，
∵二次函数y＝ax2+2x+c的图象经过点A（0，3），且对称轴为直线x＝1.
∴ ，解得 ，
∴二次函数解析式为y＝﹣x2+2x+3
（2）解： 得 或 ，
∴B（1，4），
∴△OAB的面积＝ ＝
（3）解：由图象可知：当x＜0或x＞1时，该一次函数值大于二次函数值.
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）根据待定系数法即可求得m的值及二次函数解析式；（2）解析式联立组成方程组，解方程组求得B的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可；（3）根据图象即可求得.
24．已知正方形ABCD如图所示，连接其对角线AC，∠BCA的平分线CF交AB于点F，过点B作BM⊥CF于点N，交AC于点M，过点C作CP⊥CF，交AD延长线于点P.
（1）若正方形ABCD的边长为4，求△ACP的面积；
（2）求证：CP=BM+2FN.
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，
∴∠1=∠2=22.5°，
又∵CP⊥CF，
∴∠3+∠FCD=∠1+∠FCD=90°
∴∠3=∠1=22.5°
∴∠P=67.5°
又四边形ABCD为正方形，
∴∠ACP=45°+22.5°=67.5°
∴∠P=∠ACP
∴AP=AC
又AC=AB=4
∴AP=4，
∴S△APC=AP CD=4×4=8
（2）证明：∵在△PDC和△FBC中，
∴△PDC≌△FBC
∴CP=CF
在CN上截取NH=FN，连接BH ，
∵FN=NH，且BN⊥FH
∴BH=BF
∴∠4=∠5
∴∠4=∠1=∠5=22.5°
又∠4+∠BFC=∠1+∠BFC=90°
∴∠HBC=∠BAM=45°
在△AMB和△BHC中，
，
∴△AMB≌△BHC，
∴CH=BM
∴CF=BM+2FN
∴CP=BM+2FN．
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质∠ACP=∠APC=67.5°，根据勾股定理求出AP=AC=，然后根据三角形的面积公式计算即可；
（2）先根据ASA得到△PDC≌△FBC，即可得到CP=CF；在CN上截取NH=FN，连接BH，然后根据ASA得到△AMB≌△BHC，即可得到BM=HC，然后根据线段的和差解答即可.
25．中国元素几乎遍布卡塔尔世界杯的每一个角落，某特许商品专卖店销售中国制造的纪念品，深受大家喜爱.自世界杯开赛以来，其销量不断增加，该商品销售第x天（1≤x≤28，且x为整数）与该天销售量y（件）之间满足函数关系如表所示：
第x天 1 2 3 4 5 6 7 …
销售量y（件） 220 240 260 280 300 320 340 …
为回馈顾客，该商家将此纪念品的价格不断下调，其销售单价z（元）与第x天（1≤x≤28，且x为整数）成一次函数关系且满足z=-2x+100.已知该纪念品成本价为20元/件.
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）求这28天中第几天销售利润最大，并求出最大利润；
（3）商店担心随着世界杯的结束该纪念品的销售情况会不如从前，决定在第20天开始每件商品的单价在原来价格变化的基础上再降价a元销售，销售第x天与该天销售量y（件）仍然满足原来的函数关系，问：
①当第x天（20≤x≤28，且x为整数）的销售利润取到最大值，此时x的值为多少？
②若①中销售利润的最大值是20250元，求此时a的值.
【答案】（1）解：由表格信息可设，将表格中的数据代入得，
，
解得：，
关于的函数表达式为；
（2）解：设总利润为元，则
，
当时，取得最大值，最大值为25000，
答：第天利润最大，最大利润为元；
（3）解：①由题意得，第天开始每件商品的单价为元，
每件商品的利润为：元，
设此时利润为元，则
，
，
且，
随的增大而减小，
当时，利润取到最大值；
②当时，利润取到最大值，
，
解得：．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数的解析式；
（2）设总利润为元，根据“销售利润销售量(单件售价单件成本)”列关于的二次函数，化为顶点式求出最值即可；
（3）①分析第天起单价下调元后的利润函数，根据二次函数的开口方向与对称轴位置，根据二次函数的性质求出x的值即可；
②将①中求得的代入函数关系式，结合已知的最大利润值，得到关于的方程解答即可．
26．已知抛物线y=ax2+bx+4（a≠0）.
（1）若抛物线的对称轴是直线x=2，抛物线与x轴的交点坐标为（2，0）.
①求抛物线的表达式；
②若点A的坐标为（3，3），动点P在直线OA下方的抛物线上，连接PA，PO，试判断△AOP的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；
（2）若b=-6a，抛物线过点B（-2，0），与y轴交于点C，将点B绕点N（0，n）（n＜0）顺时针旋转（旋转角小于180°）得到点B'，当点B'恰好落在抛物线上，且满足∠BNB'+∠BCB'=180°时，求n的值.
【答案】（1）解：①由题意，得，解得
抛物线的表达式为．
②存在，的面积的最大值为．
如图1，作直线，过点P作轴交于点Q．
设．
，，
直线的表达式为，
，
，
，
当时，的面积有最大值．
（2）解：将点代入，得．
把代入，解得，，
抛物线的表达式为，
．
如图2，过点N作于点F，过点N作交的延长线于点G，
则，
设与x轴的交点为K，由旋转可得．
，
，
．
，
，
，
平分．
，
，
．
，
直线的表达式为，
当时，解得，，
．
，，
，
解得，
即n的值为．
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质；三角形全等的判定-AAS；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）①根据待定系数法求出二次函数的解析式即可；
②作直线，过点P作轴交于点Q．设，利用待定系数法求出的解析式，因此，根据得到，利用顶点坐标求出最值即可；
（2）把点的坐标与代入求出抛物线的表达式为，即可得到．过点N作于点F，过点N作交的延长线于点G，设与x轴的交点为K，根据AAS得到，即可得到到，再根据角平分线的性质可得到，进而得到，求出直线的解析式为，令，求出点B的坐标．根据，利用两点间的距离公式求出n的值即可．
27．如图，在 ABCD中，∠B是锐角，，BC=10.在射线BA上取一点P，过P作PE⊥BC于点E，过P，E，C三点作⊙O.
（1）当时，
①如图1，若AB与⊙O相切于点P，连结CP，求CP的长；
②如图2，若⊙O经过点D，求⊙O的半径长.
（2）如图3，已知⊙O与射线BA交于另一点F，将△BEF沿EF所在的直线翻折，点B的对应点记为B'，且B'恰好同时落在⊙O和边AD上，求此时PA的长.
【答案】（1）解：①∵PE⊥BC，
∴∠PEB=∠PEC=90°，
∴PC为⊙O的直径，
∵AB与⊙O相切于点P，
∴PC⊥PB．
∵，
∴
∴BP=BC=6，
∴CP==8；
②连接CP，PD，如图，
∵PE⊥BC，
∴∠PEB=∠PEC=90°，
∴PC为⊙O的直径，
∴∠PDC=90°．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD=6，BC=AD=10，∠PAD=∠B，
∴∠APD+∠PDC=180°，cos∠PAD=cos∠B=，
∴∠APD=90°．
∵cos∠PAD=，
∴AP=6，
∴
∴
∴⊙O的半径长为PC=
（2）解：过点F作FM⊥AD，交DA的延长线于点M，连接CF，CP，设PE与AD交于点N，如图，
由题意得：∠B=∠FB'E，
∵∠FB'E=∠FPE，
∴∠FPE=∠B．
∵PE⊥BE，
∴∠B=∠FPE=45°．
∵PE⊥BC，
∴∠PEB=∠PEC=90°，
∴PC为⊙O的直径，
∴∠PFC=90°，
∴△BFC为等腰直角三角形，
∴BF=FC=BC=5，
∴AF=AB-BF=．
∵AD∥BC，
∴∠MAF=∠B=45°，
∴MF=MA=AF=1，
∵FB=FB'=5，
∴MB'==7，
∴AB'=MB'-MA=6．
∵AD∥BC，PE⊥BC，
∴PN⊥AD．
∵EN为平行四边形ABCD的高，
∴NE=AB sin∠B==6，
∵△PAN为等腰直角三角形，
∴设PN=AN=x，则PE=x+6，NB'=6-x.
∵PE=BE=B'E，
∴B'E=x+6．
在Rt△NB'E中，
∵NB'2+NE2=B'E2，
∴（6-x）2+62=（x+6）2，
∴x=．
∴PN=AN=，
∴PA=PN=
【知识点】平行四边形的性质；切线的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；圆周角定理的推论
【解析】【分析】
（1）①利用圆周角定理的推论得到PC为⊙O的直径，再根据切线的性质定理得到，然后根据余切的定义求出，根据勾股定理求出的长即可；
②连接，，利用圆周角定理的推论和平行四边形的性质推理得到∠APD=90°，再根据余弦的定义求出，根据勾股定理求得，长解答即可；
（2）过点F作，交的延长线于点M，连接，，设与交于点N，根据轴对称的性质，圆周角定理的推论和垂直的定义即可得到为等腰直角三角形，根据勾股定理求出，，再根据勾股定理解答即可．
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